Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
3 SN dnng phương pháp spline collocation cho m®t láp phương trình đao hàm riêng

3 SN dnng phương pháp spline collocation cho m®t láp phương trình đao hàm riêng

Tải bản đầy đủ - 0trang

Thay (2.39) vào (2.40) ta tìm thay

81

rr

rz Br

lm

l (xt)Bm(xm)

zlm = uxxyy(xl, ym), khi l, m = 0, n. (2.41)

h4

=

Nhưng tù u ∈ C 4 và u ≡ 0 vói {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} và {(x, 1) : 0 ≤

x ≤ 1}, chúng ta suy ra

uxxxx(xl, ym) = fxx(xl, ym) khi l, m = 0, n.

The vào (2.41) ta tìm thay

zlm



h4

= fxx(xl, ym), khi l, m = 0, n.

81



(2.42)



Các phương trình collocation tù uN cho bói (2.38) thóa

mãn: LuN (xl, ym) = f (xl, ym), 0 ≤ l, m

≤ n DxxyyuN (xl, ym) = fxx(xl, ym),



l, m



(2.43)



= 0, n.

Biên các phương trình collocation khác cũng khơng liên ket, cu the:

LuN (0, ym )

=



n

.



ziji Brr(0)Bj (jm)



i,j=0



n



9.



=−



h2j=0



z0j Bj (ym) = f (0, ym),



ho¾c

h2



1



1



z0,m−1 +

4

z0,m +



z0,m+1 =

f (0, ym),1 ≤ m ≤ n − 1. (2.44)

4

9





Sú dung (2.42), ta có the viet (2.44) dang phương trình ma tr¾n:

BN zN0 = bN ,

0

ó đây

zN



0



= (z0,1, z0,2, ...,

z0,n−



¡

1)







h2

bN

0



h2



¡



h2

=−



36



(f (0, y1) +

fxx(0, 0), f (0, y1), ..., f (0, yn) +

9

36

fxx(0, yn)) .



De thay ma trắn BN l ma trắn ũng chộo trđi. Các phương trình

còn lai cna (2.43) liên quan đen collocation ó tat cá các nút, sau khi d

%ch chuyen đen biên h¾ so z0j , znj , zj0 và zjn, 0 ≤ j ≤ n dan đen

h¾:

AN z N = b N .

Cu the:



(2.45)







0



D C

 1 1



 B2 D2 C2



B3 D3 C3

3 

AN = 4h2









0



Bn −1































Cn−2 



Dn−1



(2.46)



ó đây Bj , Dj và Cj cũng là các ma tr¾n đưòng chéo

h2

(Cj )i,i−1 = −1 +



12



σij ,



h2

(Cj )i,i = −1 + σij ,

3

h2

(Cj )i,i+1 = −1 +

σij ,

12

h2

σij ,

(Dj )i,i−1 =

3

−1 +

(Dj )i,i = 8 + 4h

2



3

(Dj )i,i+1 =

−1 +



σij ,

h2 σ

ij

3





Bj = Cj ,



(2.47)



ó đây σij = σ(xi, yj ). Tù (2.47) và giá thiet σ ∈ C0[R] cho h đn nhú,

ma

trắn AN l ma trắn ũng chộo trđi. Do ú h¾ (2.45) có nghi¾m duy

nhat và h¾ thúc gan đúng (2.39) thóa mãn (2.43) đưoc xác đ%nh duy

nhat.

2.3.2



Đánh giá toc đ® h®i tn



Đ%nh lý 2.3.1. Moi h đú nhó ta có: ||A−1|| ≤ 2.

N



Chúng minh:

Rõ ràng tù (2.44) suy ra ma tr¾n B−1 b% ch¾n đeu vói ||B−1|| ≤ 2. ắc

biắt,

N



N



cho w = (1, 1, ...) l mđt vộct n v% trong E n−1 và giá sú

B −1 w =

N

gˆ, ó

đây gˆ =

(gˆ0 , gˆ1 , ..., gˆn ), khi đó w = 1 +gˆ

AN g và 1 gˆi

+ 1 gˆ

Giá sú ||g|| = max |gˆi| dan đen

1 − 1 (gˆi



4



1≤i≤n

1



Do đó |gi| ≤ 1 +

g||



||



2



2, ∀w vói |wi| ≤ 1 và



4 −

gˆi =







1



4 i+1



+ gˆ







, ∀0 ≤ i ≤ n. Vì v¾y ||

g||



AN−1



i



,1≤i≤

n−1.

);



i+1



≤ 2 tù đó ||A−1w|| ≤





N



≤ 2.



Cho uN l spline bắc ba tn nhiờn nđi suy túi u trong R, thì

n

.

uˆN

zˆij Bˆi (x)Bˆj (y),

i,j=0

=



(2.48)



ó

đây

uˆN (xi , yj ) = u(xi , yj ),



0 ≤ i, j ≤ n



Dxxyy uˆN (xi, yj ) = Dxxyy u(xi, yj ), i, j = 0, n.

Sai so tính tốn cho xap xí Spline collocation là ||LuˆN − Lu|| =

0(h2 ),

trong đó h là lưói cna phân hoach πx, πy.

Do đó



|Lu(xi , yj ) − LuˆN (xi , yj )| = 0(h2 ) = |LuN (xi , yj ) − LuˆN (xi , yj )|.

Hơn nua, tù



Dxxyy uˆN (xi , yj ) = Dxxyy u(xi , yj ),



BN (z N − zˆN ) = 0(h2 ),



chúng ta thay rang:



0



0



|z N − zˆN | =



kéo

theo



|z0j − zˆ0j | = 0(h2 ).



max

0



0



1≤j≤n−1

N



N



Đ¾c bi¾t, neu BN (z − zˆ )

= sN

0



0

0



||z N − zˆN || ≤ ||

B −1 ||

0



0



thì z N −

zˆN

0



||sN ||

N







0



= B−1sN và

0



N



0



≤ 20(h2) = 0(h2).





L¾p lu¾n tương tn sú dung tính b% ch¾n đeu cna N chúng ta thu đưoc

A−1

|zij − zˆij | = 0(h2 ) khi 1 ≤ i, j ≤ n − 1.

Suy ra

|zij − zˆij | = 0(h2 ),

Nhưng



∀1 ≤ i, j ≤ n − 1.



uN (x, y) − uˆN (x, n

.

y) =

(zij − zˆij )Bˆi (x)Bˆj (y).

i,j=0



Tù Bˆi (x)Bˆj (y) = 0 khi x ≥ xi+2 , x ≤ xi−2 , y ≥ yi+2 và y ≤ yi−2 ,

chúng ta có



.



m=j+2,l=i+2



|uN (x, y) − uˆN (x, y)| ≤max |z0j

− zˆ0j |

1≤j≤n−



−2,l=i−

m= 2

j



2

ˆ

ˆ

|Bl(x)Bm(y)| = 0(h

).



Nhưng ||uN − uˆN || = 0(h2 ) trong khi ||u − uˆN || =

0(h4 ).



(2.49)



V¾y

2



||u − uN ||∞ ≤ γh

Tù ket quá trên chúng ta có đ%nh lý sau:



Đ%nh lý 2.3.2. Giá sú uN (x, y) là nghi¾m gan đúng đe Lu = uxx + uyy

+

σu = f, u = 0 trên biên ∂R thu đưoc bang phương pháp collocation.

Neu



σ(x, y) liên tnc trên R và f ∈ C2[R], R = [a, b] × [a, b], thì ton tai

hang so

γ phn thu®c vào u nhng đc lắp vúi h sao cho ||u uN ||∞ ≤

γh



2



, ó đây



u là nghi¾m duy nhat cúa bài tốn biên.



2.4



Phương pháp spline collocation cho phương

trình vi tích phân Fredholm b¾c hai



2.4.1



Đ%nh lý sN ton tai và duy nhat



Bài tốn 5. Chúng ta xét phương trình sau đây:

b



¸

rr

r

Lx(t) = x (t) + p(t)x (t) + q(t)x(t) K(t, s)x(s)ds = f (t),

(2.50)



a



ó đây t ∈ [a, b], vói đieu kiên biên:

αax(a) + βaxr(a) = γa,



(2.51)



αbx(b) + βbxr(b) = γb,



(2.52)



trong đó αa, αb, βa, βb ∈ R, α2 + > 0 và p(t), q(t) là các hàm liên

tnc

α2

a



b



trên [a, b], và K(t, s) liên tnc trên Ω ≡ [a, b] × [a, b].

Giá sú G(t, s) là hàm Green cúa bài tốn xrr(t) = 0 vói đieu ki¾n

sau

đây:







αa x(a) + βa xr (a)

= γa ,





αb x(b) + βb xr (b) =



γb ,



(2.53)



thì nghi¾m cúa phương trình xrr(t) = u(t) thóa mãn ieu kiắn (2.53)

xỏc

%nh búi



b



á G(t, s)u(s)ds.

x(t) =

a



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

3 SN dnng phương pháp spline collocation cho m®t láp phương trình đao hàm riêng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×