Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG 2: MỘT SÔ MÂU HẠT NHÂN THÔNG DỤNG

CHƯƠNG 2: MỘT SÔ MÂU HẠT NHÂN THÔNG DỤNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

như đối vối proton hoặc đối với các hạt fermi, theo nguyên lí

Pauli, chúng ta thấy ở trong hạt nhân hai hạt (hoặc proton hoặc

neutron) cùng loại khơng có cùng một trạng thái, như vậy rõ

ràng phần phụ thuộc vào spin của trạng thái sẽ có giá trị ngược

nhau. Thí dụ đối với neutron thì sẽ có o i OT, tương tự. đối với

proton thì í© ị@.

Trong phần hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, chúng ta sẽ lập

giá trị k. như thế nào? Ta có dộng năng là

2m



2m



Vây ta có t r i riêng của nó là — —. nếu ta lấy hàm sô trang

2m

thái phụ thuộc vào toạ độ là hàm sóng phẳng. Ta có thể biểu th ị

“*



2 t it



k dưới dạng —— trong đó, X là véctơ có ba thành phần là 1, m, n,

và. nhận các giá tr ị 1, m, n = 0, ±1, ±2, . . . do đó, ta có

L LL

JJJ (e x p O k ^ ^ e x p iik ^ d x d y d z =

0 0 0



L L I,

ọ .

= J J J exP J [Uj - U x + (nrij —m ,)y + (nJ -n,)z]dxdydz

0 0 0



= L3ô(lj. 1, }>(mr m ^ ( n r n,)

Vậy ta chọn hàm sóng là:

(P , ( r ) = ~ - e x p ( i k r )

J ấ t nhiên nó chuẩn hố trên tồn thể tích L \ tức là

Jtp, *(r)
L'



ỗ(Lj X , ) = 5(1,, lj ^(m r m,)5(nj, n l )

58



KL



Nếu chúng ta lấy hình cầu bán kính — để chứa tất cả các

2tc



toạ độ của các nucleon chuyển động trong hạt nhân thì thể tích

của quả cầu đó là

V=



4 FC-'L’tc

3 (271)'



Với hàm số sóng đã được mơ tả ở trên, thì trong mỗi một ơ



lập phương có cạnh là L ỏ trong quả cầu có yếu tố thể tích L3 sẽ

có xác suất tim thấy hạt bằng 1. Tương tự như vậy, trong một

thể tích hạt nhân là V , chắc chắn chúng ta cũng sẽ tìm thấy một

xác suất nucleon nhất định. Vậy nếu ta chọn ư = V và ta có

y ( r ,s ) =



P(s)í



sẽ thoả mãn có ik < k của các nucleon.

Ta gọi n( k ) là số trạng thái với hàm số sóng trên và hàm số

spin lấy cả về hai phía trong tồn bộ thể tích V thì nó có dạng

sau :

( r \ _ _47T K \



K ’v



Vậy số trạng thái proton hay neutron nằm trong vùng

(k,k+dk) sẽ là

dn = n(k + d k ) -n ( k ) =



v k 2dk







ỏ trạng thái cơ bản của hạt nhân, theo nguyên lí Pauli thì

tấ t cả các nucleon đều cho phép ở trạng thái có năng lượng thấp

nhất tửc là có sơ’ neutron hay proton có k=0 cho tới k bằng một

59



giá t r ị cực đại nào đó (k=Ks hay k=Kp chúng nó chiếm giữ ở

trạng thái thực của nó, ngược lại các trạng thái có số sóng k>K N,

Kp là những trạng thái trống, rõ ràng ở trong trường của vector

k thì K n là một bán kính cầu của các neutron và Kp là một bán

kính cầu của các proton. Đó chính là hình cầu Fermi, và từ đó có

khái niệm về “khí nucleon” và như vậy theo Fermi thì số proton

hay là neutron được biểu th ị bằng các cơng thức sau :

n (K „)= ^ =N

3jt

(



(a)



« 0 0 -£ " Z



-



/



K 3dv



\



-» K n



(b)



-> K p =



'ỉ \ ỉ/?



3ĩiZ



* Động năng của các nucleon:

Từ các kết quả này chúng ta có khả năng tính được động

năng toàn phần của neutron cũng như là của proton mà ta kí

hiệu là Tịvt và Tp. Ta hãy nhân động năng của một nucleon với số

trạng th á i theo cơng thức (a), (b) và lấy tích phân theo tấ t



cả



các



trạng th ái của nucleon, có nghĩa là :

kN



vk2dk



T«-í:



71



0



kp



Tp=í



h1 . , vk-'dk



0 2M



-k



7t



3/j2 . XI

3 ( 3n

= —— K '„ N = —

10M

10

3Ã-' „ 2 „

3 3n

K pZ = —

10M

10



2



\ 2/3



Gọi T = T n +Tp là động năng toàn phần của nucleon trong

hạt nhân và chúng ta viết cho trường hợp số neutron nhiều hơn

số proton có trong hạt nhân tức là (N -Z )/A « l, vậy ta có:



60



T = TN + Tp =



2/3



3tt



10



M



2/3



3 on p

10 V 2 >



h2



(N 573 + Z 5/3) «



fN -Z ]



A ’l + ®

M

9I A



2"



+



J



. .



= t0 + ts

và ỏ đây khai triển đến bậc hai, trong cơng thức thì P=A/v là

mật độ nucleon chứa trong hạt nhân. K hi hạt nhân dối xứng thì

động năng tồn phần gồm T=T0 tức là:

T =—



3ĩr2p



10



°



xỉ/3



Í Ì a - 1 » Ì | C ’A

M

10 M



trong đó: K 3=3n2p/2.

T0 là phẩn động năng của hạt nhân đối xứng, tức là ỏ trong

hạt nhân này, ta có A=2N=2Z và K=KN-=Kp là sơ" sóng cực đại của

proton hoặc của neutron.

Nếu NVZ trong hạt nhân thì cùng với T0 '(là động năng của

hạt nhân) ta có thêm

l , 3n2p 2,3 h 2 ( N - Z ) 2

6



2



M



A



=



1 tr 2 ( N - Z )

-K

6M

A



Như vậy ta co Ts là phần năng lượng tạo nên bởi sự bất dối

xứng.

2.1.2. T h ế năng

Cho tối dây chúng ta cũng chưa để cập tới thế năng trong lực

tương tác của các nucleon. Bây giờ chúng ta hãy chú-ý tới thế

năng của lực hạt nhân xác định tương tác giữa các nucleon.

Nghĩa là chúng ta cũng vẫn quan niệm theo mẫu khí Fermi vối



61



đặc trưng cho chuyển động bằng hàm sơ' sóng và trong phần

năng lượng toàn phần của hạt nhân chúng ta bổ sung thêm vào

thành phần đặc trưng cho thế năng tương tác của các nucleon.

Trên cơ sỏ nghiên cứu về năng lượng liên kết giữa các

nucleon, chúng ta thấy lực hạt nhân (đặc trưng cho tương tác

giữa các nucleon) có tính chất bão hồ và nó tỉ lệ vối A, không tỉ

lệ với A2. Điều này chứng tỏ 1 nucleon chỉ tương tác với một số

nucleon nhất định. Trường hợp đơn giản ngưòi ta cho rằng thế

năng tương tác giữa hai nucleon là tương tác phụ thuộc vào

khoảng cách ngắn trong toạ độ tâm quán tính,- tức là phụ thuộc

vào r = ĩ| - r21 và lúc này người ta gọi thế năng là thế nãng

Wigner hay gọi là lực Wigner tức là v = v w(r)<0. Chúng ta hãy xét

cụ thể các khả năng phân phối của các nucleon (neutron hoặc

proton) trong hạt nhân như hình 2.1

(+)—M



£



t



C+>—r+

-Ồ ~ Ỹ —



neutron



proton



Hình 2.1



Từ sự sắp xếp này chúng ta thấy từng cặp nucleon sẽ được

phân bố theo các khả năng sau :

a/ Cặp nucleon cùng loại có spin song song với nhau.

b/ Cặp nucleon cùng loại có spin đối nhau.

c/ Cặp nucleon khác loại có spin song song với nhau.



62



d/ Cặp nucleon khác loại có spin đối nhau.

Rõ ràng tương tác từng cặp nucleon theo bốn khả năng khác

nhau ở trên cũng sẽ gây nện sự khác nhau trong biểu thức thế

năng của hạt nhân

Đứng về mặt hàm sóng mà nói thì theo ngun lí Pauli cũng

như theo ngun lí Dirac thì đối với các hạt cùng loại có spin

bằng 1/2 th ì các hàm sóng xác định trạng thái của nó phải là

những hàm sóng phản đối xứng. Do đó ta có hàm sóng cho 4 khả

năng phân bố cặp nucleon ở trên là :

Đối với a/:



Vị/ý (1,2)



=



a (S ,)a (S 2)


[P(S,)P(SĨ)J



V2



Đốivớib/:

1

V,j(U2) = ~ [a(Sj )P(S2)
Rõ ràng đối vối các hạt không cùng loại th ì tính chất phản

dối xứng của hàm sóng xác định trạng thái khơng cần thiết. Do

đó ta có:

a (S ,)a (S j)



Đối với c/:



Y „(U ) =



Đốì với dJ:



\ụ (1,2) = a(S , )P(S2)cPi (r, )(p ( r , )



[P(S,)P(S*)J



Gọi Uy* là thế năng của từng cặp nucleon vái thê tương tác

là V wồ trạng thái xác định là VỊ/ jj(l,2 ) th ì ta có cơng thức là :

U ” = ( v ', . V „ ( r ) , V li)



Nếu chúng ta sử dụng tính chất chuẩn hố và trực giao của

các hàm sóng về spin của các nucỉeon tức là ta có: (a,a)=(P,(3)=l;

(cụ|3)=0 do đó ta có :

63



Đối vối trường hợp a/:

UJJ* - ( y , , v . , i r , ) -







*(f|)Pi(ĩ|)v,(fi>P) *JV»,(r)dvlđv,(l)



Đơì với trường hợp b/, c/, d/:

U ? =(V>ijVw( r ) v ij) = J|cpi (ri )|2|cpJ(r,)|2V w(r)dv1dv,

Nếu hàm Orạng thái



'f'j( r )



(2)



lấy dạng sóng phẳng và



r = r, - r2 hoặc 2/jit = hịk' - icJ) là toạ độ tương đối thì hệ (1) và

(2) sẽ có dạng sau:



U ” = ÌJ (l-c o s 2 k ? )v w(r)dv

U ” = - J v w(r)dv

VJ



Nếu ta gọi U0 là thế năng toàn phần của lực hạt nhân th ì ta

sẽ có cơng thức sau:

A



U»=



5X



vì U * là thế nàng của từng cặp nucleon



i£j=l



2.1.3. N ă n g lư ợ n g b ể m ặ t

Trước đây, chúng ta thường tính động nàng tồn phần của

các nucleon trong hạt nhân theo mẫu khí Fermi, chung ta đã bỏ

qua năng lượng bề mặt của hạt nhân. Bây giò chúng ta giả sử

khi nucleon này được giữ trong một hình hộp cỏ các thành hộp

khơng thể cho các nucleon xuyên qua, nghĩa là các nucleon đó

đập vào thành hình hộp và quay trở lại. Do đó xác suất tồn tại

các hạ t ở gần tường lùnh hộp bằng khơng, và cũng từ đó hàm

sóng của các nucleon ỏ vùng này cũng phải bỏ qua. Do đó hàm

64



sóng xác định trạng thái của các nucleon ở vừng này. khơng thể

(.lùng hàm sóng phẳng được nữa. Theo cơ học lượng tử trong

trường hợp dó t a có hàm sóng xác định trạng thái là :



trong đó k^rcl/L; k2=7tm/L; k 3=nn/L; vối l,m ,n=l,2,3



Hình 2. 2



Chúng ta cũng có điều kiện biên của hàm sóng trên, tức là

giạ trị gơc loạ uộ và bò hình hộp có cạnh là L sẽ là:

(Oyz) = cp(xOz) = cp(xyO) = (p(Lyz) = cp(xLz) =
Khi k < K thì rõ ràng số sóng ở cơng thức trên sẽ có là:

l2+in2+n2<(KL/n)2. Từ đó ta thấy quả cầu có bán kính là KL/rt sẽ

có thế chia thành 8 quả cầu với các giá trị 1, m, n >0, và ta có thể

,



, , r



1 4n K 3L 3



tích cua từng q câu nhó l à : ----------- — .

8 3 71

Thế nhưng tại các gốc, với 1=0, m=0, n=0 th ì hàm sóng cũng

bằng khơng. Do đó thể tích của từng quả cầu nhỏ khơng còn

hồn tồn chính xác nữa, có nghĩa là quả cầu chứa khí nucleon

65



với bán kính KL/rc là phải trừ bớt đi ba mảnh hình cầu có bán

kính là K I Jn chứa điểm toạ độ 1=0, n=0, m=0 tức là ta có

3(KL/ji)2ĩt tức là phần có gạch ở hình 2.3.



À m



Hình 2. 3



Tóm lại, trong trường hợp k
nhỏ bây giò chỉ còn là

4rc K j V {



4tt K -V ì



n



71



3 (2n)3



3ĩtf A

8KV



ở đây V=L3 là thể tích hình hộp chứa khí nucleon, và f=6Ư

là diện'tích tồn phần. Tất nhiên đối với những neutron hoặc

những proton thì sự phân bơ' spin của nó đều theo hai phía. Do

đó, số hàm số trạng thái trong trường hợp này được mô tả b ằ n g

cơng thức trên, ta phải lấy cả hai phía, và ta có :

K !v



n(k) =



3n



1-



37tf



8ĨcỤ



Vậy, số trạng thái rơi vào giữa khoảng (k.k+đk) sẽ là



66



đn = n(k + d k )- n(k) =



k 2vdk



1-



71



trong trường hợp A=2N=2Z, tức là trường hợp hạt nhân đối

xứng, ta có :



37if

K \'

1=N=z =—

n (k )= ^

8K \ )

2

Rõ ràng mật độ nucleon (p) có quan hệ vổi số K. Gọi v’ là thể

'

3nf ^

tích thực chứa các nucleon khí, ta có v' = V 1, và lúc đó ta

8Kv

V

có p (mật độ nucleon)=A/v’, nên v-A /p . Ta đã có :

K



V



_



A



_



---- — = — =

J7C



2



K



?A



3n p



0—22p/2.

do đó, ta có K'3—

=3«



Trong trường hợp này thì động năng tồn phần T=TN+Tp sẽ

được tính như sau:

K



K



ti2



T = 2Tn = 2Tp = 2 í —— k 2dn = 2 I —— k 2 -“ -k

p

* 2M

• 2M

7t2



Kr ĩ r



\ '(



= 2 f— k 2- V I 1

0J 2M

ttH



1 ~ ^ W

4kv )



]dk = r0+ T.



4kv )



T0 là động năng của hạt nhân kh i không kể tỏi năng lượng

mặt.

Tị,- là năng lượng m ặt của hạt nhân.

Tp= — — K 4f

80n M

Nếu trong hạt nhân không phải là hạt nhân đối xứng tức là



N * z, thì



T = To + Tp + Ts

Ts là năng lượng khơng đốì xứng đã tính ỏ trong các tiết

trên.

2.1.4. Năng lượng C oulom b và năng lưựng cặp

2.1.4.1. N ăng lượng Coulomb



Có một proton nào đó lấy tách ra trong sơ z proton thì ta còn

lại là Z-1 proton, và nếu ta cho rằng số proton này sẽ phân bơ

đều thì ta có mật độ proton trong hạt nhân là



Trường diện do (Z-l) proton tác dụng lên 1 proton ở vị trí r là:



Ta coi mật độ phân bố proton ở trong hạt nhân là phân bơ

đều, ta có:



z



0

Ị8



nếu Ịr| < R



n

ếurì>R



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG 2: MỘT SÔ MÂU HẠT NHÂN THÔNG DỤNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×