Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 SN dnng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân

2 SN dnng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân

Tải bản đầy đủ - 0trang

x(0) = x(1) = 0,

có nghi¾m đúng duy nhat x(t) vói p(t), q(t), f (t) liên tuc trên [0, 1].

Đe xap xí x(t) bang phương pháp spline collocation, chúng ta xét

phân hoach π : 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn = 1 cna [0, 1] và giá sú

φi(t) = Bi(t) là spline b¾c ba vói các nút cna phân hoach π. XN =

span {B−1, B0, ..., Bn+1} sú dung phương pháp spline collocation, ta

tìm

xN (t) = a−1B−1 + a0B0(t) + ... + an+1Bn+1(t) (2.15)

thóa mãn h¾ sau:







xN (0)



=Lx

0 (t ) = f (t ), 0 ≤ i

N

i

i

≤n









(2.16)





xN (1) = 0.

Tính xN (t) chúng ta có h¾ phương tuyen tính:

LxN (ti)

=



n+1

.



aj LBj (ti) = f (ti), 1 ≤ i ≤ m,



j=−1



ó

đây

LBj (ti) = Brr (ti) + p(ti)Br (ti) + q(ti)Bj (ti),

j



j



(2.17)



vói xN (0) = a−1 + 4a0 + a1 và xN (1) = an−1 + 4an + an+1.

Chúng ta đã biet Bi(t) = 0 khi t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2 ∀ i, nên tù

(2.16) suy ra h¾ phương trình:

CN a = b,



(2.18)



trong đó ma tr¾n h¾ so cna h¾ là:



1

4

1

0





0

 L −1 (t )

(t )

(t )

B .

0

0

0





.. LB

LB1

0





j+

CN = 

)

0

(t )



1 (t

−1( )



j

j



tj



LBj

LBj

LB



.

..



0

...

0

LBn−1(tn)



LBn+1(tn)

0







0



...



1



...







0



...



0



...







LBn(tn)

4



























1







a = (a−1, a0, a1, ..., an+1)¡ và b = (0, f (t0), f (t1), ..., f (tn), 0)¡.

CN là ma tr¾n khơng suy bien nên h¾ phương trình (2.18) có

nghi¾m duy nhat.

2.2.2



Giỏi mđt lỏp phng trỡnh vi phõn thng bắc 2 bang

phương pháp spline collocation



Bài tốn 3. Giái phương trình vi phân thưòng

Lx(t) = xrr(t) − σ(t)x(t) = f (t),

t≤b



a≤



(2.19) trong đó σ(t) >



0 và σ(t) liên tuc trên đoan [0, 1] vói các đieu ki¾n biên

x(a) = x(b) = 0.

Giái phương trình bang phương pháp spline collocation chúng ta giá

sú πn : a = <

0

tN

tN

đeu t



N



i+

1





tN



i



1



< ... <

tN



=h=



b−a

n



n



= b là phân hoach đoan [a, b], vói moc

cách



. Chúng ta tìm hàm so



xN (t) = a0φ0(t) + a1φ1(t) + ... + anφn(t)



là nghi¾m xap xí duy nhat x(t) cna phương trình (2.19) thóa mãn



LxN (tN ) = f (tN ), 0 ≤ i ≤ n.

i



i



Giá sú φi(t) là B-splines bâc 3 thóa mãn đieu ki¾n biên. Chúng ta đ¾t

Bˆ0 (t) = B0 (t) − 4B−1 (t),

Bˆ1 (t) = B0 (t) −

4B1 (t), Bˆn−1 (t) =

Bn (t) − 4Bn−1 (t),

Bˆn (t) = Bn (t) − 4Bn+1 (t).

Chúng ta có Bˆi(a) = Bˆi(b) = 0, i = 0, 1, n − 1, n, ma tr¾n

collocation CˆN

cho bói CˆN = trong đó

i

j

cˆN

cˆN = LBˆj (tN ) = Bˆ rr (tN ) − σ(tN )Bˆj (tN ).

ij



i



j



i



i



i



Rút ra

xN (t) = a−1B−1(t) + a0B0(t) + ... + anBn(t) + an+1Bn+1(t).

(2.20)

xN (t) thóa mãn phương trình collocation cùng vói đieu ki¾n biên, nên

LxN (tN ) = f (tN ),

≤ n,

(2.21)

i



0≤i



i





xN (0) = xN (1) = 0.



(2.22)



Rõ ràng bat kì xN (t) là nghi¾m cna bài tốn này se là nghi¾m cna bài

tốn (2.19) , và ngưoc lai. Trong trưòng hop này chúng ta có h¾ n + 3

phương trình tuyen tính n + 3 an, vói sn thay đoi nhó cna ma tr¾n

collocation

CN = (ci N ), −1 ≤ i, j ≤ n + 1. Dòng đau tiên cna ma tr¾n CN là các

j

h¾ so

cna đieu ki¾n biên xN (a) = 0. Cũng v¾y dòng cuoi là h¾ so cna đieu

ki¾n



xN (b) = 0. Thay vào (2.20) tai hai điem đó chúng ta có h¾ phương

trình:





a−1 + 4a0 + a1 = 0



an−1 + 4an + an+1

= 0,



(2.23)



các giá tr% cna Bj (tj ) đưoc lay tù báng (2.2).

t



tN

j−2



tN

j−1



tN

j



Bj (t)



0



1



4



1



0



B t (t)

j

j (t)

B tt



0



3

h



0



−h



0



− h2



6

h2



0



6



0



h2



12



N

tN

j+1 t j+2



3



Báng 2.2 Báng giá tr% cna Bj (t) và các đao hàm.



Đe xác đ%nh phan còn lai cna CN chúng ta thay vào phương trình

collocation đưoc:

cN

ij



N



= LBj (ti ), 0 ≤ i ≤ n; −1 ≤ j ≤ n + 1.

LBj (t) = Brr(t) − σ(t)Bj (t),





rr



j



= B (t ) − σ(t )Bj (tN ), −1 ≤ j ≤ n + 1; 0

≤ i ≤ n.



suy

ra

cN

ij



j



N



i



N



i



i



Dan đen h¾ n + 1 phương trình tuyen tính:

+12) +

−6)

2

2

+(4h σi ai

(h σi

a



(h2σi



1





−6)ai



vóiN n + 3 an

(x

Chúng ta có



i+

1



= h2f (ti), 0 ≤ i ≤ n

(2.24)



, xN , ..., xN ).

−1



n+1



0



+

+

+

(h2σ0 − 6)a





2

2

1 (4h σ0 12)a0 (h σ0

6)a1



= h2f (t0),



ket hop vói phương trình đau cna (2.23) khú a−1 đưoc

36a0 = h2f (t0).



(2.25)



Tương tn khú an+1 tù phương trình cuoi cna (2.23) và (2.24) chúng

ta đưoc

36an = h2f (tn).



(2.26)



Ket hop (2.25) và (2.26) vói phương trình thú 2 là phương trình thú n

cna (2.24) dan đen h¾ n + 1 phương trình tuyen tính:

AN xN = dN ,



(2.27)



có n+1 an xN = (a0, a1, ..., an)¡ vói dN = h2f

(t1), ..., f (tn))¡

và ma tr¾n h¾ so là:



0

0

 36



h2 σ − 6 4h2σ + 12



1

1





...





AN = 

0



h2σi − 6 4h2σi + 12



..





.









0

0

0



N



= h2(f (t0), f





..

0



.

2

h σ1 − 6 0



0



h 2σ i



0















.

...











2

. . . h σn− 16 

−

...



Do σ(t) ≥ 0 de thay AN là ma tr¾n đưòng chéo tr®i, tù đó AN khơng

suy bien nên ta có the giái h¾ phương trình (2.27) tìm đưoc a0, a1, ...,

an thay the vào phương trình (2.23) đe có đưoc a−1 và a0. Do đó

phương pháp spline collocation đưoc úng dung vào (2.19) bang cách sú

dung cơ

só các spline bắc ba cú mđt nghiắm duy nhat oc cho búi (2.20).

Đe đánh giá sai so ||x − xN ||∞, giá sú yN là spline n®i suy duy nhat

tù XN tói nghiắm x(t) cna bi toỏn nđi suy (2.19). Neu f ∈ C2[a, b]

thì x(t) ∈ C4[a, b], theo [8 tr. 282] ta có đánh giá sai so

||Dj (x − yN )||∞ ≤



h4−j , j = 0, 1, 2, ...



γj

ó đây j l hang so đc lắp vúi h v n.



(2.28)



n+1

.



Giỏ

sỳ



yN (t)

=



bj



Bj (t)

j=−1



n+1



.

và cho δj = bj − aj , −1 ≤ j ≤ n + 1, vói j=− aj Bj là nghi¾m spline

1

xN =

collocation. Theo đánh giá (2.28) chúng ta suy ra

|LxN (ti) − LyN (ti)| = |f (ti) − LyN (ti)| ≤ βh2,



(2.29)



.

+

γ

2 .

ó đây β = γ0h ||σ||∞

.



2



Trưòng hop đ¾c bi¾t:

|Lx(t) − LyN (t)| = |(xrr(t) − yrr(t)) + σ(t)(x(t) − yN (t))|

≤ |xrr(t) − yrr(t)| + |σ(t)||x(t) − yN (t)|,



LxN (ti) = Lx(ti) = f (ti).

LyN = fˆN , và fˆN = (fˆN (t0 ), fˆN (t1 ), ..., fˆN (tn ))¡.



Cho



Rõ ràng tù (2.29) và (2.27) phoi hop vói

[AN (xN − yN )]i cna AN (xN − yN ), yN = (b0, b1, ..., bn)r

ta có bat đang thúc:

|[AN (xN − yN )]i| ≤ βh 2.



(2.30)



Tù (AN xN )i = h2 f (ti ) và (AN y N )i = h2 fˆ(ti ). Mà toa đ®

thú i cna

AN (xN − yN ) là phương trình

(h2σi − 6)δ−i 1 +

(4h2σi



+

+

12)δi (h2σi





6)δ



i+

1



= τi,



(2.31)



1 ≤ i ≤ n − 1,τi = h2 [fN (ti ) − fˆN (ti)] = h2 (LxN (ti ) −

LyN (ti)).

|τi| ≤ βh4.



Như

v¾y



τ = max |τi |, ei = |δ N , | và e˜ =



Giá





ei.



max

1≤i≤n



Thì



1≤i≤n−1



i



(4h2σi + 12)δi = τi + (6 −



−1



δ



σih2)(δi



+



i+1).



Lay giá tr% tuy¾t đoi vói h đn nhó ta có

(4h2 σi + 12)ei ≤ τ + 2(6 − σi h2 )e˜.

Tù 0 < σ∗ ≤ σ(t) moi t, chúng ta có

(4h2 σ ∗ + 12)ei ≤ τ + 2(6 − σ ∗ h2 )e˜ ≤ τ + 2(6 + σ ∗ h2 )e˜.

(4h2 σ ∗ + 12)e˜ ≤ τ + (12 + 2σ ∗ h2 )e˜. (2.32)



Đ¾c

bi¾t:



Giái phương trình vói e˜ ta tìm thay 2h2 σ ∗ e˜ ≤ τ ≤ βh4 , ho¾c

e˜ =



max ei =

max

1≤i≤n−1



|ai − bi|





βh2



.



(2.33)



2σ∗



1≤i≤n−

1



Xap xí e0, e−1, en và en+1, trưóc tiên ta chú ý đen phương trình đau

và cuoi cna h¾

AN (xN − y N ) = h2 (f



N



− fˆN )





36(a0 − b0 ) = h2 [f (t0 ) − fˆN (t0 )]



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 SN dnng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×