Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai

4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai

Tải bản đầy đủ - 0trang

thì nghi¾m cúa phương trình xrr(t) = u(t) thóa mãn ieu kiắn (2.53)

xỏc

%nh búi



b



á G(t, s)u(s)ds.

x(t) =

a



Tự tớnh duy nhat nghi¾m x(t) ∈ C4[a, b] cúa phương trình (2.50),

(2.53)

đú tìm ieu kiắn u(t) C2[a, b] thúa món phng trỡnh

áb

u(t) + K1(t, s)u(s)ds = f (t),



(2.54)



a



ó

đây

¸b



K1(t, s) =

p(t)



∂G(t, s)

+ q(t)G(t, s) + K(t, ζ)G(ζ, s)dζ.

λ



a



Giá sú T là toán tú tù C[a, b] vào C[a, b] xác đ%nh bói

b



¸ K1(t, s)u(s)ds.

Tu =

a



Phương trình (2.54) có the viet như sau:

(I + T )u = f,

ó đây I là tốn tú đong nhat .

Rõ ràng neu ton tai toán tú ngh%ch đáo (I + T )−1 bien hàm f ∈

C2[a, b] vào C2[a, b] thì bài tốn (2.50), (2.53) có nghi¾m trong C4[a,

b]. Cho π là phân hoach đeu cúa [a, b] ó đây ti = a + ih, h =

n



Chúng ta có khơng gian spline

.

S3(π) = v ∈ C2[a, b] :

v|[t



b−a



.



]



,t

k



ó õy P3 l mđt lúp a thỳc bắc 3.



k+1



P3 , k = 0, 1, ..., n − 1 ,



.



Chúng ta xét bo đe sau:



i) S3(π) là không gian véc tơ thnc vói cơ só {Bi(t)

}



Bo đe 2.4.1.

trong đó



Bi(t)

=



n+1



,



i=−1





; ti−1],



i− 3

i−

(t − t 2 ) , t ∈ 2





[t





h3 +

(t − ti−1) + 3h(t −

2



 3h

1

ti−1)



3



− 3(t −



, t ∈ [ti−1;



ti−1)



ti],



h + 3h (ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t) − 3(ti+1 − t)3, t ∈

h3

[ti; ti+1],



3





(ti+2 , t ∈ [ti+1; ti+2],



− t)







0, t ∈/ [ti−2 ; ti+2 ].



ii) Neu



3



2



2



n+1



,



i=−



Bˆi (t),



2



xác đ%nh như sau



1



Bˆ−1 (t) =

3B−1



(t) B (t) = (t) −

,

ˆ 0 B0

2B−1



(t),



Bˆi (t) = Bi (t), i = 0, 1, ..., n − 1,

Bˆn (t) = Bn (t) −



Bˆn+1 (t) = 3Bn+1 (t),



2Bn+1 (t),

thỡ hắ

,Bi (t),



n+1

i=

1



cng l mđt c só cúa S3(π).



iii) Moi t ∈ [a, b],



n+1



ˆ

. |Bˆr i (t)| 22

. |B i(t)| ≤ 12

,



i=− ≤

h



n+1



i=−1



trong đó



1



Bˆr (t) là đao hàm cúa



(2.55)



Bˆi (t).

Chúng minh:

De dàng chúng minh đưoc i) và ii).



Hơn nua chúng ta tính Bj (t), Br (t), Brr(t) tai tj như sau:

j



j



Bj (ti±1) = 1, Bj (tj ) = 4,

B(tj−1)

r

=

B

=



rr

j (tj±1)



3

,

=

h



−3

Bjr



6

h2

=



(tj+1)



Bj (ti) = 0,

,



B r (t ) =



(2.56)



0,

j i

rr



h

−12

,

h2



rr



, Bj (tj )



Bj (ti) = 0.



n+1

Ta chúng minh iii)

Trên đoan [ti, ti+1], i = 0, ..., n − 1, h¾ {Bi(t)}i=−1 chí có 4 hàm so

khơng



suy bien là: Bi−1(t), Bi(t), Bi+1(t), Bi+2(t).

Bây giò chúng ta xác đ%nh xN (t) ∈ S3(π) như sau:

n+1

.



xn(t)

=



aj Bˆj (t),



(2.57)



j=−1



thóa mãn:

LxN (ti) = f (ti), i = 0, ..., n,

αaxN (t0) +

βaxr

αbxN (tn) +

βbxr

Ta có





 h−

3(

3βa



αa











)

+

h+

a−1 2(αa 3βa



N (t0)



= γa,



(tn) = γb.

N



) +

h+

a0 (αa 3βa



) = γah,

a1



(αbh − 3βb)an−1 + 2(αbh − 3βb)an + 3(αbh + 3βb)an+1 = γbh,

n+1

n+

(2.58)

aij aj =

1

rr

.

r

ˆ

ˆ

. f,

aj [B (ti ) + pi B j (ti ) +



i

ˆ

qiB jj (ti)] + λ

j=−1





i = 0, ..., n,







trong đó pi = p(ti), qi = q(ti), fi = f

(ti),



j=−1



βj



¸

aij =

αj



K(ti , s)Bˆj (s)ds, i = 0, ..., n; j = −1, ..., n +

1,



vói

αj

=



βj =







a, neu j = −1, 0, 1, 2,



a + (j − 2)h, neu j = 3, ..., n + 1.





b, neu j = n − 2, n − 1, n, n + 1,



a + (j + 2)h, neu j = −1, ..., n − 3,



chúng ta có h¾ phương trình (2.58) tương đương:





3(αa h − 3βa )a−1 + 2(αa h + 3βa )a0 + (αa h + 3βa )a1 = γa h,





3(q0h2 − 3p0h +



h2 + h − 12)a0+



− +

6)a

1 2(q0 3p0



n+1



(q0 h2 + 3p0 h + 6)a1 .



a0j aj = f0h2,

2

j=−

 λh

+

1





2



(q

+ 4(q h2 − + (q h2 + 3p h + 6)a

6)a

3)a



ih − 3pih +

1



 i

(2.59)

i+



i

i

i

n+1



i



1





+λ . aij aj = fih2, i = 1, ..., n − 1,

j=−



h2

1









( 2

h + n− +

h2 −

h − 12)an+



1

qn h −

2(qn 3p

6)a



3pn

n





n+1



. a a = f h 2,

2 + 3pn h + 6)an+1

2

nj j

n

3(q

j=−

+ λh

1

n

h









(αb h − 3βb )an−1 + 2(αb h + 3βb )an + (αb h + 3βb )an+1 = γb h.

Bo đe 2.4.2. Cho h¾ phương trình:





b−1 x−1 + b0 x0 + b1 x1

n+1



= g1 ,

.

ci,i

d x = gi, i = 0,

x

+

c

x

+

c

x

1

i

1

i,i

i

i,i+1

i+1



j=− ij j





1 ..., n,

+





(2.60)





 bn−1 xn−1 + bn xn + bn+1 xn+1 = gn+1 .



Neu h¾ so cúa h¾ (2.60) thóa mãn:



|b0 | + |b1 | < |b−1|,

n+1



|ci,i−1| + |ci,i+1| + . dij | < |ci,i|, i = 0, ...,

 |

j=− n,

1



|bn−1| + |bn| < |bn+1|,



(2.61)



thì h¾ (2.60) có nghi¾m duy nhat.

Chúng minh:

Chúng ta viet h¾ (2.60) thành







b−1 x− +

+

= g1 ,



1

b 0x 0 b 1x 1

n+1



 .



dij xj + (ci,i−1 + di,i−1)xi−1 + (ci,i +



j=−1

jƒ=i−1,i,i+ di,i)xi+

1







(ci,i+1 + di,i+1 )xi+1 = gi , i = 0, ..., n,







bn−1 xn−1 + bn xn + bn+1 xn+1 = gn+1 .



(2.62)



Chúng ta có

n+1



.



j=−1



n+1



. |dij | + |ci,i−1| + |

ci,i+1|.



|dij | + |ci,i−1 + di,i−1| + |ci,i+1 +

di,i+1| ≤



j=−



jƒ=i−1,i,i+

1



1

jƒ=i



Theo (2.61) chúng ta đưoc

n+1



.

j=−

1



Do đó



jƒ=i



n+1



.



j=−1



|dij | +

|ci,i−1|

+|

ci,i+1| <

|ci,i| − |

di,i| ≤ |

ci, i +

di,i|.



|dij | +

|ci,i−1

+

di,i−1|

+|

ci,i+1 +

di,i+1|

< |ci, i

+ di,i|.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×