Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3 M®t so Nng dnng

Chương 3 M®t so Nng dnng

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chng 1

Mđt so kien thNc chuan b%

1.1



Cỏc khỏi niắm c bán cúa giái tích hàm



1.1.1



Khơng gian vectơ



Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho t¾p hop E mà các phan tú đưoc kí hi¾u: →−α ,

→− →−

β,

γ , ...

và trưòng K mà các phan tú đưoc kí hi¾u là: x, y, z, ...

Giá sú trên E có hai phép tốn:

1) Phép tốn c®ng, kí hiắu + : E ì E E





( ,

) −→ →−α +

β

2) Phép tốn nhân, kí hi¾u là . : K × E −→ E

(x, →−α ) −→ x.→−α

thóa mãn các tiên đe sau:

→−

→−

→−

a) →−α +

β =

β + →−α , ∀→−α ,

β ∈ E;

→−

→−

b) (→−α +

β ) + →−γ = →−α + (

β + →−γ ), ∀→−α ,

→− →−

β,

γ ∈ E;

c) Ton

tai



d) Vói

moi



→−

→−

→−

θ ∈ E sao

θ + →−α = →−α +

θ = →−α ,

cho

∀→−α ∈ E;

→−α

ton tai



→− r

α + →−α = →−α +

α ∈ E sao

→− r

→−

α

=

θ;

cho

→−



r



e) (x + y)→−α = x→−α + y →−α , ∀→−α ∈ E và x, y



∈ K;



→−

→−

→−

f) x(→−α +

β ) = x→−α + x

β , ∀→−α ,

β ∈ E và x

∈ K;



10



g) x(y →−α ) = (xy)→−α , ∀→−α ∈ E và x, y ∈ K;

h) 1 · →−α = →−α , ∀→−α ∈ E và 1 là phan tú đơn v% cúa

trưòng K;

Khi đó E cùng vói hai phép tốn trên goi là khơng gian vectơ trên

trưòng K, hay K-khơng gian vectơ, hay khơng gian tuyen tính.

Khi K = R thì E đưoc goi là không gian vectơ thnc.

Khi K = C thì E đưoc goi là khơng gian vectơ phúc.

Ví dn 1.1.1. De dàng kiem tra C[a, b] là m®t khơng gian vectơ.

Đ%nh nghĩa 1.1.2. H¾ vectơ (→−αi ), ∀i = 1, 2, ..., n goi l đc lắp

tuyen

n

.



tớnh

xii = 0 kéo theo xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.

i=1

neu

H¾ vectơ (→−αi ), ∀i = 1, 2, ..., n goi l phn thuđc tuyen tớnh neu nú

khụng

đc lắp tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá sú E là m®t khơng gian vect.

Mđt hắ vect trong E oc goi l mđt hắ sinh cúa E neu moi vectơ

cúa

E đeu bieu th% tuyen tớnh qua hắ ú.

Khi E cú mđt hắ sinh gom huu han phan tú thì E đưoc goi là khơng

gian vect huu han sinh.

Mđt hắ vect trong E oc goi l c sú cỳa E neu nú l hắ sinh

đc l¾p tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho E là khơng gian vectơ có cơ só gom huu han

phan tú thì so phan tú trong cơ só đó đưoc goi là so chieu cúa khơng

gian vectơ.

Khi E là m®t K-khơng gian vectơ có so chieu n ta kí hi¾u



11



dimE = n (hay dimK E = n).



Đ%nh nghĩa 1.1.5. T¾p con W ƒ= ∅ cúa m®t K-khơng gian vectơ E

đưoc

goi là khơng gian vectơ con cúa E neu nó on đ%nh vói hai phép tốn cúa

E, nghĩa là thóa mãn các đieu ki¾n sau:

→−

1) ∀→−α ,

β ∈ W, →−α +

→−

β ∈ W,

2) ∀→−α ∈ W và ∀x ∈ K thì x→−α ∈ W .

1.1.2



Khụng gian metric



Cho X l mđt tắp tựy ý.

%nh ngha 1.1.6. Mđt metric trong X l mđt ỏnh xa

d:XìXR

cỳa tớch X × X vào đưòng thang thnc R, thóa mãn các đieu ki¾n sau

đây: 1)



d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y;



2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bat đang thúc tam

giác). T¾p hop X cùng vói d là m®t khơng gian metric, ánh xa d là

hàm khoáng cách (hay metric) trong X. Các phan tú cna m®t khơng

gian metric goi là các điem cna khơng gian ay, so d(x, y) goi là

khống cách

giua các điem x và y.

Ví dn 1.1.2. C[a, b] là khơng gian metric vói khống cách

d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.

a≤t≤b



Đ%nh nghĩa 1.1.7. M®t dãy điem (xn), n = 1, 2, ... trong khơng

gian

metric X goi là h®i tn đen điem a X neu lim d(xn, a) = 0. Khi đó,



ta

n→∞





hi¾u



li

m



xn = a ho¾c xn → a, khi n → ∞.



n→∞



Đ%nh nghĩa 1.1.8. Dãy điem (xn) đưoc goi là dãy cơ bán (hay dãy Côsi)

trong không gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc, đeu ton tai

m®t so n0 sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có

d(xn , xm ) < ε.

De thay moi dãy điem h®i tu trong khơng gian metric đeu là dãy cơ

bán.

Đ%nh nghĩa 1.1.9. M®t khơng gian metric X đưoc goi là đay đú neu

moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.

Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh

xa A : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu như ∀ε > 0, ∃δ > 0

sao cho ∀x ∈ X thóa mãn d(x, x0) < δ thì d(A(x), A(x0)) < ε.

Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xa

A : X → Y đưoc goi là m®t ánh xa co neu ∃α vói 0 ≤ α < 1 sao cho vói

r



∀x, x ∈ X ta đeu





d(A(x), A(xr )) ≤ α d(x, xr ).



Đ%nh lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xa co) Giá sú X là m®t khơng gian

metric đay đú, và A : X → X là m®t ánh xa co cúa X vào chính nó. Khi

đó ton tai m®t và chs m®t điem x∗ ∈ X sao cho A(x∗) = x∗.



1.1.3



Khơng gian đ%nh chuan



Cho X là m®t khơng gian vectơ trên trũng P (P = R hoắc C).

%nh ngha 1.1.12. Mđt chuan, kớ hiắu || ã ||, trong X l mđt ánh xa đi

tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:

1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú

khơng); 3) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.

So ||x|| đưoc goi là chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t khơng

gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong khơng gian ay, đưoc

goi là m®t khơng gian đ%nh chuan (thnc ho¾c phúc, tùy theo P thnc

hay phúc).

Đ%nh lý 1.1.2. Giá sú X là m®t khơng gian đ%nh chuan. Vói moi x, y ∈

X, đ¾t

d(x, y) = ||x − y||.

Khi đó, d là m®t metric trên X.

Đ%nh nghĩa 1.1.13. Dãy (xn) trong khơng gian đ%nh chuan X đưoc

goi là h®i tn đen x0 ∈ X neu

lim ||xn − x0|| = 0.

n

→∞



Khi đó, ta kí hi¾u

lim

n→∞



xn = x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.



Đ%nh nghĩa 1.1.14. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc

goi là m®t dãy cơ bán neu

lim

m,n→∞



||xm − xn|| = 0.



Đ%nh nghĩa 1.1.15. Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t khơng

gian metric đay đú (vói khống cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X đưoc

goi là m®t khơng gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là khơng gian

Banach.

Đ%nh nghĩa 1.1.16. Cho hai khơng gian tuyen tính X và Y trên trưòng

P. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là ánh xa tuyen

tính hay tốn tú tuyen tính neu A thóa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay, vói moi x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx, vói moi x ∈ X, α ∈ P.

- Neu A chí thố mãn 1) thì A đưoc goi là tốn tú c®ng tính.

- Neu A chí thóa mãn 2) thì A đưoc goi là tốn tú thuan nhat.

- Khi Y = P thì tốn tú tuyen tính A đưoc goi là phiem hàm

tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1.17. Cho khơng gian đ%nh chuan X và Y . Tốn tú

tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu ton

tai hang so c > 0 sao cho

||Ax|| ≤ c||x||, vói moi x ∈ X.

Đ%nh nghĩa 1.1.18. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí

hi¾u L(X, Y ) là t¾p tat cá các tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù khơng

gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:



1) Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là tốn tú, kí hi¾u A +

B,

xác đ%nh bói bieu thúc

(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;

2) Tích vơ hưóng cúa α ∈ P (P = R ho¾c P = C) vói tốn tú A



L(X, Y ) là tốn tú, kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc

(αA)(x) = α(Ax).

De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai

phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính. Khi đó, t¾p L(X, Y )

tró thành m®t khơng gian tuyen tính trên trưòng P .

Đ%nh lý 1.1.3. Neu Y là m®t khơng gian Banach thì L(X, Y ) là

khơng gian Banach.

1.1.4



Khơng gian Hilbert



Đ%nh nghĩa 1.1.19. Cho khơng gian tuyen tính X trên trưòng P

(P = R ho¾c P = C). Ta goi là tích vơ hưóng trên khơng gian X moi

ánh xa tù tớch Descartes X ì X vo trũng P, kớ hiắu (·, ·), thóa mãn

các tiên đe:

1) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ X;

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ X;

3) (αx, y) = α(x, y), ∀α ∈ P và ∀x, y ∈ X;

4) (x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là kí hi¾u phan tú khơng), ∀x ∈ X;



5) (x, x) = 0, neu x = θ, ∀x ∈ X.

Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cna tích vơ hưóng. So (x,

y) goi là tích vơ hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2), 3),

4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vơ hưóng.

Đ%nh nghĩa 1.1.20. Khơng gian tuyen tính X trên trưòng P cùng vói

m®t tích vơ hưóng trên X goi là khơng gian tien Hilbert.

Đ%nh lý 1.1.4. Cho X là m®t khơng gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ X,

,

ta đ¾t ||x|| = (x, x). Khi đó, ta có bat đang thúc sau (goi là bat

đang thúc Schwarz).

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.

Đ%nh lý 1.1.5. Moi không gian tien Hilbert X đeu là không gian đ

,

%nh chuan, vói chuan ||x|| = (x, x).

Đ%nh nghĩa 1.1.21. Ta goi khơng gian tuyen tính H ƒ= ∅ trên trưòng

P

là khơng gian Hilbert H thóa mãn các đieu ki¾n:

1) H là khơng gian tien Hilbert;

,



2) H là khơng gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x) vói x ∈ X.

Ta goi moi khơng gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con cna không gian H.



1.2

1.2.1



So gan đúng và sai so

So gan đúng



Đ%nh nghĩa 1.2.1. Ta nói rang so a là so gan đúng cúa a∗ neu a

không sai khác a∗ nhieu. Đai lưong ∆ = |a − a∗| phán ánh múc đ® sai

l¾ch giua



a và a∗ goi là sai so th¾t sn cúa a.

Đ%nh nghĩa 1.2.2. So ∆a ≥ 0 goi là sai so tuy¾t đoi cúa a∗ neu

thóa mãn đieu ki¾n:

|a − a∗| ≤ ∆a.



(1.1)



hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a. Bói v¾y ∆a thóa mãn đieu ki¾n (1.1)

cng nhú thỡ đ sai lắch giua a v a càng ít.

Đ%nh nghĩa 1.2.3. So δ =

a



1.2.2



∆a

|a|



goi là sai so tương đoi cúa a.



Làm tròn so



So th¾p phân tong qt có dang:

a = ±(αp10p + ... + αi10i + ...−s10



p−s



).



(1.2)



+ αp



trong đó αj ∈ N, 0 ≤ αj ≤ 9, j = p − 1, p − s, αp > 0,

a) Neu p − s “ 0 thì a là so ngun nên a có giá tr% chính xác,

b) Neu p − s = −k(k “ 0)) thì a có phan lé là k chu so,

c) Neu p − s → −∞(s → +∞) thì a là so th¾p phân vơ han.

Làm tròn so a là bó đi m®t so các chu so bên phái cna so a gon hơn

và gan đúng nhat vói a.

1.2.3



Quy tac làm tròn so



Giá sú a có dang (1.2) ta se giu lai đen b¾c thú i phan bó đi là µ thì

a = ±(αp10p + ... + αi+110i+1 + αi10i),



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3 M®t so Nng dnng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×