Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bieu dien cân bang dưái dang tong quát:

Bieu dien cân bang dưái dang tong quát:

Tải bản đầy đủ - 0trang

22



Cách bieu dien này thu gon đưoc các bieu thúc cân bang trong trưòng hop

tong qt và bieu dien m®t cách trnc quan đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong.

Ví du vói cân bang (1.7) có the viet ngay đưoc đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong:

.m+p

α



j



lg[Aj] = lgK



j=1



Như v¾y áp dung cho cân bang:

+



Φ = −H2O2 − 3I− − 2H + I− + 2H2O

3



Ta có bieu thúc cna đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong:

+



−lg[H2O2] − 3lg[I−] − 2lg[H ] + lg[I−] + 2lg[H2O] = lg41, 6

3



Vi¾c to hop cân bang riêng lé đe tao nên m®t cân bang mong muon đưoc

thnc hi¾n bang phương pháp to hop tuyen tính theo sơ đo Kamar như sau:

αA + β B

α E



+ C



=

=



cC + dD

A



lgK1

lgK2



α E + βB +(α + c)

lgK = lgK1 + αlgK2

= dD

Sơ đo này tó ra rat thu¾n ti¾n cho viắc tớnh toỏn bat kỡ mđt loai cõn bang

no.



Chng 2

Phng pháp Newton - Raphson giái

h¾ phương trình phi tuyen



2.1.



Cơ sá lí thuyet



2.1.1.



Phương pháp l¾p Newton-Raphson



Cho h¾ phương trình phi tuyen:



 f1(x1, x2, . . . , xn) = 0





 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

...







fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0

H¾ này đưoc viet dưói dang

F (x) = 0



(2.1)



neu coi x = (x1, x2, x3, . . . , xn) và F (x) = (f1(x), f2(x), f3(x), . . . ,

fn(x)). Ta xét ma tr¾n Jacobian cna các hàm fi(x)(i = 1, n) đưoc giá thiet

là hàm khá vi liên tuc:





J (x)



∂ f 1 (x

 )

1

= ∂∂x

f2 ( x



)

∂x1









.



..



∂fn (x)

∂x1



∂ f1 (x

)

∂x2

∂ f2 ( x )

∂x2



..

.



..

.

..

.

.

.















.

.









∂fn (x)



∂ fn

( x)

∂x2



∂ f1 (x)

∂xn

∂f2(x)

∂xn



..



∂xn



.



Giá sú cho trưóc xap xí đau tiên x0, thay vì giái h¾ phương trình (2.1) ta

giái h¾ phương trình sau:



0



0



0



F (x ) + J (x )(x − x ) = 0



(2.2)



24



Neu detJ (x0) ƒ= 0 thì (2.2) có nghi¾m duy nhat, ta kí hi¾u x1, đe cho

thu¾n loi ta giái (2.2) đoi vói: ∆x0 = x − x0, sau đó tính x1 = x0 + ∆x0.

Như v¾y ta đã thay h¾ phương trình fi(x1, x2, x3, . . . , xn) = 0(i = 1, n)

bói h¾ phương trình (2.2) đơn gián hơn nhieu vì (2.2) tuyen tính đoi vói x.

Neu xm tìm đưoc thì xm+1 tính theo cơng thúc xm+1 = xm + ∆xm, vectơ

so gia ∆xm = (∆xm, . . . , ∆xm) tìm đưoc tù h¾ F (xm) + J (xm)(∆xm) =

0,

1



hay chính là h¾:





m

m



n



∂f1(xm)



∂f1(xm)



m



· ∆xn = 0

 f1 (x ) ∂x1 · ∆x1 + . . .

∂xn

+

+

...

...

...

...

...

m



m

n

m

 f (xm) + ∂f

∂f (x )

m n(x )

n

· ∆x1 + . . .

· ∆xn = 0

∂x1

∂xn

+

Phương pháp Newton se h®i tu neu các xap xí ban đau đưoc chon tot

và ma tr¾n J (x) khơng suy bien. Hơn the nua toc đ® h®i tu là toc đ® bình

phương. Thnc te phép l¾p dùng lai khi bưóc l¾p thóa mãn bat đang thúc:

"xm+1 − xm" ≤ s. Đe chon bưóc l¾p đau tiên ta chon bang đo th% ( ho¾c phép

thú ).

2.1.2.



Cách giái h¾ phương trình phi tuyen bang phương pháp l¾p

Newton - Raphson .



Cho h¾ phương trình phi tuyen:



 f1(x1, x2, . . . , xn) = 0





 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

...







fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0

ó đây fi(i = 1, n) và các đao hàm riêng cna chúng cho đen b¾c hai đưoc

giá thiet là liên tuc và giói n®i. Khai trien các hàm fi(i = 1, n) tai lân c¾n

cna điem x0 theo chuoi Taylor và xét h¾ phương trình tuyen tính vói an so



25



h = (h1, h2, . . . ,

h n)





n



∂f



 f1(x0 + h1, x0 + h2, . . . , x0 + hn) = f1

.

+

1



1



hi ≈ 0



i=1 ∂xi

n



2

n

0





.



0

0

f

(x

+

h

,

x

+

h

,

.

.

.

,

x

+

h

)

=

f

+

n

2

1

2

2











∂f2



i=1 ∂x



1

n



2



...

.



...



i



..



n



 fn(x0 + h1, x0 + h2, . . . , x0 + hn) = fn

.

+

n



hi ≈ 0

(2.3)



∂f



n



i=1



hi ≈ 0



∂xi



Neu (x0, x0, . . . , x0 ) là bưóc xuat phát cna phương pháp, túc là xap xí ban

1



2



n



đau nghi¾m cna (2.3), thì (x0 + h1, x0 + h2, . . . , x0 + hn) là xap xí tiep

theo

1



2



n



cna nghi¾m. Đe tìmh1, h2, . . . , hn ta viet h¾ (2.3) ve dang:

∂f 1

∂f 1

∂f1















∂x1

∂f2

∂x1

∂fn

∂x1



h1 +

h1 +

...



∂x2

∂f2



h2 + . . . +



∂x2

∂f



∂xn

∂f2



h2 + . . . +

...



h1 +



∂x2



∂xn



∂f



n



h2 + . . . +



hn = −f1

hn = −f2



n



∂xn



hn = −fn



H¾ này có the viet dưói dang ma tr¾n như sau:





∂f1

∂x

1





2

 ∂f

∂x1

 .

 ..



∂fn

∂x



Ma tr¾n:



1



∂∂x

f12)

∂f

∂x

2 2



.



.

..

∂f.

n



∂x2



.







 h1 







∂f2 





∂xn

 h2 

0

=

.  (x ) 





...

.. 



  

∂fn

hn

∂xn

∂f1

∂x

n



..

.. .

.

.

..











−f1







 −f2



 ...



















−fn

0



J (x ) =







∂f1

∂x1

∂f

∂x21



26





f

1



)



.



 .



∂fn



∂x2

∂f

∂x

2 2



.



.

..



∂f



..

.. .

.

..



n



∂x1



∂x2



..









0



(x )

. 

.. 



∂ fn

∂f1

∂xn

∂f2

∂xn



∂xn



.



đưoc goi là ma tr¾n Jacobian cna h¾ phương trình phi tuyen trên tai điem x0.

Neu ton tai J −1 (x0 ), thì nghi¾m (h1, h2, . . . , hn) cna h¾ (2.3) tìm đưoc

theo







cơng

thúc:







h1









 h 

 2 



=

 ... 















27

∂f

∂x11



.1



∂f2

∂x



.

.

..



∂fn





 x1 

 2 

=





 ...

 1 

x

n





 x0 

 2 

+





 ...

 0 

x



..



−fn



∂x

n



.











−f1











−f

2 

0 



(x ) 

.

.

.











∂fn



∂x2













. 

. 



n



1



Như v¾y ta có:

 11 

 10 

x

x



.

.



∂f



∂x



n



∂f2

∂xn



..



∂x2



.



 ..





∂f







1

∂x

n



∂f

2



1



h



..



∂f

∂x2







−1



1

∂f1

∂x

1



∂f

∂x2



∂f2

∂x



∂f

2



.1



∂x2



.

.

..



1



.



 ..





∂fn



..

..



∂f

1−

∂xn

∂f2 



∂xn 



.

.



. 

. 

∂fn



∂f

n



n

∂x1



∂x2



..



.







−f1















0  −f2 



(x ) 

 ... 





−fn



∂x

n



Đe tính điem l¾p tiep theo ta phái tìm J (x1). Và q trình trên lai

đưoc tien hành tương tn.

2.2.



Ví dn áp dnng



Ví dn 2.1.



.



Ta có



y + xy2 − 6x2 =

0 1 + x2y2 − 5x2

=

0

.



.



2



y − 12x 1 + 2xy

J (x) =



2xy2 − 10x



Lay điem xuat phát x0 = (1, 2; 1, 8) thì

.



2x2y

.



Det J (x0) = −35, 38176



28



−11, 16 5, 32



0



J (x ) =



−4, 224 5, 184

.

1

[J (x0)]−1 = − 35, 38176



5, 184 −5, 32

4, 224 −11, 16



.

0



f (x ) =



.

−2, 952

−1, 5344



.



x1 = x0 − [J (x0)]−1 · f (x0)



Do

Suy ra



.

.

1

1, 2

1

x =

+

35,

1, 8

38176

.

=



.5,



+



1, 8



Tỡm nghiắm x2 :



5, 32 .



4, 224 −11,

16



.

1, 2



184



.−7,



1

35,

38176



14016.



−1, 5344

.



1



J (x )

=



.

0, 9982



=



4,

65465

.



·



. −2, 952 .



1, 93155

.



−8, 2475 4, 8561

−2, 5336 3, 8492



Det J (x1) = −19,

443



.

1

[J (x1)]−1 = − 19, 443

.

1



f (x ) =



.

3, 8492 −4, 8561

2, 5336 −8, 2475



−0, 3227



.



−0, 2645



x2 = x1 − [J (x1)]−1 · f (x1)



Do

Suy ra



.

2



x =.



1, 93155



=



.3,



1



0, 9982

+



19,

443



2, 5336 8,

2475

.

0, .



. 0, 9982 .

1, 93155



Tỡm nghiắm x3 :



8492 −4, 8561.



+



00217

0, 07041



=



·



.−0, 3227.



−0, 2645

.

1, .

00037

2, 00169



Det J (x2) = −22,

0956



.

2



J (x ) =



.

−7, 9976 5, 0048

−1, 9872 4, 0063

.



1

[J (x2)]−1 = − 22, 0956



.



4, 0063 −5, 0048

1, 9872 −7, 9976



.

0, 0055

.



2



f (x ) =



0, 006

x3 = x2 − [J (x2)]−1 · f (x2)



Do

Suy ra



.

3



x =



.

0, 0056

0, 006



+



.



=



0, .

0056



.4,



1



0063 −5, 0048.



22,

0956



.

·



.

0, 0055



0, 006

1, 9872 −7,

9976

.

.

.

.

1, 0000082

−0, 00036 =

+ 0, 0000354

2, 000013



0, 006



Lắp lai quỏ trỡnh trờn ta cú



.



4



x =

Vắy nghiắm cna hắ l



.

1, 0000082

2, 000013



.

x = 1, 0000082

y = 2, 000013



Sau đây là chương trình đưoc viet cho h¾ phương trình trên vói bưóc xuat

phát x0 = (x0; y0):

Chương trình:

Program



New-Raph;

var

A: array[1..2,1..2] of real ;

dk, k, kmax, k1: integer;

x0, y0, x1, y1, dx1, dy1:



real;

f 0 0 1 1

1 , f2 , f1 , f2 , det, e: real ;

Function f1(x, y : real): real;



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bieu dien cân bang dưái dang tong quát:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×