Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tơi trình bày m®t so kien thúc chuan b% ve

các khơng gian hàm và tốn tú, các khái ni¾m và đ%nh lý tong quát ve

sn ton tai, đánh giá so chieu và tính núa liên tuc trên cna D−t¾p hút

lùi phuc vu cho vi¾c chúng minh các chương sau.



1.1.



Các khơng gian hàm và tốn tN



Cho 0 ≤ µ ≤ µ∗, chúng ta đ%nh nghĩa khơng gian Hµ(Ω) là bao

đóng cna C() vúi chuan

á

dx.

0

|

|u|2 à u|2

"u"2à =

.

.

|x|2







Khi ú Hà() l khơng gian Hilbert vói tích vơ hưóng tương úng

¸ .

uv dx, vói moi u, v ∈ H (Ω).

µ

(u, v)µ =

∇u∇v − µ .





|x|2



Chúng ta biet (xem [14]) rang neu 0 ≤ µ < µ∗ thì Hµ(Ω) ≡

0

H1(Ω). Trong trưòng hop tói han, nghĩa là khi µ = µ∗, chúng ta

nhac lai bat



5



6



ang thỳc Hardy-Poincare trong [14]

|u|

á .

|u|2 à 2. dx ≥ C(q, Ω)"u

2

"W



|x|2







, 1 ≤ q < 2,



1,

q



(1.1)



(Ω)



2N

,

N −2(1−s)



và cho 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r

=



(1.2)



á .|u|2 à |u|

2

r,

. dx C(s,

2

)"u"



s,

r



W



|x|2







()



vúi moi u ∈ C0∞(Ω). Đieu này suy ra phép nhúng liên tuc thố mãn vói

1 ≤ q < 2 và 0 ≤ s < 1,

1,q



s



Hµ (Ω) ‹→ W0 (Ω), Hµ (Ω) ‹→ H0 (Ω).

Hơn nua, tù W



1,q

0



(1.3)



(Ω) nhúng compact trong Hs(Ω) vói q = q(s) gan

0



2 và H0s(Ω) nhúng compact trong L2(Ω), chúng ta suy ra các phép

nhúng



Hµ (Ω) ‹→

1 2

L



(Ω), Hµ (Ω) ‹→ H s (Ω), 0 ≤ s < 1,



(1.4)



0



là compact.

Nq



Nhac lai rang phép nhúng W 1,q ‹ Lq(Ω) liên tuc vói 1 p







N −q

Nq



q < N . Khi đó ký hiắu p =

vúi

1



q

<

2,

tự

(1.3)

suy

ra l phộp

N q

nhỳng liờn tuc Hà (Ω) ‹→ Lp (Ω) thố mãn vói bat kỳ 1 ≤ p ≤ p∗ .



Bây giò chúng ta xét bài tốn biên



−∆u −



µ

|x|2



u



= λu vói x







Ω,



7





u



(1.5)

= 0 vói x ∈ ∂Ω.



Đe áp dung mó r®ng Friedrichs cna các tốn tú đoi xúng (xem [17])



chúng ta nhac lai bat đang thúc Hardy mú rđng trong [14]

á

.

.2

á

2

|u|

2

N



2

|u|

dx,

dx

+



|u|2dx



á |x|2





(1.6)







2







trong ú l hang so dng phu thuđc vo , tắp X = L2 (Ω), D(A˜)

=

C0∞ (Ω), A˜u = −∆u − u. Tù đó suy ra A˜ là tốn tú dương và tn

µ

liên

|x|2



hop. Khơng gian năng lưong XE bang Hµ(Ω) vì XE là khơng gian đn

cna D(A˜) = C ∞ (Ω) vói tích vụ húng tng ỳng

0



á .

(u, v)à =



uv

uv à .







dx.



|x|2



Hn

nua,

A ⊂ A ⊂ AE ,

ó đây AE : Hµ(Ω) → H1() l mú rđng nng long (H1() l khụng

à



gian oi ngau cna H (Ω)) và A =

µ



A˜ vói mien xác %nh











à

|x|2



à



l mú rđng Friedrichs cna



D(A) = {u Hà() : A(u) X}.

Chỳng ta cú bđ ba tien hoỏ Hà (Ω) ‹→‹→ L2 (Ω) ‹→‹→µ H −1 (Ω) vói

các phép nhúng là compact và trù m¾t. Do đó, vói moi 0 < à à, ú

ú ton tai mđt hắ trnc chuan cỏc vect riờng (ej,à, j,à) phu thuđc vo µ

sao cho

µ



ej,µ = λj,µej,µ, j, k = 1, 2, ...

(ej,µ, ek,µ) = δj,k và − ∆ej,µ

|x|2



0 < λ1,µ ≤ λ2,µ ≤ λ3,µ ≤ ..., λj,µ → +∞ khi j → +∞.

Cuoi cùng chúng ta chú ý rang vói moi u Hà(),

2



2



"u"à 1,à|u|2.



(1.7)



1.2.



SN ton tai D tắp hỳt lựi.



Cho (X, d) là khơng gian mêtric. Vói A, B ⊂ X, ta đ%nh nghĩa núa

khống cách Hausdorff giua 2 t¾p A và B là

dist(A, B) = sup inf d(x, y).

x∈A x∈B



Cho {U (t, τ ) : t ≥ τ, τ ∈ R} là m®t q trình trong X, nghĩa là

m®t

ho ánh xa gom hai tham so U (t, τ ) : X → X sao cho U (τ, τ ) = Id



U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) vói moi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R. Quá trình {U (t, τ

)}

đưoc goi là liên tuc norm-to-weak (norm-to-weak continuous) trên X

neu U (t, τ )xn h®i tu yeu tói U (t, τ )x khi xn h®i tu manh tói x trong

X, vói moi t ≥ τ, τ ∈ R. Giò, chúng ta nhac lai m®t phương pháp

huu ích đe chí ra q trình trên là liên tuc norm-to-weak.

Bo đe 1.1. [16] Cho X và Y là hai không gian Banach , X ∗ , Y











hai không gian đoi ngau tương úng. Giá thiet rang X là trù m¾t

trong Y , phép chieu i : X → Y là liên tnc, ánh xa liên hop i∗ : Y











X ∗ là trù m¾t, và {U (t, τ )} là q trình liên tnc ho¾c liên tnc yeu

trên Y . Khi đó

{U (t, τ )} là liên tnc norm-to-weak trên X neu vói t ≥ τ, τ ∈ R, {U (t,

)}

bien mđt tắp compact cỳa X thnh mđt tắp b% chắn cỳa X.

Cho B(X) l ho tat cá các t¾p con b% ch¾n khác rong cna X v D l

mđt lúp khỏc rong cỏc tắp tham so hoá Dˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).

Đ%nh nghĩa 1.2.1. M®t q trình {U (t, τ )} đưoc goi là

D−compact



ti¾m c¾n lùi neu vói moi t ∈ R, moi D ∈ D, moi τn → −∞ và moi dãy

ˆ

xn ∈ D(τn), dãy {U (t, τn)xn} là compact tương đoi trong X.



Đ%nh nghĩa 1.2.2. M®t q trình {U (t, τ )} đưoc goi là ω − D− giói

ˆ ∈D

han compact hap thn lùi neu và chs neu s > 0, bat kỳ t ∈ R và D

ton tai τ0(D, s, t) ≤ t sao cho

α (∪τ ≤τ0 U (t, τ )D(τ ))

≤s

trong đó α là đ® đo tính khơng compact Kuratowski cúa t¾p B ∈ B(X),

đưoc đ%nh nghĩa bói

α(B) = inf{δ > 0 : B có m®t phú mó huu han các t¾p có bán kính nhó hơn δ}.

Bo đe 1.2. [11] Quá trình {U (t, τ )} là D−compact ti¾m c¾n lùi neu

nó là ω − D−compact giói han lựi.

%nh ngha 1.2.3. Mđt ho cỏc tắp b% chắn cúa ˆ ∈ D đưoc goi là D−hap

B

thn lùi đoi vói q trình {U (t, τ )} neu vói moi t ∈ R, moiD ∈ D ton

ˆ

tai τ0 = τ0( ˆ, t) sao cho

D

[ U (t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).

τ ≤τ0



Đ%nh nghĩa 1.2.4. M®t ho ˆ = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) goi là

A

D−t¾p hút lùi vói q trình {U (t, τ )} neu nó thố mãn tat cá các

đieu ki¾n sau:

1. A(t) là compact vói moi t ∈ R;

2. Aˆ là bat bien; túc là

U (t, τ )A(τ ) = A(t)

vói moi t ≥ τ;

3. ˆ là D−hút lùi; nghĩa là

A

lim dist(U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0

τ →−∞



vói moi ˆ ∈ D và moi t ∈ R;

D



4. Neu {C(t) : t ∈ R} là ho khác rong các t¾p hút đóng thì A(t) ⊂ C(t)

vói moi t ∈ R.

Đ%nh lý 1.2.1. [11] Cho {U (t, τ )} là quá trình liên tnc norm-toweak sao cho {U (t, τ )} là D−compact ti¾m c¾n lùi. Neu ton tai mđt

ho cỏc tắp DhapBthn lựi = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {U (t, )} cú

mđt Dtắp hỳt A

lựi duy nhat = {A(t) : t ∈ R} và

A(t) =



\



[



U (t, τ )B(τ ).



s≤t τ ≤s



1.3.



So chieu fractal cúa D− t¾p hút lùi



Cho H là khơng gian Hilbert tách đưoc, vói tích vơ hưóng (., .) và

chuan |.|. Cho trưóc t¾p compact K ⊂ H và s > 0, ký hi¾u bói Ns (K)

so nhó nhat các hình cau mó trong H vói bán kính < s can thiet đe phn

K.

Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho t¾p compact khác rong K ⊂ H, so chieu fractal

cúa K đưoc đ%nh nghĩa bói

(1.8)

log(Ns(K)) .

dF (K) = lim

s

sup

log(1 )

s→0



Xét V ⊂ H là không gian Hilbert thnc tách đưoc sao cho phép chieu

tù V vào H là liên tuc và V là trù m¾t trong H.

Ta đong nhat H vói đoi ngau tơ pơ H t cna nó và đong nhat v ∈ V vói

phan tú fv ∈ H t đ%nh nghĩa bói

fv(h) = (v, h), h ∈ H.

Cho F : V × R → V t (V t là đoi ngau cna V ) là m®t ho các tốn tú

khơng tuyen tính sao cho vói moi τ ∈ R và bat kỳ u0 ∈ H ton tai

duy



nhat m®t hàm u(t) = u(t; τ, u0) thố mãn



u ∈ L2

(τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H), F (u(t), t) ∈







du

L1



(τ, T ;

V



t



), vói moi T > τ.





= F (u(t), t), t > τ,

dt





u(τ ) =

u0 .



(1.9)



Ta đ%nh nghĩa



U (t, τ )u0 = u(t, τ ; u0),τ ≤ t, u0 ∈ H.



(1.10)



Cho T ∗ ∈ R co đ%nh. Ta giá thiet có m®t ho {K(t) : t ≤ T ∗ } các

t¾p con compact khác rong cna H thố mãn tính chat bat bien

U (t, τ )K(τ ) = K(t), vói moi τ ≤ t ≤ T ∗



(1.11)



và vói moi τ ≤ t ≤ T ∗ , moi u0 ∈ K(τ ) ton tai m®t tốn tú tuyen

tính liên tuc L(t, τ, u0) ∈ L(H) sao cho:

|U (t, τ )u0 − U (t, τ )u0 − L(t, τ, u0)(u0 − u0)| ≤ γ(t − τ, |u0 − u0|)|u0 −

u0|,

(1.12)

vói moi u0 ∈ K(τ ), ó đó γ : R+ ì R+ R+ l mđt hm sao cho γ(s,

.)

khơng tăng vói moi s ≥ 0 và

lim γ(s, r) = 0, vói bat kỳ s

r→0







0.



(1.13)



Chúng ta giá sú vói moi t ≤ T ∗ , ánh xa F (., t) là khá vi Gateaux trên

V , nghĩa là vói bat kỳ u ∈ V ton tai m®t tốn tú tuyen tính liên tuc

F t(u, t) ∈ L(V, V t) sao cho:

lim



1

s→0



s



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×