Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

Tải bản đầy đủ - 0trang

b) Phơng trình mặt phẳng



Trong không gian Oxyz cho mp () đi qua M(xo;yo;zo)

r

không gian uOxyz

chourmp()

đi 2qua

2

2

và có vtpt n  ( A; B; C ), ( A  B  C 

2 0) 2

2



;zo) vµ cã vtpt

n  ( A; B; C ),( A  B  C  0)

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc () là:

điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộ



o



ur uuuuur

ur uuuuur

n  M o M � n .M o M  0



z



A( x  xo )  B( y  yo )  C ( z  zo )  0 (1)

Đặt:D ( Axo Byo Czo )



(1) � Ax  By  Cz  D  0 (2)



M0





x



O



r

n



M

y



Với 2

.

2

2

A B C 0

Khi đó pt(2) gọi là phơng trình tổng quát của

mp ()



b) Phơng trình mặt phẳng

*Nhận xét:

Để viết đợc phơng trình mặt phẳng ta cần phải có:

+Tọa độ của 1 điểm thuộc mặt phẳng.

+Tọa độ 1 VTPT của mặt phẳng đó.



c) Ví dụ:

VD1: Viết phơng trình mặt phẳng () đi

qua ba điểm M(0; 1; 1), N(1;-2;0), P(1; 0;

r uuur uuur

2).

Hd: Mặt phẳng ()



n=

MN

,

MP









đi qua r điểm

M(0;

1;

N

uuuu

r uuur

M





n



MN

,

MP

4; 2; 2

1)





1

VTPT



P







Phơng

trình

mặt

4 x 0phẳng

2  z lµ:

1  0 � 2 x  y  z  0

  2  y  1 ()



VD2: Cho A( 1;-2;3) và B(-5;0;1). Lập ph

ơng trình mặt phẳng trung trực (P) của

đoạn

thẳng

. điểm của đoạn thẳng

Hd: Gọi

I lµ AB

trung

AB .� I  2; 1; 2 

uuu

r

  6;là

2; 2

Mặt phẳng (P) đi qua I và có 1 AB

VTPT

Pt mặt phẳng (P) là

6 x 2   2  y  1  2  z  2   0

A



B



I



P



� 3 x  y z 3 0



Định

lí: gian Oxyz, mọi mặt phẳng

vậy,

trong không

u có phơng trình tổng quát dạng (2): Ax+By+Cz+D

Trong

gian

Oxyz,

mỗi

ph

2

2 không

2

A B C

. 0

2

2

2

A



B



C

ơng

trình

Ax+By+Cz+D=0

h lí sau

đây

khẳng

định điều ngợc lại 0với

đều là phơng trình của một

xác

Hd:mặt

Lấy 1phẳng

nghiệm

(x0định.

;y0;z0) của pt (2), khi

®ã ta cã: Ax0  By0  Cz0  D 0

Gọir (P) là mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0)

AVTPT

; B; C  lµ

vµncã

x  x0   B  y  y0   C  z  z0 0

Phơng trình mp (P)A là

Ax By  Cz  Ax0  By0  Cz0  0 � Ax  By  Cz  D  0



2. Các trờng hợp riêng



Trong khoõng gian cho Oxyz cho

mp (α)

(A 2  B2  C2  0)

By (α)

+ Cz

D =gốc

0 (2)

TH 1: Ax+Mp

đi+qua

D=0



toạ độ



Toạ độ

điểm O có

thỏa mãn

pt mp ()

hay không ?



z





O

x



Ax+By +Cz=0



y



mp () song song hoặc chứa

TH 2: A = 0

rr

trục

Ox.

r

TÝnh n.i  ?



n   0;B;C 



vµ cho nhận

z

r



xét về phơng

i



1

;

0

;

0









của 2 vectơ

z

trên?

z

r

n

j

k

k

O

y

i O

y

y

x

a)



x

b)



x

c)

Ax+By+D=0



TH 3: A = B



=0



z



z



α)



x











z



 mp(α) song song hc trïng víi

mp (Oxy)



O



O



y

x



Cz+D=

0



By+D=0



O



y



y

x



Ax+D=0



*Nếu A , B , C , D  0 thì bằng cách

đặt nhö sau :

D

D

D

a 

; b 

; c 

A

B

C



A

B

C

 2 � Ax  By Cz  D � D x  D y  D z  1



x

y

z

Ta đưa pt (2) về dạng    1

a b c

:



 3



Pt (3) được gọi là phương trình của mặt

phẳng theo đoạn chắn, hay nói cách

khác pt trên là pt mặt phẳng đi qua 3

điểm lần lượt nằm trên 3 trục Ox , Oy ,

Oz và có tọa độ là M(a ; 0 ; 0) , N(0 ;

b ; 0) , P(0 ; 0 ;c).



2. Các trờng hợp riêng :

Dạng phơng

trình

Ax + By + Cz

=0

Ax + By + D =

0

Ax + Cz + D =

0

By + Cz + D =

0

Ax + D = 0

By + D = 0



Vị trí của mặt phẳng

so với các yếu tố của hệ toạ độ

Đi qua gốc toạ ®é O

Song song hc chøa trơc Oz

Song song hc chøa trơc Oy

Song song hc chøa trơc Ox

Song song hc trïng với mặt

phẳng (Oyz)

Song song hoặc trùng với mặt

phẳng (Oxz)



Ví dụ 3: Trong không giao Oxyz cho điểm

M(30;15;6)

a. Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) đi

qua các hình chiếu của M trên các trục toạ độ

z

b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm

r

C 6

OBài

trên

mp(P)

giải

:

n

a. Toạ độ hình chiếu của M trên

H

B

các trục toạ độ Ox. Oy, Oz lần lợt

z

O

15

là A(30;0;0),B(0;15;0),C(0;0;6)

A

Phơng mặt phẳng (P) qua

30

A,B,C

x ylà :z

+ + =1 hay x+2y+5z-30=0x

M

30 15 6

A

uuur

OH

b.

Quan hƯ

3

r cđa

n

0

víi vtpt

P

y

cđa mp (P) nh



thÕ nµo ?



y



x



VÝ dơ 3: Trong không giao Oxyz cho điểm

M(30;15;6)

a. Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) đi

qua các hình chiếu của M trên các trục toạ

z độ

b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm C 6

OBài

trêm

giảimp(P)

:

H

uuur r

OH =tn

b. Do H là hình chiếu của O trên

O

(P) nên

A

Gọi H(x;y;z) thì toạ độ của H thỏa mãn

3

hệ phơng trình :

t=1

x+2y+5z-30=0

x=t

x=1









y=2t

y=2









z=5t

z=5







x



0



.Vậy

H( 1;2;5)



B

15



y



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×