Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
1 Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm

1 Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm

Tải bản đầy đủ - 0trang

9



1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;

2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.

M®t khơng gian metric l mđt tắp hop cựng vúi mđt metric trong

tắp hop ay. Cỏc phan tỳ cna mđt khụng gian metric đưoc goi điem

cna không gian ay; so d(x, y) đưoc goi là khoáng cách giua các

điem x và y.

Đ%nh nghĩa 1.2. M®t dãy điem (xn), n = 1, 2, ... trong khơng

gian metric X goi là h®i tn đen điem a ∈ X neu

lim

n→∞



d(a, xn) = 0.



Khi đó, ta kí hi¾u

lim

n→∞



xn = a ho¾c xn → a, khi n → ∞.



Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy điem (xn) đưoc goi là dãy cơ bán trong

khơng gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc , đeu ton tai

m®t so n0

sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có

d(xn , xm ) < ε.



Nói cách khác, ta có

lim

n,m→∞



d(xn, xm) = 0.



De thay moi dãy điem h®i tu trong khơng gian metric đeu là dãy

cơ bán.

Đ%nh nghĩa 1.4. M®t khơng gian metric X đưoc goi là đay đú neu

moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.

1.1.2



Khơng gian đ%nh chuan



Cho X là m®t khơng gian vectơ trên trưòng so phúc C .

%nh ngha 1.5. Mđt chuan, kớ hiắu || ã ||, trong X là m®t ánh xa đi

tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:

1) ||x|| ≥ 0 vói moi x ∈ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú khơng);

3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ C và moi x ∈ X; 4)

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X.

So ||x|| đưoc goi là chuan ( hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t

khơng gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong khơng gian

ay, đưoc goi là m®t khơng gian đ%nh chuan.

M¾nh đe 1.1. Giá sú X là m®t khơng gian đ%nh chuan. Vói moi

x, y ∈ X, ắt

d(x, y) = ||x y||



Khi ú, d l mđt metric trên X.

Đ%nh nghĩa 1.6. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc

goi là h®i tn đen x0 ∈ X neu limn→∞ ||xn − x0|| = 0.

Khi đó, ta kí hi¾u

lim

n→∞



xn = x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.



Đ%nh nghĩa 1.7. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc

goi là m®t dãy cơ bán, hay dãy Cauchy, neu

lim

m,n→∞



||xm − xn|| = 0.



Đ%nh nghĩa 1.8. Giá sú khơng gian đ%nh chuan X là m®t khơng gian

metric đay đú (vói khống cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X

đưoc goi là m®t khơng gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là

khơng gian

Banach.

Đ%nh nghĩa 1.9. Cho hai khơng gian tuyen tính X và Y trên trưòng

C. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là tuyen

tính neu A thóa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C.

A cũng đưoc goi là tốn tú tuyen tính. Khi đó, neu A chí thố mãn

1) thì A đưoc goi là tốn tú c®ng tính; neu A chí thóa mãn 2) thì A

đưoc goi là toán tú thuan nhat. Khi Y = C thì tốn tú tuyen tính A

đưoc goi là phiem hàm tuyen tính.



Đ%nh nghĩa 1.10. Cho khơng gian đ%nh chuan X và Y . Tốn tú tuyen

tính A ánh xa không gian X vào không gian Y đưoc goi là b% ch¾n neu

ton tai hang so C ≥ 0 sao cho:

||Ax|| ≤ C||x||∀x ∈ X.

M¾nh đe 1.2. Giá sú tốn tú tuyen tính A ánh xa khơng gian đ%nh

chuan X vào khơng gian đ%nh chuan Y . Khi đó, các m¾nh đe sau là

tương đương:

1) A b% ch¾n;

2) A liên tnc;

3) A liên tnc tai 0.

Đ%nh nghĩa 1.11. Cho hai khơng gian đ%nh chuan X và Y . Kí hi¾u

L(X, Y ) là t¾p tat cá các tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù khơng gian

X vào khơng gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép tốn:

• Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là tốn tú, kí hi¾u A +

B, xác đ%nh bói bieu thúc

(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;

• Tích vơ hưóng cúa α ∈ C vói tốn tú A ∈ L(X, Y ) là tốn tú,

kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc

(αA)(x) = α(Ax).



De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và

hai

phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính. Khi đó, t¾p L(X, Y )

tró thành m®t khơng gian tuyen tính trên trưòng C. Trong trưòng

hop Y = C, thì L(X, C) đưoc goi là khơng gian liên hop cna X, kí

hi¾u

X∗ . Neu Y = X thì L(X, Y ) đưoc kí hi¾u gon lai là L(X)

Vói moi A ∈ L(X, Y ), đ¾t

||A|| = sup

xƒ=0



||Ax||



.



||x||



Ta có || · || xác đ%nh như trên là m®t chuan trong L(X, Y ). Như the,

khơng gian L(X, Y ) vói chuan vùa nêu trú thnh mđt khụng gian

%nh chuan.

Mắnh e 1.3. Neu Y là m®t khơng gian Banach thì L(X, Y ) là

không gian Banach.

Tù đ%nh lý trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach.

Đ%nh lý 1.1. (Hahn − Banach)

Cho M là m®t khơng gian con cúa khơng gian Banach X. Neu f l

mđt phiem hm tuyen tớnh b% chắn trên M, thì ton tai phiem hàm

tuyen tính b% ch¾n F trên X sao cho F (x) = f (x) vói moi x ∈ M



||F || = ||f ||.

M¾nh đe 1.4. Neu A là m®t tốn tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa 1-1

tù khơng gian Banach X lên khơng gian Banach Y , thì tốn tú ngưoc

A−1 cũng tuyen tính b% ch¾n.



Đ%nh nghĩa 1.12. Ánh xa A ánh xa không gian metric X vào không

gian metric Y đưoc goi là mó neu qua A, ánh cúa moi t¾p mó trong

X là t¾p mó trong Y .

Đ%nh lý 1.2. (Đ%nh lý ánh xa mó)

Neu A là tốn tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa khơng gian Banach X lên

khơng gian Banach Y , thì A là ánh xa mó.

1.1.3



Khơng gian Hilbert



Đ%nh nghĩa 1.13. Cho khơng gian tuyen tính X trên trưòng C . Ta

goi là tích vơ hưóng trên khơng gian X moi ánh xa tù tích Descartes

X × X vào trưòng C, kí hi¾u (·, ·), thóa mãn các tiên đe:

1) (y, x) = (x, y) vói moi x, y ∈ X ;

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ X;

3) (αx, y) = α(x, y) vói moi so α ∈ C và moi x, y ∈ X;

4) (x, x) > 0 vói moi x ∈ X, x ƒ= θ (θ là kí hi¾u phan tú khơng)

;

5) (x, x) = 0, neu x = θ.

Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cna tích vơ hưóng.

So (x, y) goi là các tích vơ hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên

đe 1), 2), 3), 4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vơ hưóng.

Đ%nh nghĩa 1.14. Khơng gian tuyen tính X trên trưòng C cùng vói

m®t tích vơ hưóng trên X đưoc goi là không gian tien Hilbert.



Đ%nh lý 1.3. (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz) Cho X là m®t khơng

,

gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ X, ta đ¾t ||x|| = (x, x). Khi đó,

ta

có bat đang thúc sau

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.

Tù bat đang thúc trên ta suy ra ket quá sau.

M¾nh đe 1.5. Moi khơng gian tien Hilbert đeu là khơng gian đ%nh

,

chuan, vói chuan ||x|| = (x, x).

Đ%nh nghĩa 1.15. Hai vectơ x và y trong không gian tien Hilbert đưoc

goi là trnc giao, kí hi¾u x ⊥ y, neu (x, y) = 0.

M¾nh đe 1.6. (Pythagore) Giá sú các vectơ x1, x2, . . . xn trnc

giao tùng đơi m®t trong khơng gian tien Hilbert H. The thì

n



.

||



n



2

x || = . ||xi|| 2.



i=1 i



i=1



Đ%nh nghĩa 1.16. Ta goi khơng gian Hilbert H là khơng gian tuyen

tính H trên trưòng C thóa mãn các đieu ki¾n:

1) H là khơng gian tien Hilbert;

,

2) H là khơng gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x) vói x ∈

X.

Đ%nh nghĩa 1.17. Giá sỳ M l mđt tắp con cỳa khụng gian Hilbert

H. Ta goi phan bù cúa M, kí hi¾u M ⊥ , là t¾p tat cá nhung vectơ cúa

H trnc giao vói moi phan tú cúa M.

Rõ ràng M ⊥ là m®t khơng gian con đóng cna M .



Đ%nh lý 1.4. (Đ%nh lý hình chieu) Giá sú M là m®t khơng gian con

đóng cúa khơng gian Hilbert H. Khi đó, vói bat kì vectơ x ∈ H, ton

tai duy nhat các vectơ y ∈ M và z ∈ M ⊥ sao cho x = y + z.

Vectơ y đưoc goi là hình chieu cna vectơ x lên khơng gian con M .

Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý bieu dien Riesz) Giá sú f là phiem hàm tuyen

tính b% ch¾n trên khơng gian H. The thì, ton tai duy nhat phan tú

a ∈ H sao cho f (x) = (x, a) vói moi x ∈ H.

Đ%nh nghĩa 1.18. H¾ vectơ (en)n≥1 trong khơng gian Hilbert H

đưoc goi là trnc chuan neu



(en, em) =







1, n = m





0, n ƒ= m.



Neu khơng ton tai m®t vectơ khác khơng nào cúa H trnc giao vói tat

cá các phan tú cúa h¾ trên, thì h¾ trnc chuan (en)n≥1 đưoc goi là

cơ só trnc chuan cúa khơng gian Hilbert H.

M¾nh đe 1.7. (Bat đang thúc Bessel) Giá sú h¾ vectơ (en)n≥1 là

trnc chuan trong khơng gian Hilbert H. Vói moi x ∈ H, ta ln có bat

đang thúc sau







. |(x, en)| 2≤ ||x|| .

n=1



Đang thúc trong bat đang thúc trên xáy ra khi (en)n≥1 là cơ só

trnc chuan. Và nó đưoc goi là đang thúc Parseval.



1.1.4



Tơpơ yeu



Giá sú X l mđt tắp hop, Y l khụng gian tụpụ và F là ho các hàm

ánh xa X vào Y . Tơpơ yeu trên X cám sinh bói F là tôpô yeu nhat

T trên X sao cho moi hàm trong F đeu liên tuc.

Đ%nh nghĩa 1.19. [8, Definition 1.18] Vói moi f thuđc khụng gian

%nh chuan X, kớ hiắu f là hàm xác đ%nh trên không gian liên hop

X ∗ xác đ%nh bói fˆ(ϕ) = ϕ(f ) vói moi ϕ ∈ X ∗ . Không gian tôpôyeu∗ trên X ∗ là tơpơ yeu trên X ∗ cám sinh bói ho các hàm {fˆ : f

∈ X}.

Đ%nh nghĩa 1.20. [8, Definition 1.22] Hình cau đơn v% trong khơng

gian đ%nh chuan X là t¾p hop {f ∈ X : ||f || ≤ 1} và đưoc kí hi¾u

bói (X)1.

Đ%nh lý 1.6. [8, Theorem 1.23] Hình cau đơn v%

(X)∗



1



cúa khơng gian



liên hop cúa khơng gian Banach là compact trong không gian tôpô-yeu∗.

1.1.5



Không gian Lebesgue



Cho µ là m®t đ® đo xác suat trên σ−đai so S nhung t¾p con cna X.

Goi L1 là khơng gian tuyen tính nhung hàm giá tr% phúc khá tích

trên X vói phép c®ng theo tùng điem và phép nhân vơ hưóng, và goi

N là khơng gian cna các hàm khơng. Khi ú, mđt hm o oc f

trờn X l



á



á



|f |dà = 0. Ta ắt L1

X

á

l khụng gian %nh chuan thng L1/N vúi chuan ||[f ]||1 = X |f |dà.

thuđc L1 neu



X |f |dà < v thuđc N neu



Ta cng có L1 là khơng gian Banach.

Vói 1 < p < ∞ goi Lp là t¾p tat cá các hàm trong L1 sao cho



á

X



|f | p



dà < v ắt N



p



= N ∩ . The thì Lp

Lp



là khơng

gian tuyen



tính con cna L1 và khơng gian thương Lp = Lp/N

Banach vói chuan

||[f ]||p =



á

.

X



p



|f | dà



.



1/p



p



l khụng gian



.



Cuoi cựng goi L l không gian con cna L1 bao gom nhung hàm f

sao cho {x ∈ X : |f (x)| > M} có đ o khụng vúi M n lún. Kớ

hiắu

||[f ]|| l giá tr% M nhó nhat trong so đó. Đ¾t N ∞ = N ∩ L∞. The

thì || ||∞ là m®t chuan cna không gian thương L∞ = L∞/N ∞. Hơn

nua, vói chuan đó L∞ là khơng gian Banach.

Dù nhung phan tú cna Lp thnc ra là các lóp tương đương, ta van

coi chúng như nhung hàm so. Vì v¾y khi ta viet f thu®c Lp thì có

nghĩa là f thu®c Lp và f kí hi¾u cho lóp tương đương trong Lp bao

hàm f . Lp cũng đưoc kí hi¾u là Lp(X) hay Lp(µ) tùy theo đoi

tưong muon nhan manh là tắp nen X hay đ o à.

Vúi L , kí hi¾u ϕˆ là hàm tuyen tính xác đ%nh búi

á

f dàf L1 .



(f ) =

X



%nh lý 1.7. [8, Theorem 1.45] Ánh xa ϕ → ϕˆ là m®t đang cau

đang

cn cúa L∞ lên (L1)∗.

1.1.6



Đai so Banach



Đ%nh nghĩa 1.21. M®t đai so Banach B là m®t đai so trên trưòng

C (vói phan tú đơn v% trong B là 1) sao cho có m®t chuan bien B

tró thành khơng gian Banach. Hơn nua, chuan phái thóa mãn các đieu

ki¾n ||1|| = 1 và ||fg|| ≤ ||f |||g||| vói moi f, g ∈ B.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

1 Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×