Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
3 Thành lập phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu chuyển vị của đất nền với tham số khoảng.

3 Thành lập phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu chuyển vị của đất nền với tham số khoảng.

Tải bản đầy đủ - 0trang

42



x&

x&

} + [ C] { x&} + [ K ] { x} = − [ M ] { 1} &

[ M] { &

0 (t )



(1.37)



Mô hình kết cấu được sử dụng đê tính toán và phân tích động cho kết cấu trong

trường hợp có tham số đầu vào khoảng cũng chấp nhận các giả thiết tính toán như đã

nêu trong mục 1.3.1. Cho nên, hoàn toàn có thê sử dụng mô hình tính kết cấu trong

trường hợp có tham số khoảng [16] tương tự như mô hình tính đã nêu trong mục 1.3.1,

chỉ khác là các tham số của bài toán là các số khoảng và cách giải quyết bài toán động

có tham số khoảng là vấn đề được quan tâm nghiên cứu.

2.3.2. Phương trình vi phân dao động có tham số khoảng.

Trong trường hợp bài toán dao động chứa các tham số không chắc chắn dưới

dạng tham số khoảng [15] thì phương trình (1.34) được biêu diễn dưới dạng phương

trình vi phân dao động khoảng như sau:

( (

( (

( (

(

(

 M  &

x& + C  x& +  K  { x} = −  M  { 1} &

x&

0 (t )



{ }



{ }



(2.25)



(

(

(

 M   K  C 

Trong đó:

,

,

lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng



và ma trận cản nhớt dạng khoảng của hệ kết cấu (n bậc tự do) có dạng:

(

( (

(

(

(

 m1 0 ... 0 

 r11 r12 ... r1n 

c11 c12

(

(

0 m

 r( r( ... r( 

c(

(

(

(

... 0 

c22

2

21

22

2n 

21







C  =

 M  =

K  =

M M M M    M M M M    M M



( 

( (

( 

(

(

0 0 ... mn 

 rn1 rn 2 ... rnn 

cn1 cn 2

;

;

(

&



x&

1

&

(&

(

x 

&

x& =  2 

 M

( 

 &

x&

n



{ }

và



(

 x&



1

 (&

(

x 

x& =  2 

 M

 x(&n 



{ }

;



;



(

 x1 

( 

(  x2 

{ x} =  

 M

 x(n 



...

...

M

...



(

c1n 

(

c2 n 

M 

( 

cnn 



lần lượt là vectơ gia tốc khoảng, tốc độ



khoảng và chuyên vị khoảng của các bậc tự do của hệ kết cấu.



43



{



(

(

 F1 (t )   m1 

(  (  (

(

(

( (

 F (t )   m  (

F (t ) =  M  .{ 1} a. f (t ) =  2  =  2  a. f (t )

 ( M   M

( 

 Fn (t )  m

n



} {



(

 m1 

( 

(

( m2  (

 M  .{ 1} .a =   a

 M

( 

m

n



}



là vectơ tải trọng động, với



(

f (t )

là biên độ của tải trọng động,



của chuyên vị đất nền,



(

a



là hàm phụ thuộc thời gian



là chuyên vị của đất nền dạng sớ khoảng.



2.4. Cách giải phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu chuyển vị

của đất nền với tham số khoảng [4].

2.4.1. Cách giải phương trình vi phân dao động có tham số khoảng.

Vận dụng thuật giải phương trình vi phân dao động của kết cấu khung phẳng chịu

tải trọng động với tham số khoảng, tác giải đưa ra cách giải phương trình vi phân dao

động có tham số khoảng (2.25) của kết cấu khung chịu chuyên vị của đất nền và được

tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích theo các dạng chính đê giải phương

trình vi phân dao động (2.25) với các tham số được biêu diễn dạng symbolic (dạng

chữ), nghĩa là tìm biêu thức giải tích biêu diễn nghiệm vectơ chuyên vị là các hàm số

phụ thuộc tất cả các tham số trong bài toán dao động theo trình tự:

(

(

 M 

 K 

. Xác định ma trận khối lượng

và ma trận độ cứng

.

. Giải phương trình tần số (2.26), xác định được n tần số dao động riêng dạng

khoảng



(

ωi



(i=1, 2, …, n)



44



(



det



(



( Kω − (M   )

2



=0



(2.26)



(



{ ϕi }



. Xác định ma trận dạng riêng



tương ứng với dạng dao động riêng thứ i



(

( A ki

ϕi = (

A1i



(

ϕi



chứa các phần tử với

;

(

A ki

Trong đó

là biên độ dao động của khối lượng thứ k tương ứng với dạng dao



động thứ i, và



(

A1i



là biên độ dao động của khối lượng thứ 1 tương ứng với dạng dao



động thứ i.

Tương ứng với từng tần số dao động riêng dạng khoảng



định các biên độ dạng dao động riêng

(

(

( (

 Kω

 − Mi2  A



i0 =



(



(

A ki



(k = 1..n), thay



(

ωi



){ }



Giải phương trình (2.27) lần lượt với tất cả



biên độ dạng dao động riêng



(

A ki



(

ωi



(

ωi



(i=1, 2, …, n), đê xác



vào phương trình sau:

(2.27)



(i=1, 2, …, n) xác định tất cả các



(



, rồi xác định ma trận



{ ϕi }



.



Tuy nhiên đê thuận tiện cho việc sử dụng phần mềm đê tính toán, ta có thê xác

định ma trận

Đặt ma trận:



(

ϕi



theo cách sau:

(

(

( (

 Bi  =  Kω

 − Mi2  



(



)



;



45



(

 Bi 

11



là ma trận được tạo từ



(

 Bi 



bằng cách bỏ đi đồng thời hàng 1 và cột 1 của



(

 Bi 

(



{B}



i 1



là ma trận cột, được tạo từ cột đầu tiên của



(

 Bi 



đồng thời bỏ đi phần tử



đầu tiên và:

(



(



{ ϕ( } = − ( B  ) .{ B }

*

i



−1



i 11



i 1



.



Ta có ma trận dạng riêng thứ i chứa các phần tử

(

1  ϕ1i 

(  ( 

 1  ϕ2i  ϕ2i 

(

{ ϕi } =  ( *  =   =   ;

ϕi  M  M 

ϕ(ni  ϕ(ni 



. Xác định ma trận vuông



(

φ 

 



(

ϕ ki



được xác định



(



chứa tất cả các ma trận dạng riêng



{ ϕi }



được gọi



là ma trận các dạng chính:

1

ϕ(

(

( (

(

φ  = [ ϕ1 ϕ 2 ... ϕn ] =  21

M

(

ϕ n1



1

(

ϕ 22

M

(

ϕn 2



L

L

M

L



(

1  ϕ11

(

(

ϕ 2 n  ϕ 21

=

M  M

(  (

ϕ nn  ϕ n1



(

ϕ12

(

ϕ 22

M

(

ϕn2



L

L

M

L



(

ϕ1n 

(

ϕ 2 n 

;

M 

( 

ϕ nn 



. Tìm nghiệm của phương trình vi phân dao động khoảng (2.25) dưới dạng các

tọa độ chính



(

ui (i = 1..n)



:



46



(

(

 x1 

u1 

( 

( 

(  x2   (  (  (  u2 

{ x} =   = φ  .{ u} = φ  .  

M 

M 

(

 xn 

u(n 



(2.28)

(

u ( t)



Lấy đạo hàm (2.28) và thay vào (2.25) sẽ nhận được phương trình với ẩn số

biêu diễn hệ số biên độ dao động:

( (

( ( (

( (

(

(&

& +  C φ  u(& +  K  φ  { u(} = −  M  { 1} u&

 M  φ  u&

0 (t )

  

 

  



{ }



{ }



(2.29)



Đê nhận được hệ phương trình mà trong đó mỗi phương trình biêu diễn độc lập

(



{ ϕi }



một dạng dao động chính, ta nhân hai vế của phương trình (2.29) với ma trận

( T ( ( (& ( T ( ( (& ( T ( ( (

( T (

(&

+ { ϕi } C  φ  u + { ϕ i }  K  φ  { u} = − { ϕ i }  M  { 1} u&

{ ϕi }  M  φ  u&

0 (t )



{ }



{ }



T



:



(2.30)



do tính chất trực giao của các vectơ riêng:

( T ( (

( T ( (

( T ( (

{ ϕi } M  { ϕ j } = 0; { ϕi } C { ϕ j } = 0; { ϕi }  K  { ϕ j } = 0;



nên phương trình (2.30) chỉ còn một phương trình độc lập thứ i chứa tọa độ chính



(

ui



tương ứng với dạng dao động chính thứ i, ta có phương trình i tương ứng với dạng dao

động chính thứ i như sau:

( T ( ( (&

( T ( ( (&

( T ( ( (

 

 

{ ϕi }  M  [ ϕi ] u&

i + { ϕ i }  C  [ ϕ i ] ui + { ϕ i }  K  [ ϕ i ] { ui }

( T (

(&

= − { ϕi }  M  { 1} u&

0 (t )



{ }



(



{ ϕi }

Đặt



T



{ }



(

(

 M  =  M i 



Biến đổi phương trình (2.31) về dạng sau:



(2.31)



47



(

(&

 M i  { 1} u&

( ( ( (2(

0 (t )

(&

&+ ω u = −

(

u&

+

2

ξ

.

ω

u

i

i

i i

i i

Mi



(2.32)



trong đó:

(

(

(

(

M i = { ϕiT } .  M  .{ ϕi }

+

khối lượng chính trong dạng dao động thứ i.

(

(

(

(

K i = { ϕiT } .  K  .{ ϕi }

+

độ cứng chính trong dạng dao động thứ i

(& (

u&

0 = a

+

chuyên vị của đất nền dạng số khoảng

(

(

(

(

(T

(T

( (

(&

(&

&

 

 

Fi =  M i  .{ 1} .u&

0 (t ) = { ϕi } .  M  .{ 1} .u0 (t ) = { ϕi } .  M  .{ 1} .a. f (t )

+

(

( (

( (

=  M i  .{ 1} .a . f (t ) = Pi . f (t )

lực tác động chính trong dạng dao động thứ i,

(

(

(

Pi =  M i  .{ 1} .a

với

là biên độ của lực tác động chính trong dạng dao động thứ i.

Phương trình 2.32 được viết lại:



(

( ( ( (2(

F

(&

i

&

u&

i + 2ξi .ωi ui + ωi ui = − (

Mi



+



(

( (

(

Ci = { ϕiT } . C  .{ ϕi }



(2.32’)



hệ số cản chính trong dạng dao động thứ i. Đê có thê thực



hiện tính toán theo kỹ thuật phân tích dạng chính, ma trận cản



chéo, do đó ma trận cản

(

 M 



(

C 

 



(

C 

 



phải là ma trận



được giả thiết là ma trận chéo tỷ lệ với ma trận chéo



và được biêu diễn dưới dạng



(

(( (

C  = 2ξω  M 

 



, cho nên:



48



(

( (

(

( ( (

Ci = { ϕiT } . C  .{ ϕi } = 2ωiξi M i



+



(

ξi



là tỷ số cản tới hạn của mô hình trong dạng dao động thứ i.

(

ui

Nghiệm tọa độ chính

của phương trình (2.32) tương ứng với dạng dao động

chính thứ i được tính theo công thức:

( t

(

(

( (

Pi

Pi (

(

(

−ωi .ξi ( t −τ )

ui = − ( ( ∫ f (τ )e

sin ωci (t − τ ) dτ = − ( K di

M iωci 0

Mi



(2.33)



với:

(

(

(

ωci = ωi . 1 − ξi 2



là tần số cản trong dạng dao động thứ i.



(

1

K di = (

ωci



t







(

( (

(

f (t ).e −ωi .ξi (t −τ ) sin ωci (t − τ ) dτ



0



Trong thực tế thì các công trình thường có hệ số cản tới hạn



(

ξi



<0.2 . Đê thuận



lợi trong tính toán, ta có thê lấy:

(

(

(

(

ωci = ωi 1 − ξi 2 ≈ ωi



và hệ số



(

K di



trong trường hợp này được tính theo công thức:

(

1

K di = (

ωi



t





0



Cho i thay đổi từ 1

các tọa độ chính



(

ui



(

( (

(

f (τ ).e −ωi .ξi .sin ωi (t − τ )dτ







n, ta có hệ phương trình gồm n phương trình độc lập chứa



của dạng dao động chính thứ i.



49



(

&

F1

( (& ( 2 (

(&

u1 + 2ξ1.ω1.u1 + ω1 u1 = − (

M1



(

(

F2

( (& ( 2 (

&

&

u2 + 2ξ 2 .ω2 .u2 + ω2 u2 = − (

M2



........................................



(

&

Fn

( (& ( 2 (

(&

un + 2ξ n .ωn .un + ωn un = − (

Mn





(2.34)



Giải độc lập n phương trình của (2.34) xác định được tất cả các tọa độ chính

i=1..n. Chuyên vị của hệ kết cấu được xác định theo công thức:

(

(

1

L 1  u1 

 x1 

1

(

(  ( 

( 

ϕ(

ϕ

L

ϕ

(  x2   (  (

21

22

2 n  u 2 

. 

{ x} =   = φ  .{ u} = 



M

M

M

M

M

 

M 

(

(

(





(

(

 xn 

ϕ n1 ϕn 2 L ϕ nn  un 



(

ui



,



(2.35)



Bước 2: Khai triên (2.35) về dạng hệ phương trình đại số. Xem mỗi phương trình

trong hệ là một hàm số biêu diễn quan hệ của chuyên vị dạng khoảng đối với tất cả các

tham số khoảng. Đó là một hàm số khoảng, vì vậy có thê dùng thuật toán tối ưu

khoảng đê xác định các giá trị của vectơ nghiệm, là các chuyên vị ngang dạng số

khoảng tại các khối lượng của kết cấu.

2.4.2. Sơ đờ các bước giải phương trình vi phân dao động bằng ngôn ngữ phần

mềm Maple.17.

Từ sơ đồ khối các bước tính kết cấu khung chịu chuyên vị của đất nền với tham

số khoảng như Hình 2.2, lập trình đê tính khung phẳng 3 nhịp 15 tầng chịu chuyên vị

của đất nền dạng hình sin.

Chương trình được viết bằng ngôn ngữ lập trình Maple.17 chạy trên máy tính,

chương trình sử dụng các lệnh có sẵn trong thư viện của phần mềm Maple.17 đê thực

hiện các phép tính về vectơ, ma trận và các phép tính đại số. Chương trình được cấu

trúc gồm các phần: Nhập số liệu, phân tích động của kết cấu và xuất số liệu kết quả

đầu ra, đồ thị.



50



Chương trình được lập đê tính kết cấu khung phẳng chịu tác dụng của các dạng

chuyên vị của đất nền có quy luật là hàm phụ thuộc vào thời gian. Kết quả đầu ra là

các giá trị chuyên vị , mômen tại một thời điêm bất kỳ trong khoảng thời gian khảo sát

dao động.

I. Nhập dữ liệu đầu vào

- Nhập ma trận khối lượng dạng symbol [M]

- Nhập ma trận độ cứng dạng symbol [K]

- Nhập hệ số cản dạng symbol ξ

- Nhập ma trận đơn vị {1}

- Nhập tần số lực kích thích dạng symbol r

- Nhập hàm chuyên vị của đất nền phụ thuộc vào thời gian f(t)

II. Phân tích và tính dao động của kết cấu

- Giải phương trình tần số xác định tần số dao động riêng dạng khoảng

det ( [ K ] − ω 2 [ M ] ) = 0



- Xác định ma trận:

- Xác định ma trận



[ Bi ] = ( [ K ] − ωi2 [ M ] )



[ Bi ] 11 →



[ Bi ]



bỏ đi đồng thời hàng 1 và cột 1 của

{ Bi } 1 →

[ Bi ]

- Xác định ma trận

cột đầu tiên của

và bỏ đi phần tử đầu tiên



{ ϕ } = − ( [ B ] ) .{ B }

−1



*

i



- Xác định ma trận dạng riêng (khuyết) thứ i



{ ϕi }

- Xác định ma trận dạng riêng (đầy đủ) thứ i

- Xác định ma trận các dạng chính



i 11



i 1



1

=  *

ϕi 



[ φ ] = [ ϕ1 ϕ 2 ... ϕ n ]



- Xác định khối lượng chính dạng dao động thứ i



M i = { ϕiT } .[ M ] .{ ϕi }



K i = { ϕiT } .[ K ] .{ ϕi }



- Xác định độ cứng chính dạng dao động thứ i

- Xác định biên độ của lực tác động chính dạng dao động thứ i



(

Pi = { ϕiT } .[ M ] .{ 1} .a



- Xác định tần số cản dạng dao động thứ i



ωci = ωi . 1 − ξ 2



51



- Xác định hệ số trong dạng dao động thứ i



1

K di =

ωci



t



∫ f ( τ ) .e



−ωi .ξi ( t −τ )



.sin ωci (t − τ )dτ



0



ui =

- Xác định tọa độ chính dạng dao động thứ i

- Cho i chạy từ 1







Pi

K di

Mi



{ u} = [ u1 u2 ... un ]



T



n (số bậc tự do của hệ) xác định được

{ x} = [ φ ] { u} →

- Xác định nghiệm chuyên vị của kết cấu

dạng symbol

- Dùng hàm tối ưu nghiệm chuyên vị tìm các giá trị cận dưới và giá trị cận trên.

- Xác định giá trị lớn nhất nghiệm chuyên vị khoảng đỉnh của kết cấu

- Xác định giá trị lớn nhất nghiệm chuyên vị khoảng tầng 1 của kết cấu

- Xác định mômen tại chân cột (tiết diện A, B, C, D)

III. Xuất kết quả tính toán

Các kết quả tính toán có thê xuất ra dưới dạng file text, file ảnh, x́t đờ thị biêu diễn

chun vị, mơmen theo thời gian.

Hình 2.3. Sơ đồ các bước giải phương trình vi phân dao động

2.5. Kết luận chương

Trong chương 2 đã trình bày nội dung cơ bản về số học khoảng, các phép toán cơ

bản của số học khoảng được dùng đê tính toán số khoảng. Các đại lượng khoảng ảnh

hưởng đến bài toán và phân cấp động đất theo biến ngôn ngữ dưới dạng số khoảng. Đề

xuất cách giải phương trình vi phân dao động có tham số khoảng trên cơ sở sử dụng

thuật toán tối ưu đê xác định phản ứng đầu ra của kết cấu là hàm phụ thuộc vào các

tham số khoảng. Sơ đồ thuật toán được lập và tính toán trong phần mềm Maple trình

bày khá chi tiết.



52



CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG TÍNH TỐN

3.1. Đặt bài tốn và số liệu đầu vào

3.1.1. Đặt bài toán

3.1.1.1. Kích thước hình học:

Khảo sát dao động của một kết cấu khung ngang phẳng có 15 tầng 3 nhịp với



C6



3300

3300



C6

C6

C4

C4

C4

C4



3300



C2



3300



C2



3300



C2



3300



C4



C2



4100



3300



3300



3300



3300



C6



3300



C6



3300



3300



3300



kích thước hình học như sau:



C2



D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1

D1



C5

C5

C5

C5

C5

C3

C3

C3

C3

C3

C1

C1

C1

C1



D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2

D2



C1



C6

C6



C5

D1

C5

D1

C5

D1

C5

D1

C3



C6

C6

C6

C4



+43.40



+40.10



+36.80



+33.50



+30.20



D1

C4



C3

D1

C3

D1

C3

D1

C3

D1

C1

D1

C1

D1

C1

D1

C1



C4

C4

C4

C2

C2

C2

C2



+26.90



+23.60



+20.30



+17.00



+13.70



+10.40



+7.10



+3.80



D1

C2



C1



3000



+46.70



D1



D2



D1



6000



D1

C5



6000



Hình 3.1. Sơ đồ kích thước khung



+0.00



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

3 Thành lập phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu chuyển vị của đất nền với tham số khoảng.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×