Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Một số phương trình lượng giác dạng khác

Một số phương trình lượng giác dạng khác

Tải bản đầy đủ - 0trang

TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



CHUN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trò lượng giác

sinx

1

π



phần tư



2



Giá trị LG

(II)



I



II III IV



+



+











+











+



+







+







+







+







(I)



π



0 1





O



-1



cosx



(IV)



(III)



2

-1



(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)



2. Công thức lượng giác cơ bản

tan .cot



1



sin2



cos2



1



1



1

cos2



tan2



1



cot2



1

sin2



3. Cung góc liên kết

Cung đối nhau

cos( a)



Cung bù nhau

a)



sin(



cos a



Cung phụ nhau



sin a



sin



sin( a)



sin a



cos(



a)



cos a



cos



tan( a)



tan a



tan(



a)



tan a



tan



cot( a)



cot a



cot(



a)



cot a



cot



Cung hơn kém

sin(



a)



sin a



cos(



a)



cos a



2

2



a



cos a



a



sin a



a



cot a



a



tan a



2

2



Cung hơn kém

sin

cos



tan(



a)



tan a



tan



cot(



a)



cot a



cot



2

2



2

2



a



2



cos a



a



sin a



a



cot a



a



tan a



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



1 | THBTN



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



4. Công thức cộng cung

sin(a



b)



tan(a



sin a cos b



cos a sin b.



cos(a



Hệ quả: tan



1

1



x



4



cos a cos b



sin a sin b.



tan(a



b)



tan a tan b

1 tan a tan b



tan x

và tan

tan x

4



x



1

1



tan a tan b

1 tan a tan b



b)



b)



tan x

tan x



5. Công thức nhân đôi và hạ bậc

Nhân đơi

sin2



2 sin



cos2



cos 2



Hạ bậc



sin2



2 cos



2



1



1



tan 2



2 tan

1 tan2



cot2



cot2

2 cot



1



cos 2

2



1



cos 2

2



tan2



1

1



cos 2

cos 2



cot2



1

1



cos 2

cos 2



sin2



cos



2 sin



cos2



2



1



Nhân ba

4 sin 3



sin 3



3 sin



cos 3



4 cos3



3 tan

tan3

1 3 tan2



tan 3



3 cos



6. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a

sin a



cos b

sin b



2 cos

2 sin



a



b



cos



2



a



b

2



cos



a



b



cos a



2



a



b



cos b



sin a



2



2 sin



sin b



2 cos



a



b

2



a



b

2



sin

sin



a



b

2



a



tan a



tan b



sin(a b)

cos a cos b



tan a



tan b



sin(a b)

cos a cos b



cot a



cotb



sin(a b)

sin a sin b



cot a



cotb



sin(b a )

sin a sin b



b

2



Đặc biệt

sin x



cos x



2 sin x



4



2 cos x



sin x



4



cos x



2 sin x



2 cos x



4



4



7. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a cos b

2 | THBTN – CA



1

cos(a

2



b)



cos(a



b)



sin a sin b



1

cos(a

2



b)



cos(a



b)



LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM: THẦY TÀI: 0977.413.341



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



1

sin(a

2



sin a cos b



b)



sin(a



b)



Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt



sin





cos





tan





cot





00



300



450



600



900



1200



1350



1500



1800



3600



0





6





4





3





2



2

3



3

4



5

6







2



0



1

2



2

2



3

2



1



3

2



2

2



1

2



0



0



1



3

2



2

2



1

2



0



0



3

3



1



3



kxđ



kxđ



3



1



3

3



0







1

2







2

2







3

2



1



1



3

3



0



0



kxđ



kxđ



 3



1







3

3



1



 3







Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα)



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



3 | THBTN



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC

1. Tính chất của hàm sớ

a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

Hàm số y f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x

f ( x ) f (x ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.



D thì



x



D và



Hàm số y f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x

f ( x)

f (x ). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.



D thì



x



D và



b. Hàm sớ đơn điệu: Cho hàm số y



f (x ) xác định trên tập (a;b)



y



f (x ) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu x1, x 2



(a;b) có x1



y



f (x ) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu x1, x 2



.



x2



(a;b) có x1



f (x1 )

x2



f (x 2 ).



f (x1 )



f (x 2 ).



c. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y f (x ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T

mọi x D ta có (x T ) D và (x T ) D và f (x T ) f (x ) .



0 sao cho với



Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hồn f .

2. Hàm số y



sin x .



sin x có tập xác định là D



Hàm số y

Tập giá trị T



1;1 , nghĩa là:



y



sin x



1



1



Hàm số y f (x ) sin x là hàm số lẻ vì f ( x )

y sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số y



y



sin(ax



Hàm số y

khoảng :



Hàm số y



2



sin x tuần hoàn với chu kì To

b) tuần hồn với chu kì To



3

2



k 2 , với k



sin x nhận các giá trị đặc biệt:



0



sin x



1



0



sin2 x



1



sin( x )



sin x



f (x ). Nên đồ thị hàm số



2 , nghĩa là: sin(x



k2 )



sin x. Hàm số



a



2



k2 ;



2



k2



và nghịch biến trên mỗi



.

sin x



1



sin x



0



sin x



4 | THBTN – CA



f (x ) xác định.



2



sin x đồng biến trên mỗi khoảng :



k2 ;



sin f (x ) xác định



x

x

1



x



2

k



k2

, (k

2



).



k2



LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM: THẦY TÀI: 0977.413.341



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018

Đồ thị hàm số:



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



y

1







O



x







–1



4. Hàm sớ y



Hình dạng đồ thị hàm số



cos x.



cos x có tập xác định D



Hàm số y

Tập giá trị T



1;1 , nghĩa là:



1



y



cos x



cos f (x ) xác định



1



Hàm số y f (x ) cos x là hàm số chẵn vì f ( x )

nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.



y



1



0



cos2 x



1



cos x



f (x ), nên đồ thị của hàm số



2 , nghĩa là cos(x



k2 )



cos x. Hàm số



a

k 2 ; k 2 ) và nghịch biến trên mỗi khoảng



Hàm số y cos x đồng biến trên mỗi khoảng (

(k 2 ;

k 2 ).



Hàm số y



cos x



2



b) tuần hồn với chu kì To



cos(ax



0

cos( x )



cos x tuần hồn với chu kì To



Hàm số y



f (x ) xác định.



cos x nhận các giá trị đặc biệt:



cos x



1



x



cos x



0



x



cos x



k2



x



1



2



k



, (k



).



k2



y



Đồ thị hàm số:

1



O

4. Hàm sớ y

Hàm số y



y







x



–1



tan x.



Hình dạng thị hàm sớ

\

tan x có tập xác định D

2



tan f (x ) xác định



f (x )



2



k ; (k



Tập giá trị T

.

Hàm số y f (x ) tan x là hàm số lẻ vì f ( x )

số đối xứng qua gốc tọa độ O.



Hàm số y







tan x tuần hồn với chu kì To



k , k



, nghĩa là x



2



k



hàm số



).

tan( x )

y



tan(ax



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



tan x



f (x ) nên đồ thị của hàm



b) tuần hồn với chu kì To



a



5 | THBTN



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



Giá trị đặc biệt:



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



tan x



0



x



tan x



1



x



tan x

Đồ thị hàm số y



k

4

x



1



k



, (k



).



k



4



tan x



y



x



O

5. Hàm số y

Hàm số y



y



cot x.

cot x có tập xác định là D



cot f (x ) xác định



f (x )



\ k , k



k ; (k



Giá trị đặc biệt :



0



x



cot x



1



x



cot x

Đồ thị hàm số y



cot x :



1



2

4

x



y



)



hàm số



cot x



cot(ax



f (x ) nên đồ thị của hàm số



b) tuần hồn với chu kì To



a



k

k

4



, (k



).



k



y



O



6 | THBTN – CA



cot( x )



cot x tuần hồn với chu kì To

cot x



k ; (k



).



Tập giá trị T

.

Hàm số y f (x ) cot x là hàm số lẻ vì f ( x )

đối xứng qua gốc tọa độ O.



Hàm số y



, nghĩa là x



x



LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM: THẦY TÀI: 0977.413.341



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



§ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản

Với k



, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:



a



sin a



sin b



tan a



tan b



b



k2



a



b



a



b



Nếu đề bài cho dạng độ (



o



k2



k .

) thì ta sẽ chuyển k 2



cos a



cos b



cota



cotb



k 360 , k



a



b



k2



a



b



a



b



k2



k .

180o.



k180 , với



Những trường hợp đặc biệt:



sin x



1



sin x



0



sin x



x



2

k



x

x



1



tan x



0



x



tan x



1



x



tan x



1



k2



k

k



4

x



k



4



1



x



cos x



0



x



cos x



k2



2



cos x



x



1



cot x



0



x



cot x



1



x



cot x



k2



1



k



2



k2

k



2



k



4

x



k



4



2. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc

cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng



Đặt ẩn phụ



Điều kiện



a sin2 X



b sin X



c



0



t



sin X



1



t



1



a cos2 X



b cos X



c



0



t



cos X



1



t



1



a tan2 X



b tan X



c



0



t



tan X



a cot2 X



b cot X



Nếu đặt t



c



t



0



sin2 X, cos2 X hoặc t



X



cot X



k



2

X



k



t



sin X , cos X thì điều kiện là 0



1.



3. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng qt: a sin x



b cos x



c ( ) , a, b



Điều kiện có nghiệm của phương trình: a 2



b2



\ 0



c 2, (kiểm tra trước khi giải)



Phương pháp giải:

Chia 2 vế



a2



b2



0, thì ( )



a

a



2



b



2



sin x



b

a



2



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



b



2



cos x



c

a



2



b



2



( )

7 | THBTN



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



a



Giả sử: cos



a2



sin x cos



( )



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



b2



b



, sin



a2

c



cos x sin



b2



a2



,



0;2

sin(x



b2



Lưu ý. Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là:



thì:



c



)



a2



b2



: dạng cơ bản.



sin a cos b



cos a sin b



sin(a



b)



cos a cos b



sin a sin b



cos(a



b)



Các dạng có cách giải tương tự:



a.sin mx



b.cos mx



a.sin mx



b.cos mx



a2

a



b 2 cos nx



2



2



b sin nx



c.sin nx



, (a 2



b2



d.cos nx, (a 2



0)

b2



PP



c2



Chia : a 2



b2 .



d 2)



4. Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2 X



c.cos2 X



b.sin X cos X



d (1) a, b, c, d



.



Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan và

cotan được xem là bậc 0).

Phương pháp giải:

Bước 1. Kiểm tra X



Bước 2. Khi X



(1)



a



2



cos X



k



2



sin X



k , (k



sin2 X

cos2 X



b



a tan2 X



0



2



có phải là nghiệm hay khơng ?



cos X



)



0



2



sin X



sin X cos X

cos2 X



b tan X



1



c



c



1



cos2 X

cos2 X



. Chia hai vế (1) cho cos2 X :



d

cos2 X



tan2 X )



d(1



Bước 3. Đặt t tan X để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t

x.

 Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.



5. Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng 1. a (sin x

PP



cos x )



b sin x cos x



c



0 (dạng tổng/hiệu – tích)

t2



và viết sin x cos x theo t .



Đặt t



sin x



cos x, t



Lưu ý, khi đặt t



sin x



cos x thì điều kiện là: 0



 Dạng 2. a (tan2 x

PP



cot2 x )



Đặt t



b (tan x



tan x



cot x, t



2



cot x )

2



c

t2



theo t và lúc này thường sử dụng: tan x cot x



8 | THBTN – CA



t



2.



0

và biểu diễn tan2 x



1, tan x



cot x



cot2 x



2

sin 2x



LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM: THẦY TÀI: 0977.413.341



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



6. Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng 1.



m.sin 2x



n.cos 2x



p.sin x



q.cos x



r



0

cos2 x

2



2 sin x cos x, còn: cos 2x



Ta ln viết sin 2x



sin2 x



2 cos x



(1)



1



(2)



2 sin x



(3)



2



1



Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos 2x theo (1) và lúc này thường sẽ đưa được về

dạng: A2



B2



(A



B)(A



B)



0.



Nếu theo (2) được: sin x .(2m.cos x



(2n.cos2 x



p)



q.cos x



r



n)



0 và



(i )



theo (3) được: cos x (2m.sin x



q)



2



( 2n.sin x



p.sin x



r



n)



0. Ta sẽ



(ii )



phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa vào: at

là hai nghiệm của at



2



bt



c



2



bt



c



a(t



t1 )(t



t2 ) với t1, t2



0 để xác định lượng nhân tử chung.



Dạng 2: Phương trình có chứa R(..., tan X, cot X, sin2X, cos2X, tan2X,...), sao cho cung của

sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó đặt t tan X và sẽ biến đổi:

sin X

2 tan X

2t

sin 2X 2 sin X cos X 2

cos2 X

cos X

1 tan2 X

1 t2



cos 2X



2 cos2 X



1



2



1



1

tan2 X



tan2 X

tan2 X



1

1



1



t2

t2



1

1



sin 2X

2t

1 t2



cot2

X

cos 2X

2t

1 t2

Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t, giải ra sẽ tìm được t

tan 2X



x.



Dạng 3: Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

Tổng các số không âm: A2



Đối lập: A



Hoặc: A



B2



0



B mà chứng minh được



B



M



A



0



B



0



A



M



A



M



B



M



B



M



N mà chứng minh được:



A



M



A



M



B



N



B



N



Một số trường hợp đặc biệt:



sin u



sin v



2



sin u

sin v



1

1



sin u



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



sin v



2



sin u



1



sin v



1



9 | THBTN



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



cos u



cos v



sin u.sin v



cos u.cos v



10 | THBTN – CA



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



2



1



1



cos u



1



cos v



1



sin u



1



sin v



1



cos u



cos v



2



cos u



1



cos v



1



sin u



sin u



1



sin v



1



cos u



1



cos v



1



sin u.sin v



1



1



sin v



1



sin u



1



sin v



1



cos u



cos u



1



cos v



1



cos u.cos v



1



1



cos v



1



cos u



1



cos v



1



LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM: THẦY TÀI: 0977.413.341



TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM 2018



BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC



§ 3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI TEST SỐ 01

Câu 1:



Câu 2:



Câu 3:



1

có tập nghiệm là:

2

5









A. S    k ,

B. S    k 2 , k   .

 k , k   .

12

12



6













C. C    k , k   .

D. S    k , k   .

2

12



18



Tập nghiệm của phương trình 2cos3x  1  0 là:

2

 2



 2



A. S  

B. S  

k

, k  .

 k 2 , k   .

3

 9



 9





 2



 2



C. C  

D. S  

 k , k   .

k , k .

2

 9



 9



sin 2x

Tập xác định của hàm số y 

là:

1  cos x

A. D  \ k 2 , k   .

B. D  \   k 2 , k   .



Phương trình sin 2x 



C. D 

Câu 4:



Câu 5:



Câu 6:



Câu 7:



Câu 8:



 



\ k , k   .

 2





D. D 



\ 1 .







Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  3 sin 2  x   là:

3



A. 1 .

B. 1  3 .

C. 1  3 .

D. 3 .

2 1

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y    sin 3x là:

3 2

4

5

4

A. .

B.  .

C. .

D. 1 .

3

3

3

Tập nghiệm của phương trình 2sin 2 x  5sin x  2  0 là:

7

7

 



 

A. S    k ,

B. S    k 2 ,

 k , k   .

 k 2 , k 

6

6

 6



 6

7

 7



 



 

C. S    k 3 ,

D. S    k ,

 k 3 , k   .

k , k

6

2 6

2

 6



 6

1

Giải phương trình tan  3x  30   

.

3

A. x  k 60, k  .

B. x  60  k180, k  .

C. x  60  k 60, k  .

D. x  30  k 60, k  .

Giải phương trình sin 3x  sin x .







A. x  k , x   k , k  .

B. x   k , k  .

4

2

2



C. x  k 2 , k  .



D. x  k 2 , x 







2





.





.





 k , k  .



Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số y  cot x .





A. .

B. .

C.  .

3

2

  

Câu 10: Số nghiệm thuộc đoạn   ;  của phương trình sin 2x  0 là:

 2 2

Câu 9:



ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM



D.  .



11 | THBTN



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Một số phương trình lượng giác dạng khác

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×