Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
C h ư ơ n g 1. ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG

C h ư ơ n g 1. ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

X — x( \ f ),



)



y =y(x0,y0.zli,r)



, 1 .1 . 1 )



z — z ( x tị , y fị,Z(),t).



Thay cho các toạ độ .v„, yn. zn ta có thể lấy trong thêtích lỏrụ đang

xét ba đại lượng a . b, <■liên hệ với -V„, v,„", theotương quan đơn Irị:

- X i i t t . k . c ị y o = x : ( ư .b .c ) ,z n = g j,{ a .h .r )

Theo quan điểm Lagrange thì các biến /, a , b. <• là các ỉói sơ'

xác định cùa các hàm véc tơ và vơ hướng đặc trưng cho chun

động chất lòng. Các biến này được gọi là các biến Lagrange.

Như vậy toạ độ V, V, z của một hạt lỏng nào đó trong
gian sẽ là:



.V= f , { u , h . c , t )

= f 2{ a .b 'C ,t)



y



(1.1.2)



z = fị( a ,b ,c ,r Ỵ



Từ (1 .1.2) ta xác dịnh được các thành phán của véc tơ vin tốc

và gia tốc cùa hạt lòng dạng:

_ dx _ õf,(u .h > c .t)

r v' ~~õt~



dt



_ õ y _ df2( a , b . i \ t)

* ~ dt ~



ôt



_ Ỡ2 _ Õf , ( u , b , c . t )

dt



õt



_ d ‘ x _ ỡ' f i ( a , h , c , t )

w



“ T T



Ơt



d 2y







T~ĩ



õí



d2



M- = ---f = ---- — , —

õr







_ à~2 _ õ 2f ị { a ,h .c ,t )



VI'. —



- ~ d r ~



Tỷ khối sẽ là :

12



p = p(


dr



bì Quart điếm Euler

Theo Euler đối lương nghiên cứu khống phái chính chát lỏng

mà là khơng gian c ố định dirơe lấp dầy bới chất lỏng chuyến động.



Quá trình nghiên cứu bao gốm;

- Sự biến thiên theo thời gian các đặc tnmg cùa chuyên đông

cùa chát lỏng tại một điếm cô' định của không gian.



- Sự biến thiên của chính các đại lượng ấy từ các điểm này

sang diểm khác cùa khơng gian. Nói cách khác các đặc trưng của

chuyển động là hàm của thời gian và của toạ độ điểm, nghĩa là hàm

cúa bốn dối số -V.y,z,t. Các biến đó được gọi là biến Euler.



Chảng hạn vectơ vận tốc:

V = F( r , t )



hay dưới dang các thành phần:

'\ = f , { x , y , z . t )

- Vv = / :( * > > '• - • ')



( 1 . 1 -5 )



?: - f Ả x > y ^ A



Tương tự khối lượng riềng:



P=fẢ-x-y-z>t)1.13. Sự liên hệ giữa biến Lagrange và biến Euler

Từ (1.1.2), theo già thiết ta có thể giải đơn trị:

a -G i(x,y,z,t)



• h = G 2( x , y , 2 ,t)



(1.1.6)



I =G,{x.y,z.tỴ



Các hệ thức (1.1.6) là mối liên hệ giữa biến Lagrange với biến

Euler

Mặt khác từ hệ (1.1.5) ta có:



13



dt

” =

at



V.2-.0



dz



.(



a



= »'-• = / , ( - ' • y - Z ' t y



dt



\



Tích phân các phương trình trên ta được:

A* —FỊịi Ị ,c ),( Ị ,/)

- y = F2( c , , c 2 X







, í)



(1.1.7)



z = F?(r/Iọ . f ỉ , 4

trong đó C/, Cị, c , là các hằng s ố tích phân. Nếu đăi a =C/ , b ~ c 2.

c= c\ị thì ta lại biểu diễn được các biến Euler qua các biến Lagrange.



1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Một số đặc trưng của chuyển động của chất lỏng là các đại

lượng vectơ và vơ hướng. Vì vây cần nhắc lại một sô' kiến thức về lý

thuyết trường.



1.2.1. Trường vô hướng

Cho D là một tập hợp trong không gian R ’ (ờ đày ta xét chủ

yếu không gian thực ba chiểu). Nếu mỗi điểm M e D có tương ứng

một sơ' thựcp ( M ) (đại lượng vơ hướng p ( M ) nào đó) thì ta gọi

( D , p ) là một trường vô hướng. Chẳng hạn trường mật đô, trường



nhiệt độ... trong chất lỏng là các trường vô hướng.

Giả sử (Đ ,p ) là một trường vơ hưóng tập s, = [ M e D . ọ ị M ) = í'}

được gọi là mặt mức của trường vô hướng. Chẳng hạn trường đang

xét là trường nhiệt độ thì 5 . chính là mặt đẳng nhiột (c=cons't).



14



Giá sừ hàm p( M ) c ó các đạo hàm riêng theo các biẻn V, V. ;



trong hệ toạ độ Descartes ba chiểu, vectơ với ba thành phần



' d ọ <~)p ô p



dược gọi là gradien cứa p, ký hiệu là grad p . Vây



Kã \ ' ' n y ' Õ z



iheo định nghĩa ta có:

/



grad



P



ổp ổp ổp



-



vdx ’ õy d : J



Ta xét một mặt Sc của p di qua điếm Mq(x0, y„, Z(|)

S = { M e D / p ( M ) = p ( M 0 )ị.



Trên s, lấy một đường cong trơn qua M ( ịx 0, y 0, Zfì) có phương

trình tham số là :

x = x ( t) . y = y ( t ), z = z (t), ( a < / < p . ) -



Khi đó p { x ( t ) , ỵ ( t ) , z ( r ) ) = p( M a ). Lấy đạo hàm hai vếthetacó:

ụ . x ’ị t ) + % L / ( 0 + & z ' ( t ) = 0 .



ổ.v



uy



02



Vì vectơ có các thành phần ( x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( r ) ) nầm trong mặt



phảng tiếp xúc với mặt 5, tại M fìà o vậy g r a d p ( M 0 ) chính là vectơ

pháp tuyến cùa mặt 5,.



1.2.2. Trường vectơ

G io Q là một tập trong R \ nếu mỗi điểm M e f ì có tương ứng

một đại lượng vectơ V ị M ) nào đó thì ta gọi ị Q . ỹ ) là một trường

vectơ. Chẳng hạn trường vận tốc, từ trường...

a) Đ ư ờ n g d ò n g



Cho (£>. V ) là một trường vectơ. Một đường cong Y trong

được gọi là dường dòng nếu tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có

hướng với vận tốc V tại điểm đó. Theo định nghĩa phương trình cùa

dường dòng có dạng:

15



trong đó »\.v ,v. là thành phần cùa vectơ vận tốc V.



Từ phương trình cùa đường dòng ta thủy nếu biết dược vận lốc

tại mỗi điểm thì la lập được phương trình đường dòng và ngược lại.

Trong vật lý đường dòng còn gọi là đường sức. Nói chung đường

dòng khơng trùng với quỹ đạo cùa chuyển động, trong trường hợp

chuyển động là dừng (khơng phụ thuộc thời gian) thì dường dòng

trùng với quỹ đạo.

b ) T h ô n g lư ợ n g v e c tơ



Giả sử s là một mặt cong hai phía nàm trong Q . Ta gọi thơng

lượng của trường vectơ đi qua mặt s theo hướng vectơ pháp tuyến n

là đại lượng:

3 = ị ị \ \ xd y d z + V y J z d x + v .d x d v = ị ị v . ĩ u i S .

s



s



Nếu [q . v ) là trường vận tốc chất lòng dừng thì 3 chính là thê

tích chất lỏng chảy qua mặt s trong một dcm vị thơi gian. Nếu mặt s

kín, theo cơng thức Ostrogradsky ta có:

3 = J j J divVdxdydz

V



trong đó



V



là thể tích lỏng được giới hạn bởi mặt s,

I- \7

_

div

V =



v.

H----- —+ d—

ôx



õy



d:



và được gọi là phân kỳ vận tốc (divergence). Trong trường hợp này

3 chính là thể tích chất lỏng chuyển qua mặt kín s . Già sử div V



liên rục và div V >0 tại M n. khi đó có thế tìm được một lân cận của M 0

trong đó div V >0. Điểm M 0 như vậy gọi là điểm nguồn. Ngược lại



nếu trong lân cận cùa M fì mà div V <0 thì M n được gọi tà điểm hút.



c) ỉ.ư u sơ vận tóc

Cìiá sir V lit một dường cong trong Q . Đại lượiig:



I=



+ \ \ i l \ +v.
ì



'I



(rong đó í i ĩ = (J.\. (ly.
Nếu V là đường cone kín thì rđược gọi là Itai sơ' vận tốc doc theo

■/ với (ff là yen tố của đường cong y .



1.2.3. Trường thế, (rường ổng

Trường veclơ (q. V ) dược gọi là trường thế nếu tồn tại một

hâm vô hướng



u



sao cho grad V - V , dược gọi là trường ống nếu



ton tại một Irường vectư khác (n .ẽ ) sao cho 0 = ro tỹ trong đó

rot ỉ ' là một vectơ có các thành phán:

ọ _ Ị d\'j_






\ ơy



õ:



ÕY.0\'y



Õ\\ '



ổv c.\



ơ\' J



ơ:



Trong chất lóng vectơ có các

vcctơ xốy.



thànhphán như vậy được gọi là



Tốn từ Hamilton (hay nabla), ký hiệu V là vectơ tượng (rưng

/ õ



có các thành phẩn



â



ơ



. Áp dụng một cách hình thức các



d.\ ơy dz J



phép lính vectơ, ta có:



v .ơ = i

\



r



d



_ a



++



Ỡ.v

j



vỹ = i -



ọy



B 4. k - ô



....



- Q\



U=fỊraJU

Õ z)



(



ly



r

/ + V



-íj + v.k 1r=\



dy d z, v r



õ\

=



p



d \\

d.\



t / r,r ƯV.

ỒY_

+ — - + — = tlỊvV



ổv



õz

p



V A V = I-O/V'

v . v = A (loán tứ Laplace).



1 .3 . S ự« P H Â N B Ổ V Ậ■N T Ố C T R O N G C H A T L O N G



Trong động học cố thế vận tốc cùa một điếm bát kỳ CÌKI cố thế

có dạng:

V = v„ +tÕAp



(J.3.I)



trong đó ỉ,.( ià vân tốc tịnh liên cùa điểm trong cố thê dược chọn

làm cực, (0 là vận lốc góc cùa cố thế quay quanh trục quay tức thời

đi qua điểm cưc, P là bán kính vectư tương đối, V - — . vái ĩ là

clr



bán kính vectơ tuyột đối ( P [à khống cách từ điếm cực đến diòni

điins xéi. ĩ là khống cách từ điếm đanc xét đến một diốm cỏ' định



hay là gốc toa độ cơ dinh).

Tìr (I.3.1), ta có ihẻ xác dịiìh dược dịch chun u tó

í l r dưới dạng:

d ĩ = dr0 + {(0 A P )dt .



( l .3.2)



Bây giờ ta xc> vận tốc. sự dịch chuyến cúa chất lòng. Xéi tường

tượng một hạt ỉỏng bé giới hạn bởi rnột mặi đơn liên và xét nó tại

hai vị irí liỏn tiếp tại thời điếm t và t+ilr, cách nhau một khoảng thời

gian vò vùng bé Jr. Tại t ta xét hai điểm tuỳ ý o và A và chọn chắng

hạn o làm cực. Giả sử /Ị r |C là hệ toụ độ cố định (HTmh I ). Ký hiệu



bán kính vectơ cúa các dicin 0 , A đỏi với hệ loạ độ cô' dịnh tà r{l. f

và p = O A . Tại r+(lr các điểm O A tương ihig sẽ là 0 A . các bán

kính vectơ tương t'mg sẽ là



còn p ' - 0 ’A ' .



Khi dó dịch chuyển yếu tố của o và ,4 sẽ là:

d ĩ t) -



IX



Fn '



-



fn ; (If



= r ' - r



; (lộ



= p' - P



tioim ctc d p !à dịch ehuycn yếu tỏ tương đối cùa A dối với (). Vì:

ộ - ĩ ' - rỏ ; P = ĩ - r„ =>




Hỉnh 1



với V và v 0 là vận tốc của o và A lại ỉ. Bay giờ ta xem:

v = v ( r ) . v 0 = v „ (r n ).



Kh đó theo cóng thức đạo hàm của vectơ, nếu bò qua các đại

lượng b: bậc cao, ta có:

jp = ( p ỹ ỳ j f .



Ch cu ( i .3.3) lẽn hệ toạ độ cố định ta có:



(1.3.3)



với:



p = U -n .;)



t/p = {JZ,.
Cauchy biến đổi các hệ thức trên nhir sau:

,d v x



ì



* õx



2



d ị = ị — 1- + —n

1



ÕY



dz



i



ơy



d.x



( Õv



ỊV



1 õ:



ơx



( ÕY



õv.



d \'



+—

2



íd v



(// 4-



(lí



a.Y



õx



.



d\'

<^'v



l j dyỵ

ổv, '

Jx] = ĩ| --- - + -“ s ---^ + —^

ởv 2 \ ơ.x

ổv /



ổr







ỡv. '



(lỉ +



dy



í//



+—



2



ỡv.



/



( ỡ v_



5v



,/<; = q —-- +■ - ịe __L + : 1

ơx

ơz

s Ơz

2

Ổ1 ’;

/

+ •“

2

- L l õy



àvy

- ị



Õz

~



'



1



fƠỊV



2



02



+-n



J



r dvx



õv: '



< Õz



ô.x ,



dv_]



(lt +



õv



Để cho gọn, ta ký hiệu:

ƠI’.



ổ»’v



_



*



' *



^



+ ib i = 9 3



õổy

y

*tể



ơr



Ơrr



*

^



ổr



=



(1.3.4)

e



, . ^





ổ.v

.V



. + -^ i = 9,



■ õổy

9y





ơỔA

x



và theo

o định nghĩa cùa vectơ xốy rot K

V , ta có:

,



JỄ, = ZE /&ị ++ --1 T10í

iỉt ++- ■

{;c 3r o í vVV-- Tịror.V

n6.< ++ -!- q9:

se : V

Ty o t . V )) ú(iíi

X\

22

12

)) 22

cỉr\ = e ,ĩi + - ệ ô i + - c f i l \ / f + - (ẽ, r o t . v - cr o t KV ) ( l t (1.3.5)



V.



20



2



2



)



2



í/ụ -



t: ,q + ^ r | 0 , + ^ £ 0 ,
k.

2

2

) 2



(tV‘ơ , «ỹ “ ệ/'0fvV ')í/r



Nêu dua vào hàm:



F=



2



(e ,£ ' + e : r|: + c ,-s: + T|C0/ + ịc,Q2 + c r |ỡ ỉ)



(1 3.6)



thì (1.3.5) có thể viết dưới dạng:



ÔF



( I/



pp

f;>5



lV*

7



ÔF



(1



J t = —— lit +



-



\'



—r o tV A p ÍI

dt



Jx

-\



í/r| = — d i + —r o tV A p (I


V2

J/ vy

ƠF



tic, - —— (it + — r o tV A p



ồc,



\2



(1.3.7)



(It.



Nếu ký hiệu: W= - r o t V thì ta biểu diễn (1.3.7) dưới dạng vectơ:

2

( lộ = iịr u d F (ỉt + ( ó A P )d t



V ì: (If = cỉr0 + dip =clrn + y a d F t l t + ( ỏ A P \ ỉ t



nên ta có thể xem dịch chun yếu tơ' của một điểm bất kỳ của hạt

lỏng ]à tổng cùa ba dịch chuyển: tịnh tiến, quay và biến dạng. Trên

cơ SỪdó la có công thức phân bỏ' vận tốc trong chất lỏng là:



v = v0 + v ,+ v 2



(1.3.8)



trong đó ỹfl= — là vân tốc chuyển đông tinh tiến của điểm cưc o ,

dt



V, = õ> A P là vận tốc cúa chuyển động quay của điểm đang xét



(điểrn /4) quanh trục quay lức thời đi qua điểm cực 0 với vận tóc

góc:õ> = —r o tv ,V - , = 1>raiỉF là vân tốc biến dang thuần tuý, nghĩa

là một vectơ thế xác định bời một hàm toàn phương thuần nhất

(1.3.6). Tenxơ:

2!



E/



10

2



4*



e,

3 e'

-0 , - 0/

<2 2 2



e .*



được gọi là tenxơ vận tốc biến dạng.



1.4. PHƯƠNG TRÌNH LIẾN TỤC

Khi khảo sát chuyến động của chất lòng, ta ln già thiết rằng

chất lỏng thỗ mãn định luật bảo tồn khối lượng. Giả thiết này

ràng buộc sự biến thiên của tỷ khối và thê tích lỏng theo mội điều

kiện dược gọi là phương trình liên tục.



1.4.1. Phương trình liên tục theo biến Lagrange

Xéi một thể tích lỏng r0được giới hạn bời mặt s , . tại thời điếm

t,è các hạt lỏng trong thế tích đó có toạ độ lương ứng là xn.ỵ0f: n. Khi



chuyến sang thời điểm t thế tích tương ứng sẽ là r được giới hạn bời

s và toạ độ các hạt lỏng sẽ là x,y,z. Các toạ độ .v„, yn, và V. V, :



được xác định bởi các phương trình:

x 0 = fi ( ư ,b ,c .ỉnl -V= f , ( u , h x , t )

y o - U t i J h i ' . t 0), y - f 2( u . h x , t )

z n - f i ( u . b . c j 0). z = f f (a ,b .c ,t)



Tỷ khối chất lòng tại tn và / là:



Píì - f { ư , h , c , t n),p = f ( a , h , c , t j

trong đó a .b .c .t là các biến Lagrange.Theo định ỉt bào tồn khối

lượng ta có:



Jjjp d \ 0tlyn(lzn - fffp đx tly tk .

t" ,



~>2



T



(1.4.1)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

C h ư ơ n g 1. ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×