Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
M®t so ví dn

M®t so ví dn

Tải bản đầy đủ - 0trang

Nh¾n xét

(i) Trong các khái ni¾m trên, hàm φ(z) thưòng đưoc goi là hàm cõ



vì hàm đó xác đ%nh dáng đi¾u cna hàm f (z).

(ii) Ký hi¾u này de dàng thích úng vói các hàm vói bien ròi rac.

Chang han như dãy so thnc (nghĩa là hàm cna các so nguyên dương n).

Ví du, neu xn = 3n2 − 7n + 8 thì xn = o(n3), xn = O(n2) và xn ∼

3n2 khi n → ∞.

(iii) Ta thưòng sú dung ký hi¾u f (z) φ(z) khi z → z0 thay the

cho f (z) = o (φ(z)) khi z → z0.

1.2.2. Dóy tiắm cắn

Mđt dóy hm {n(z)} oc goi l mđt dóy tiắm cắn khi z z0

neu cú mđt lõn c¾n cna z0 sao cho trong lân c¾n này khơng mđt

hm no triắt tiờu (cú the trự ra tai z0) và vói moi n

φn+1 = o(φn) khi z → z0.

n



Chang han, neu z0 huu han, {(z − z0) } là mđt dóy tiắm cắn khi z

. n.

z0, cũn (z)

l mđt dóy tiắm cắn khi z .

1.2.3. %nh ngha cỳa Poincarộs ve khai trien tiắm cắn

Mđt chuoi cú dang





.



ann(z) = a0φ0(z) + a1φ1(z) + · · · + anφn(z) + · · ·



n=0



khơng nhat thiet h®i tu, đưoc goi l mđt khai trien tiắm cắn cna hm

f (z) theo nghĩa Poincarés, tương úng vói dãy ti¾m c¾n {φn(z)} neu

vói moi m



m



f (z) −



.



n=0



anφn(z) = o (φm(z))



khi z → z0. Tù đó ta nh¾n đưoc

m−1



f (z) −



.



anφn(z) = amφm(z) + o (φm(z)) ,



n=0



tong riêng



m−1



.



anφn(z)



n=0



là m®t xap xí cna hàm f (z) vói sai so O (φm) khi z → z0, bắc cna sai

so ny cú cựng đ lún vúi so hang đau tiên cna phan dư. Neu khai trien

ti¾m c¾n ton tai thì nó là duy nhat và các h¾ so cna nó đưoc cho bói

..

m−1

. . 1 .

am = lim

.

f (z)

zz0

m(z)

ann(z)

n=0



Neu mđt hm cú khai trien tiắm cắn theo nghĩa này ta viet

f (z) ∼





.



anφn(z).



n=0



Tong riêng cna m®t chuoi có dang này thưòng đưoc goi là m®t xap xí

ti¾m c¾n cna hàm f (z). So hang đau tiên đưoc goi là so hang tr®i



chúng ta thưòng viet f (z) ∼ a0φ0(z), nghĩa





f (z)

φ0(z)



tien tói a0 khi



z → z0 .

Đ%nh nghĩa trên áp dung cho m®t hàm so bien so phúc, nhưng có the de

dàng đ%nh nghĩa cho m®t hàm vói bien so thnc. Neu điem giói han x0

là huu han, R có the là m®t khống mó cna x0, x0 cú the l iem

trong

hoắc iem biờn v mđt lõn cắn cna x0 l mđt khoỏng mú |x x0| < δ.



Nhưng neu x0 là điem vô cùng, chúng ta phái phân bi¾t giua x → +∞,

trong trưòng hop này R có the coi là m®t khống vơ han x > a và

x → −∞, trong trưòng hop này R có the coi là x < b. Có m®t so



trũng hop khi R l mđt tắp riờng biắt, chang han nú cú the l ieu

kiắn can e tỡm mđt khai trien ti¾m c¾n cna tong riêng thú n cna m®t

chuoi vơ han khi n là đn lón, sao cho nhung bài tốn này ton tai, theo

nghĩa bên ngồi cna mien này nó khơng h®i tu.

Bieu thúc cna khai trien tiắm cắn phu thuđc vo cỏch chon dóy tiắm

thỡ



cắn. Chang han, khi z → ∞

1

1

z+1

1

.

.



.

n=

z−1

z − 1 n= z2n

n

z

1

1





Trong các ví du này các khai trien ti¾m c¾n là các chuoi h®i tu. Hơn

nua, hai hàm có the có cùng khai trien ti¾m c¾n. Ví du neu

1



1

1

π − δ, vói 0 < δ <π;

2

− π + δ ≤ phz ≤ 2

2

hai hàm



1



1

,

+ e−z

z+1 z+1

có cùng khai trien ti¾m c¾n

.



n−1



(∞

−1)

zn

n=1

khi z → ∞, vì zn · e−z → 0 khi z → ∞ trong mien đã cho.

1.2.4. Chuoi lũy thNa ti¾m c¾n

Khái ni¾m ve chuoi lũy thNa ti¾m c¾n. Neu điem giói han z0

là huu han, ta có the dùng phép đoi bien thành điem giói han vơ

cùng



1



bói z∗

=



z−



. Chúng ta se giá thiet rang đieu này luôn đúng và chí



z0

xét nhung khai trien ti¾m c¾n khi z → ∞ trong góc α < phz < β; ho¾c

trong trưòng hop f (z) là m®t hàm so bien so thnc x, khi x → +∞

ho¾c



x → −∞.

Trưòng

.

.hop đơn gián nhat cna dãy khai trien ti¾m c¾n khi z → ∞ là

φ(z)

. Neu mđt hm f (z) cú mđt khai trien tiắm c¾n tương úng vói

n

z

dãy này, có nghĩa là f (z) ∼

.∞ an

φ(z)

. Đieu đó kéo theo

n=

n

z

0

f (z)







∼ . an

φ(z)

;

n=

0



chuoi sau cựng oc coi l mđt khai trien tiắm cắn tng ỳng vúi dóy

.

.

.

. 1

1

. Mđt khai trien tiắm cắn tng ỳng vúi dóy

oc goi l

n

z

zn

mđt chuoi ly thựa tiắm cắn.

Cỏc phép tốn vái chuoi lũy thNa ti¾m c¾n. Các chuoi ly thựa

tiắm cắn v cỏc chuoi ly thựa hđi tu có các tính chat tương tn nhau.

Các ket q chính đưoc trình bày dưói đây, trưóc het cho trưòng hop

bien thnc. Giá sú f (x) và g(x) có các khai trien ti¾m c¾n

∞.



. bn

an

f (x) ∼

, g(x) ∼

x

xn

n=0

n=0



n



khi x → +∞. Khi đó, ta có



.

Aan

(i) Af (x)

, vói A là m®t hang so.



n

n=0 x



.

an + bn

(ii) f (x) + g(x)

.



n

x

n=0

Các ket quá trên đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh nghĩa



.

cn

(iii)f (x).g(x)

, vói =

+a bn− +· ·



c

a 0b n 1 1

n

·+a

n

x



n−1b +a

n

1



b 0.



n=0



Th¾t v¾y, vói moi so ngun dương N ta có

a1

f (x) = a0

+

x

b1

g(x) = b0

+

x



.



aN



.



1



+· · +

+

,

N +1

O

x

·

xN

.

.

bN

1

+· · +

+

.

N +1

O

x

·

xN



Do đó, bang phép nhân thơng thưòng ta nh¾n đưoc

.

.

c1

cN

1

+

+

+

f (x).g(x) =

.

N +1

O· ·

x

c0 +

x ·

xN

Cũng tù đieu này moi lũy thùa nguyên dương cna f (x) có mđt

khai trien tiắm cắn l mđt chuoi ly thựa v vỡ vắy moi mđt a

thỳc cna f (x) cng cú mđt chuoi ly thựa tiắm cắn.

(iv) Neu a0 = 0 thì

1

f (x)



.

∼ 1

+

dn a ∞

x0n



khi x → +∞. Th¾t v¾y, trưóc het ta

thay

Tiep đó

.



.



1

f (x)







1



khi x → ∞.



a0



.



1

1

1

1

/

=

x





f (x)

x

a0 + (a1/x ) +

a0

a0

O(1/x2 )

a1

.

−a1 + O(1/x )

=

→− 2

a0 {a0 + (a1/x ) + O(1/x2 )}

0a



Tương tn



1



.



n=1



.



1



1



+



a1



.



1



a2 − a 0 a 2

f (x)









a0



a02x



/



1



x2



a30



và bang cách này các h¾ so dn có the đưoc xác đ%nh vói moi n ∈ N.

Tong quát hơn, moi hàm huu tý cna f (x) có m®t chuoi lũy thùa

ti¾m c¾n mien là mau so khơng tien tói 0 khi x → +∞.

(v) Neu f (x) là m®t hàm liên tuc khi x > a > 0 thì hàm

¸∞ ,

a1 ,

F (x) =

f (t) − a0 − dt

t

x



vúi x > a cú mđt chuoi ly thựa tiắm c¾n

a2

F (x)





khi x → +∞.



a1



Tù f (t) − a0





x



+



a3



an+1



+· ·

+

2x2 ·



nxn

·



+··

.



1



là m®t hàm liên tuc khi t > a và là O

t



.

khi



t2

t → +∞, tích phân cna F (x) ton tai vói x > a. Bói vì

∞.

1 ..

an

+O.

dt

F (x) = ¸m

.

tn

tm+1

n=2

x



nên vói moi so nguyên m ≥ 2, ta



m−1





m



F (x) =



.



.



.



.

.

+O 1 =



1

a



n+1



.



+O



an

n=2



xm



(n −

1)xn−1



n=1



nxn



xm



khi x → +∞ và ta có các ket quá sau

(vi) Neu f (x) là m®t hàm có đao hàm liên tuc f r(x) và f r(x)



m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n khi x → +∞, thì khai trien ti¾m c¾n cna

nó là



Vói giá thiet rang







.

f r(x) ∼ −

n=2

1)an−1

r



f (x)∼



(n − .

xn





.



b

n



n=0



x

n



khi x → ∞. Bây giò, tù f r(x) là liên tuc nên

y



¸



f



f (y) − f (x)



r



=



(t)dt



y



¸ .



y



x



= b0(y − x) + b1 log



f r(t) − b0



x



+



b







x



1.



dt.



t



Nhưng f (y) → a0 khi y → +∞





b



¸∞ .



1.



f r(t) − b0 −

x



là hàm liên tuc vì tích phân này là



dt

. Đieu đó suy ra rang b0 =



.

.



O b1 = 0 và



t



1



t2

¸∞ .

a0 − f (x)

=



f r(t) − b0

x



Tù (v), ta có







a0 − f (x) ∼



t∞

.b

n=1



khi x → +∞. Nhưng chúng ta biet rang



b



1.



dt.



n+



1



nxn







. an



.



n=1



Bói vì m®t khai trien chuoi lũy thùa ti¾m c¾n là duy nhat, nên ta có

bn+1 = −nan, nghĩa là





Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

M®t so ví dn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×