Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
1 Khái ni¾m spline đa thNc

1 Khái ni¾m spline đa thNc

Tải bản đầy đủ - 0trang

22



Bài toán 1. Ton tai duy nhat hàm so s(t) ∈ S3(π) thóa mãn h¾ đieu

ki¾n:



 r

r

s

(t

)

=

f

(t0),

0







s(ti) = f (ti), 0 ≤ i

≤ n,





 r

s (tn ) = f r (tn ).



(2.1)



Khi đó s(t) đưoc goi là đa thúc n®i suy spline b¾c ba cúa hàm so f (t).

Xây dnng sn ton tai cna hàm s(t) vói các moc n®i suy cách đeu ti =

, trong đó chúng ta bo sung thêm 4 moc n®i suy tn−2 < tn−1 <

t0 + n

i(b−a)

t0 và tn+2 > tn+1 > tn đong thòi xét hàm so Bi(t) đưoc xác đ%nh bói

cơng thúc



Bi(t)

=







(t − 3, t ∈ [ti−2, ti−1],



ti−2 )





 3

h + 3h2 (t −1 ) + 3h(t



− ti

−t









1 ti],



i−

1



)2 − 3(t

−t



i−



)3 ,



1



t ∈ [ti−1,



3

2

2

 h + 3h (ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t) − 3(ti+1

− t)3,





3h























(ti+2 − t)3 , t ∈ [ti+1 , ti+2 ],









0, t ∈/ [ti−2 , ti+2 ].



t ∈ [ti, ti+1],



(2.2)



23



Có đo th% xem hình (2.1).



Hình 2.1 Đo th% hàm Bi(t).



Bang cách thay vào (2.2) các hàm so Bi(t) liên tuc khá vi hai lan trên

R, mà







4, j =



i, 

Bi(tj ) = 1, j = i − 1 ho¾c j = i + 1,









 0, j = i − 2 ho¾c j = i + 2,



đong thòi Bi(t) ≡ 0 vói t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2.

Các hàm B-spline khác khơng nhó gon nhat vói các moc n®i suy

t−2 < t−1 < t0 < ... < tn < tn+1 < tn+2 đó là, bat kì spline đa thúc

b¾c 3 s(t) đong nhat tri¾t tiêu bang 0 ngồi khống (tj−2, tj+2).

Hơn nua moi Bi(t) là b¾c 3 trên [tj , tj+1] nên Bi(t) ∈ S3(π).

Tính Bj (t), Br (t), Brr(t) chúng ta có báng (2.1).

j



j



t



tj−2



tj−1



tj



Bj (t)

j (t)

Bt

B tt (t)



0



1



4



1



0



0



3

h



0



−h



0



− h2



6

h2



0



j



0



6

h2



tj+1 tj+2

3



12



Báng 2.1 Giá tr% Bj (t), Bt (t), Btt(t).

j



j



Giá sú B = {B−1, B0, ..., Bn+1} và B3(π) = spanB.

De thay hắ B l đc lắp tuyen tớnh v B3(π) là không gian n + 3 chieu.

Đ%nh lý 2.1.1. Có duy nhat hàm s(t) ∈ B3(π) thõa mãn bài tốn (2.1).

Chúng minh:

Giá sú s(t) ∈ B3(π) thì

s(t) = x−1B−1(t) + x0B0(t) + ... + xn+1Bn+1(t), (2.3)



s(t) thõa mãn bài tốn (2.1) nên chúng ta có:



 r

s (t0 ) = x−1 B−1 (t) + x0 B0 (t) + ... +

xn+1 Bn+1 (t) = f (t0 ),









 s(ti ) = x−1 B−1 (ti ) + x0 B0 (ti ) + ... +



r



(2.4)



xn+1 Bn+1 (ti ) = f (ti ),





0 ≤ i ≤ n,







 sr (t ) = x B (t ) + x B (t ) + ... + x

n

−1 −1 n

0 0 n

n+1 Bn+1 (tn ) = f

r

(tn ).

Đây là h¾ phương trình tuyen tính gom n+3 phương trình dang:Ax =

b,

vói











x

 −1 









 x0 





x =  x  

 1 ,

.. 





. 









 xn 









r

f (t0)









 f (t0) 









f

(t

)

1 



b=



.

.





. 







f (t )

n 





xn+1



và ma tr¾n h¾ so:







r



(tn )

−1(t0) B0(t0) B1(t0) . . . Bn+1(t0)





f



Br



r



r



r









B

(t

)

B

(t

)

B

(t

)

.

.

.

B

(t

)

−1

0

0

0

1

0

n+1

0









r

(t1)





 B−1(t1) B0(t1) B1(t1) . . . n+

1

A=

B

 .



..



)

(t ) B1 (t ) . . . B



n

n

B

 B−1(tn

0







n+1





(t 

n











)

r

r

r

r

B

−1(tn) B0(tn) B1(tn) . . . Bn+1(tn)





− h3 0 h3 0 0





 1 4 1 0 0





0





=  0



 ..

 .





0



0







0



...



0



...



1 4 1 0



0



...



0 1 4 1



0







... 











4 1





0 0 ... 0 1

0 0 . . . 0 h











3



0



3

h



A l ma trắn cú ũng trộo trđi nờn khơng suy bien tù đó h¾ (2.4) có

nghi¾m duy nhat.

Đ%nh lý 2.1.2. Vói các khơng gian S3(π) và B3(π) nêu trên chúng ta

có:

B3(π) = S3(π).



(2.5)



Chúng minh:

Tù đ%nh nghĩa B3(π) ta có B3(π) ⊂ S3(π).

Chúng ta đi chúng minh S3(π) ⊃ B3(π).

Lay f (t) ∈ S3(π) khi đó f r(t0), f r(tn), và f (ti), 0 ≤ i ≤ n đeu

xác đ%nh.

Giá sú s(t) ∈ B3(π) là hàm spline duy nhat đưoc xác đ%nh trong

đ%nh lý (2.1.1), đ¾t f (t) − s(t) = g(t) thì g(ti) = 0, 0 ≤ i ≤ n.

Vì f (t), g(t) ∈ C2[a, b] nên g(t) ∈ C2[a, b] theo đ%nh lý Rolle thì

gr(t) có n nghi¾m yi thõa mãn ti < yi < ti+1 đong thòi t0, tn là hai

nghi¾m cna gr(t). Như v¾y gr(t) có ít nhat n + 2 nghi¾m do đó grr(t)

có ít nhat n + 1

nghi¾m zi và xi < zi < yi, 0 ≤ i ≤ n.

Nhưng grr(t) là đa thúc có b¾c cao nhat bang 1 trên [ti, ti+1] vói

các điem lưói cna phân hoach π, vì grr(t) nh¾n zi, i = 0, 1, 2, ..., n là

các nghi¾m



nên chúng ta suy ra grr(t) ≡ 0 trên [ti, ti + 1].

Do đó grr(t) ≡ 0 trên [t0, tn] tù đó chúng ta đưoc: g(t) = αt + β.



g(t0) = g(tn) = 0 suy ra α = β = 0 hay g(t) ≡ 0 trên [t0, tn].

Do đó

s(t) = f (t) ∈

B3(π).



Ket

lu¾n



B3(π) = S3(π).

H¾ q 2.1. S3(π) là khơng gian tuyen tính n + 3 chieu vói h¾ cơ só

B = {B−1, B0, ..., Bn+1} .

H¾ quá 2.2. Ton tai duy nhat mđt spline bắc 3 s(t) l nghiắm cỳa

cỳa bài tốn (2.1). Hàm s(t) như v¾y goi là spline nđi suy bắc 3 cỳa

f(t).

Cỏc spline bắc 3 nđi suy đen hàm f (t) khơng phái chí là đa thúc

n®i suy b¾c 3 cna f (t) tai các điem nút ti, 0 ≤ i ≤ n nói trên. Thnc

te, nhieu vơ han spline, có the chúng minh m®t cách hồn toàn tương

tn chúng minh đ%nh lý (2.2.1) rang, ton tai duy nhat spline s(t) cho bói

cơng thúc

s(t) = x−1B−1(t) + x0B0(t) + ... + xn+1Bn+1(t),

l nghiắm cna bi toỏn nđi suy (2.6).

Bài toán 2.





 rr

s (t0)

 = f



rr



(t0),

s

(



ti) = f (ti), 0 ≤ i

≤ n,





 rr

r

 s (tn ) = f (tn ).



(2.6)



Spline s(t) đưoc goi là spline b¾c 3 tn nhiờn nđi suy cỳa hm so f (t).



Ma trắn A đe xác đ%nh khi giái s(t) sai khác matr¾n A ó dòng cuoi

cùng, tù đó có the chúng minh bang đ%nh lý (2.2.1).

Khái quát [8, tr 83], khi f ∈ C4[a, b] thì

||f − s| | ≤ 5

384

|f

2.1.2



|



(4

)



||h4.



Spline đa thNc tong quát



Đe nghiên cúu khái ni¾m B-spline tong quát chúng ta đi tù khái ni¾m

sai phân cna hàm so

Chúng ta có:

∆f (x0) = f (x1) − f (x0),



(2.7)



∆k+1f (x0) = ∆f (x1) − ∆f (x0).

Cu the

∆2f (x0) = f (x2) − 2f (x1) + f (x0),

∆3f (x0) = f (x3) − 3f (x2) + 3f (x1)f (x0),



(2.8)



∆4f (x0) = f (x4) − 4f (x3) + 6f (x2) − 4f

(x1) + f (x0).

k

H¾ so cna f (xk) trong ∆nf (x0) là (−1)C

. Hien nhiên vói các

n



điem nút

cách đeu xi = x0 + ih thì ∆nf (x0) cna đa thúc b¾c n − 1 ln bang

0, tù đó chúng ta có đ%nh lý sau:

Đ%nh lý 2.1.3. Sai phân b¾c n vói các nút cách đeu cúa đa thúc p(x)

b¾c

n − 1 bat kì ln bang 0, túc là

∆nP (x) = 0.

Chú ý 2. Đ%nh lý không đúng khi các nút không cách đeu, chang han



p(x) = x, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 4 thì ∆2p(x0) = p(x2) − 2p(x1) +

p(x0) = 2.



Đao hàm cna hàm B-spline đưoc tính theo cơng thúc

K(t) = ∆4Ft(x0),



(2.9)



khi đó vói moi t co đ%nh chúng ta xét:

F (t) = (x − t)3 .

+



Hàm (x −

t)3



+



đưoc xác đ%nh bói





(x − t)3 ,

(x − t)3+ = 

0 khi t >



khi



t≤x

(2.10)



x,

có đo th% hình (2.2).



Hình 2.2 Đo th% (x − t)+3 .



Quan sát đo th% rõ ràng Ft(x) là hàm khá vi liên tuc hai lan trên

tồn truc so nhưng khơng khá vi liên tuc ba lan.

Th¾t v¾y: hàm Ft rrr(x) gián đoan suy ra tù công thúc sau:





6x>

d3Ft3(x) 



dx

t 0 x
(x)

=

t

=

F



rrr



 không xác đ%nh tai x=t.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

1 Khái ni¾m spline đa thNc

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×