Tải bản đầy đủ - 16 (trang)
Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :

Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :

Tải bản đầy đủ - 16trang

II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biÓu thøc sau :


A = x + y + z
3
– x + y – z
3
– y + z – x
3
– z + x – y
3
. Lêi gi¶i
A = [x + y + z]
3
– [x + y – z]
3
– [z – x – y]
3
– [z + x – y]
3
= [x + y
3
+ 3x + y
2
z + 3x + yz
2
+ z
3
] – [x + y
3
– 3x + y
2
z + 3x + yz
2
– z
3
] – [z
3
– 3z
2
x – y + 3zx – y
2
– x – y
3
] – [z
3
+ 3z
2
x – y + 3zx – y
2
+ x – y
3
] = 6x + y
2
z – 6zx – y
2
= 24xyz
VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b a
2
≥ 4b. TÝnh giá trị của các biểu thức sau : a x
2
+ y
2
; b x
3
+ y
3
; c x
4
+ y
4
; d x
5
+ y
5
Lêi gi¶i a x
2
+ y
2
= x + y
2
– 2xy = a
2
– 2b b x
3
+ y
3
= x + y
3
– 3xyx + y = a
3
– 3ab c x
4
+ y
4
= x
2
+ y
2 2
– 2x
2
y
2
= a
2
– 2b
2
– 2b
2
= a
4
– 4a
2
b + 2b
2
d x
2
+ y
2
x
3
+ y
3
= x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
= x
5
+ y
5
+ x
2
y
2
x + y Hay : a
2
– 2ba
3
– 3ab = x
5
+ y
5
+ ab
2
⇒ x
5
+ y
5
= a
5
– 5a
3
b + 5ab
2
Chó ý : a
6
+ b
6
= a
2 3
+ b
2 3
= a
3 2
+ b
3 2
a
7
+ b
7
= a
3
+ b
3
a
4
+ b
4
a –
3
b
3
a + b = a
2
+ b
2
a
5
+ b
5
a –
2
b
2
a
3
+ b
3
VÝ dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a + b + ca
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca ; b a + b + c
3
– a
3
– b
3
– c
3
= 3a + bb + cc + a Lêi gi¶i
a a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a + b
3
+ c
3
– 3abc – 3a
2
b – 3ab
2
= a + b + c[a + b
2
– a + bc + c
2
] – 3aba + b + c = a + b + c [a + b
2
– a + bc + c
2
– 3ab] = a + b + ca
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca b a + b + c
3
– a
3
– b
3
– c
3
= [a + b + c
3
– a
3
] – b
3
+ c
3
= b + c[a + b + c
2
+ a + b + ca + a
2
] – b + cb
2
– bc + c
2
= b + c3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca = 3b + c[aa + b + ca + b] = 3a + bb + cc + a
VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2x
5
+ y
5
+ z
5
= 5xyzx
2
+ y
2
+ z
2
Lêi giải Vì x + y + z = 0 nªn x + y = –z
⇒ x + y
3
= –z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xyx + y = –z
3
⇒ 3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do ®ã : 3xyzx
2
+ y
2
+ z
2
= x
3
+ y
3
+ z
3
x
2
+ y
2
+ z
2
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
y
2
+ z
2
+ y
3
z
2
+ x
2
+ z
3
x
2
+ y
2
Mµ x
2
+ y
2
= x + y
2
– 2xy = z
2
– 2xy vì x + y = z. Tơng tự : y
2
+ z
2
= x
2
– 2yz ; z
2
+ x
2
= y
2
– 2zx. V× vËy : 3xyzx
2
+ y
2
+ z
2
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
x
2
– 2yz + y
3
y
2
– 2zx + z
3
z
3
– 2xy = 2x
5
+ y
5
+ z
5
– 2xyzx
2
+ y
2
+ z
2
Suy ra : 2x
5
+ y
5
+ z
5
= 5xyzx
2
+ y
2
+ z
2
đpcm 3
Bài tập: 1. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị cđa biĨu thøc : A = a
4
+ b
4
+ c
4
. 2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biÓu thøc :
B = x – 1
2007
+ y
2008
+ z + 1
2009
. 3. Cho a
2
– b
2
= 4c
2
. Chøng minh r»ng : 5a – 3b + 8c5a – 3b – 8c = 3a – 5b
2
. 4. Chøng minh r»ng nÕu:
5. x – y
2
+ y – z
2
+ z – x
2
= x + y – 2z
2
+ y + z – 2x
2
+ z + x – 2y
2
th× x = y = z. 6. a Chøng minh r»ng nÕu a
2
+ b
2
x
2
+ y
2
= ax + by
2
và x, y khác 0 thì a
b x
y = .
b Chøng minh r»ng nÕu a
2
+ b
2
+ c
2
x
2
+ y
2
+ z
2
= ax + by + cz
2
và x, y, z khác 0 thì a
b c
x y
z = = .
7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a 5x
3
+ y
3
+ z
3
x
2
+ y
2
+ z
2
= 6x
5
+ y
5
+ z
5
; b x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyzx
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
; c 10x
7
+ y
7
+ z
7
= 7x
2
+ y
2
+ z
2
x
5
+ y
5
+ z
5
. 8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a a + b + c
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= a + b
2
+ b + c
2
+ c + a
2
; b x
4
+ y
4
+ x + y
4
= 2x
2
+ xy + y
2 2
. 9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a
2
+ b
2
+ a + b
2
= c
2
+ d
2
+ c + d
2
. Chøng minh r»ng : a
4
+ b
4
+ a + b
4
= c
4
+ d
4
+ c + d
4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
. 11. Hai sè a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a – 17 = 0 vµ b
3
– 3b
2
+ 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 12. Cho a
3
– 3ab
2
= 19 vµ b
3
– 3a
2
b = 98. H·y tÝnh : E = a
2
+ b
2
. 13. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tính giá trị của các biÓu thøc sau : a x
3
+ y
3
; b x
4
+ y
4
; c x
5
+ y
5
; d x
6
+ y
6
; e x
7
+ y
7
; f x
8
+ y
8
; g x
2008
+ y
2008
.
4
3. Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5
6 d, 13
36 , 3
8 4 e,
3 18
, 8
7 f, 5
24 , 3
16 5 h, 8
30 7
, 2 5
12 k, 6 7
20 a x
x x
x b
x x
x x
c x x
x x
g x
x x
x i
x x
x x
− +
− +
− +
+ −
+ +

+
+ +


Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1
Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A
2
B
2
= A BA + B Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:
5
3 2
3 3
2 3
3 2
3 2
3 2
3 2
1, 5
8 4 2,
2 3
3, 5
8 4 4,
7 6
5, 9
6 16 6, 4
13 9
18 7,
4 8
8 8, 6
6 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− +
− +
− +
+ +
− +
− +
+ −
+ −
− −
+ −
− +
+
3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3 3
9, 6 486
81 10, 7
6 11,
3 2 12,
5 3
9 13,
8 17
10 14, 3
6 4
15, 2
4 16, 2 x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ −
− −
+ −
+ +
+ +
+ +
+ +
− −
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 4
3 2
12 17
2 17,
4 18, 3
3 2
19, 9
26 24 20, 2
3 3
1 21, 3
14 4
3 22, 2
1 x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x −
+ −
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
− −
+ +
+ +
+ +
2 2 2
2 2
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
2
1, 1 4 1
2, 8
36 3,
4 4, 64
5, 64 1 6, 81
4 7, 4
81 8, 64 9,
4 10, x
x x
x x
x x
x x
x y
x y
x x
+ −
− −
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + 1
2
D¹ng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phơng pháp đổi biến Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải a, Giả sử thay x bëi y th× P =
2 2
y y z y z y
− + −
=
Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P không đổita nói đa
thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z. Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x. Vậy P phải có dạng
P = kx yy zz x.Ta thấy k phải là hằng sốkhông chúa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích x yy – zz – x còng cã
bËc ba ®èi víi tËp hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
6
7 2
7 5
5 4
5 8
7 5
4 5
10 5
1, 1 2,
1 3,
1 4, 1
5, 1 6,
1 7,
1 8, 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4
4
1, 4
6 10 128 2,
1 2
3 4 24
3, 4
8 3
4 8 2 4,
4 4
12 5,
2 2
2 15 6,
2 3
4 7, 6
11 x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
xy y x
y x a x
a x a x
a a
x x
+ +
+ +
+ +
+ + −
+ +
+ + + +
+ +
+ − +
+ + +
− +
+ +
+ +

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 8, 3
2 9,
2 3
3 10 10,
2 9
18 20
11, 4
4 2
4 35 12,
2 4
6 8 16
x x
x x
x xy y
x y
x x
x x
x xy
y x
y x
x x
x +
+ +
+ + −
+ + − − +
+ +
+ −
+ − +
− +
+ +
+ +
4 3
2 2
2 2
2 2
1, 6
7 6
1 2,
x x
x x
x y
z x
y z xy
yz zx
+ +
− +
+ +
+ + +
+ +
2 2
2 2
2 2
, P = , Q =
a x y z
y z x z x y b
a b c a b c a b
c a b c a b c b c a c a b
− + − +
− + −
+ + −
+ + −
+ + − + −
+ −
2 2
2
x y z y z x z x y
k x y y z z x − +
− + − =
− −

®óng víi mäi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1 VËy P =- x – yy – zz – x = x yy zx - z
Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:
2 2
2
M a b c a
b c a b c a b c
a b c b c a c a b =
+ − +
+ − +
+ − + + −
+ − + −
2 2
2
N a m a
b m b c m c
abc =
− +
− +
− −
, víi 2m = a+ b + c.
B i 2:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2
2 2
2 2
3 2
3 2
3 2
3 3
3 2 2
. 2
2 .
. 1.
. a A
a b c ab bc ca abc
b B a a b
b a b c C ab a b
bc b c ac a c
d D a b a
b b c b
c c a c
a e E a c b
b a c c b a
abc abc f f
a b c b c a
c a b g G a b a b
= + + + +
− =
+ −
+ =
+ − + +
− = +
− + +
− + +
− =
− +
− +
− +
− =
− +
− +
− =

2 2 2 2
4 4
4
. .
b c b c a c c a
h H a b c
b c a c a b
+ − +
− =
− + − +

V-Phong ph¸p hƯ số bất định
B i 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3
2 4
3 2
2 2
4 3
2 4
6 12
14 3
4 4
5 2
1 3
22 11
37 7
10 7
14 7
1 8
63 a A x
x x
x b B
x x
x x
c C x
xy x
y y
d D x x
x x
e E x x
= −
+ −
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ +
= −
+ −
+ =
− +
Bài tập: Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3a
2
+ b
2
x + 2a
3
+ b
3
Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, th× a
2
+ b
2
=
2
S 2P
- ; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP
- . V× vËy :
A = x
3
– 3
2
S 2P
- x + 2
3
S 3SP
- =
3 3
2 3
x S 3S x 3S 6Px 6SP
- -
- +
- =
2 2
2
x Sx Sx S 3S x S 6Px S
- +
+ -
- +
- =
2 2
x Sx Sx 2S
6P -
+ -
+ = x – a – b[x
2
+ a + bx – 2a + b
2
+ 6ab] = x – a – b[x
2
+ a + bx – 2a
2
7
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a x
3
+ 4x
2
– 29x + 24 ; b x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1 ; c x
2
– x + 2
2
+ x – 2
2
; d 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ; e x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1. f x
8
+ x
4
+ 1; g x
10
+ x
5
+ 1 ; h x
12
+ 1 ; i x + y + z
3
– x
3
– y
3
– z
3
; k x + y + z
5
– x
5
– y
5
z
5
.
4. Chuyên đề: Xác định đa thức
Định lí Beout BêZu và ứng dụng: 1 Định lí BêZu:
D trong phép chia đa thức fx cho nhị thức x - a bằng fa giá trị của fx tại x = a:
a f
x q
a x
x f
+
=
Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc fx thì fx chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh sau:
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của fx không.
Bớc 2: Nếu fa = 0, theo định lí BêZu ta có:
x p
a x
x f
=
Để tìm px thùc hiƯn phÐp chia fx cho x - a. Bíc 3: Tiếp tục phân tích px thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau
đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí. Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ sốphơng pháp hệ số
bất định, phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức. Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức Px và Qx bằng nhau: Px = Qx thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ sè b»ng nhau.
VÝ dô:
3 2
2
− +
= bx
ax x
P
;
p x
x x
Q −
− =
4
2
NÕu Px = Qx th× ta cã: a = 1hƯ sè cđa lòy thõa 2
2b = - 4 hƯ sè cđa lòy thõa bËc 1 - 3 = - p hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do
Phơng pháp2: Cho hai đa thức Px và Qx thỏa mãn deg Px deg Qx Gọi thơng và d trong phép chia Px cho Qx lần lợt là Mx và Nx
Khi đó ta có:
. x
N x
M x
Q x
P +
=
Trong đó: deg Nx deg Qx I Vì đẳng thức I đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :
=
x
là hằng số. Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị
chia, số d.
8
Ví dụ: Bài 1Phần bài tập áp dụng Gọi thơng của phép chia Ax cho x + 1 lµ Qx, ta cã:
. 1
2 6
3
2 3
2
x Q
x a
x ax
x a
+ =
− −
+
. Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:
 
 =
− =
⇒ =
+ +
− ⇒
= −
+ +
− 3
2 6
2 6
3
2 2
a a
a a
a a
a
Với a = -2 thì
4 10
4 ,
4 6
6 4
2 2
3
+ −
= +
− −
= x
x x
Q x
x x
A
Với a = 3 thì
6 9
, 6
6 9
9
2 2
3
− =

+ =
x x
Q x
x x
A
Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức nh SGK Bài tập áp dụng
B i 1: à
Cho đa thức
2 3 2
3 6
2 A x
a x ax
x a a Q
= +
− −

. X¸c định a sao cho Ax chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
2 4
P x x
x x
=

thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
2
2 x
dx +
+
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
b x
ax x
+ +
+ 2
2 3
chia hết cho đa thức:
1
2
+ +
x x
. Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k ®Ĩ ®a thøc:
k x
x x
x x
f +
+ +
− =
2 3
4
21 9
chia hÕt cho ®a thøc:
2
2
− −
= x
x x
g
.
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức:
15 2
2 3
+ +
= k
k k
f
chia hết cho nhị thức:
3 +
= k
k g
.
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức:
b ax
x x
x x
f +
+ +
− =
2 3
4
3 3
chia hết cho đa thức:
4 3
2
+ −
= x
x x
g
.
Bài 7: a Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức:
c bx
ax x
x P
+ +
+ =
2 4
Chia hết cho
3
3 −
x
. b Xác định các giá trị của a, b để đa thức:
2 3
7 6
2 3
4
+ +
+ −
= x
ax x
x x
Q
chia hết cho đa thức
b x
x x
M +
− =
2
. c Xác định a, b để
a x
x x
x P
+ −
+ =
8 5
2 3
chia hết cho
b x
x x
M +
+ =
2
.
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: Để học tốt Đại số 8
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:
a
a x
x +
− 7
10
2
chia hết cho
3 2
− x
. b
1 2
2
+ +
ax x
chia cho
3 −
x
dư 4. c
9 5
4 5
− +
x ax
chia hết cho
1 −
x
.
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a
b ax
x +
+
2 4
chia hết cho
1
2
+ −
x x
. b
50 5
2 3
− +
+ x
bx ax
chia hết cho
10 3
2
+ +
x x
. c
1
2 4
+ +
bx ax
chia hết cho
2
1 −
x
. d
4
4
+ x
chia hết cho
b ax
x +
+
2
.
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho
b ax
x +
+
3
chia cho
1 +
x
thì dư 7, chia cho
3 −
x
thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho
c bx
ax +
+
2 3
chia hết cho
2 +
x
, chia cho
1
2
− x
thì dư
5 +
x
. 9
2 3
c x
b x
a x
c bx
ax x
− −
− =
− +

Một số vấn đề phát triển Đại số 8 Bài 13: Cho đa thức:
b ax
x x
x x
P +
+ −
+ =
2 3
4

2
2
− +
= x
x x
Q
. Xác định a, b để Px chia hết cho Qx.
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức
1
3 4
+ +
= bx
ax x
P
chia hết cho đa thức
2
1 −
= x
x Q
Bài 15: Cho các đa thức
2 3
7
2 3
4
+ +
+ −
= x
ax x
x x
P

b x
x x
Q +
− =
2
. Xác định a và b để Px chia hết cho Qx.
23 chuyên đề toán sơ cấp Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp: Để tìm đa thức Px bậc khơng q n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1
điểm
1 3
2 1
, ,
, ,
+ n
C C
C C

ta có thể biểu diễn Px dưới dạng:
2 1
2 1
2 1
1 n
n
C x
C x
C x
b C
x C
x b
C x
b b
x P
− −
− +
+ −
− +
− +
= 

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1 3
2 1
, ,
, ,
+ n
C C
C C

vào biểu thức Px ta lần lượt tính được các hệ s
n
b b
b b
, ,
, ,
2 1

. Bài tập áp dụng
Bi 1: Tìm đa thức bậc hai Px, biết:
9 2
, 7
1 ,
25 −
= =
= P
P P
.
Giải
Đặt
1
2 1
− +
+ =
x x
b x
b b
x P
1 Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào 1 ta được:
1 1
. 2
. 2
. 18
25 9
18 25
7 25
2 2
1 1
= ⇔
+ −
= −
− =
⇔ +
= =
b b
b b
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
25 19
1 18
25
2
+ −
= ⇔
− +
− =
x x
x P
x x
x x
P
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 Px, biết:
1 3
, 4
2 ,
12 1
, 10
= =
= =
P P
P P
Hướng dẫn: Đặt
2 1
1
3 2
1
− −
+ −
+ +
= x
x x
b x
x b
x b
b x
P
1 Bài 3: Tìm đa thức bậc ba Px, biết khi chia Px cho
3 ,
2 ,
1 −
− −
x x
x
đều được dư bằng 6 và P-1 = - 18. Hướng dẫn: Đặt
3 2
1 2
1 1
3 2
1
− −
− +
− −
+ −
+ =
x x
x b
x x
b x
b b
x P
1 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn Px, thỏa mãn:
1 ,
1 2
1 1
1 +
+ =
− −
= −
x x
x x
P x
P P
a Xác định Px. b Suy ra giá trị của tổng
, 1
2 1
5 .
3 .
2 3
. 2
. 1
N n
n n
n S
∈ +
+ +
+ +
= 
.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào 1, ta được :
36 2
5 .
3 .
2 1
2 6
1 3
. 2
. 1
1 1
, 2
2 1
= ⇔
= −
= ⇔
= −
= ⇔
= −
− =
− ⇔
= −
− −
P P
P P
P P
P P
P P
P P
Đặt
2 1
1 1
1 1
1
4 3
2 1
− −
+ +
− +
+ +
+ +
+ =
x x
x x
b x
x x
b x
x b
x b
b x
P
2 Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào 2 ta được:
10
2 1
4 3
2 1
3 2
1 .
3 2
1 .
3 3
1 .
2 .
3 .
2 .
3 .
3 36
, 3
1 .
2 .
6 ,
4 4
3 3
2 2
1 1
= ⇔
− −
− −
+ −
− −
+ −
− =
= ⇔
+ =
= ⇔
= =
⇔ =
=
b b
b b
b b
b b
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1
1 3
1 3
2
+ +
= −
− +
+ −
+ +
+ =
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x P
Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS Bài 5: cho đa thức
, ,
,
2
≠ +
+ =
c b
a c
bx ax
x P
. Cho biết
6 3
2 =
+ +
c b
a
1 Tính a, b, c theo
1 ,
2 1
, P
P P
 
 
 
. 2 Chứng minh rằng:
1 ,
2 1
, P
P P
 
 
 
không thể cùng âm hoặc cùng dương.
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:
1985 2
85 1
19 =
= =
P P
P
5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 1.
a Chứng minh rằng phân số 3n 1
5n 2
+ +
là phân số tối giản
n
N ; b Cho ph©n sè
2
n 4
A n 5
+ =
+ n
∈ N. Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn
2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải a Đặt d = ƯCLN5n + 2 ; 3n + 1
35n + 2 – 53n + 1  d hay 1  d
⇒ d = 1.
VËy ph©n sè 3n 1
5n 2 +
+ là phân số tối giản.
b Ta có 29
A n 5
n 5 = -
+ +
. §Ĩ A cha tèi giản thì phân số 29
n 5 +
phải cha tối giản. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong các ớc dơng lớn hơn 1
của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29
⇒ n + 5 =29k k
∈ N hay n=29k 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k – 5 2009 11
⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k
∈ {1; 2;…; 69}
VËy cã 69 sè tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 291 + 2 + … + 69 – 5.69 = 69690.
VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn
1 1
1 1
a b
c a
b c
+ + = + +
. Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng :
2009 2009
2009 2009
2009 2009
1 1
1 1
a b
c a
b c
+ +
= +
+ .
Lêi gi¶i Ta cã :
1 1
1 1
a b
c a
b c
+ + = + +
⇔ 1
1 1
1 a
b c
a b
c + + -
= + +
⇔ a
b a
b ab
ca b
c +
+ +
= + +
⇔ ca
b c ab
a b.
abca b
c + + +
+ =
+ +
⇔ a + bb + cc + a = 0
⇔ a
b b
c c a
é + = ê
ê + = ê
ê + = ë
⇔ a
b b
c c
a é =-
ê ê =-
ê ê =-
ë ⇒
®pcm.
Tõ ®ã suy ra :
2009 2009
2009 2009
2009 2009
2009
1 1
1 1
1 1
1 a
b c
a c
c a
+ +
= +
+ =
-
2009 2009
2009 2009
2009 2009
2009
1 1
1 a
b c
a c
c a
= =
+ +
+ - +

2009 2009
2009 2009
2009 2009
1 1
1 1
a b
c a
b c
+ +
= +
+ .
VÝ dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3
3 4
2 2
5
1 1
1 3
1 1
6 1
1 A
a b a
b a
b a b
a b a
b ổ
ử ổ
ử ổ
ử ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ỗ =
+ +
+ +
+ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ỗ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ỗ ố
ứ ố
ứ ố
ứ +
+ +
. Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= a + b
2
– 2ab =
2
S 2P
- a
3
+ b
3
= a + b
3
– 3aba + b =
3
S 3SP
- .
Do ®ã : 1
1 a
b S
; a
b ab
P +
+ = =
2 2
2 2
2 2 2
2
1 1
a b
S 2P
; a
b a b
P +
- +
= =
3 3
3 3
3 3 3
3
1 1
a b
S 3SP
. a
b a b
P +
- +
= =
Ta cã : A =
3 2
3 3
4 2
5
1 S 3SP
3 S 2P
6 S .
. .
S P
S P
S P -
- +
+ =
2 2
4 2
2 2
2 4
2 3
4 2
4 4
3 4
3
S 3P
3S 2P
6 S
3S P 3S P 6P 6P S
S P S P
S P S P
S P -
- -
+ -
+ +
+ =
=
12
Hay A =
3 3 3
1 1
. P
a b =
VÝ dô 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
sau không phụ thuộc vào giá trị của x : x ax b
x bx c x cx a
Sx c ac b
a ba c b cb a
- -
- -
- -
= +
+ -
- -
- -
- .
Lời giải Cách 1
2 2
2
x a
bx ab x
b cx
bc x
c ax ca
Sx c ac b
a ba c b cb a
- +
+ -
+ +
- +
+ =
+ +
- -
- -
- -
= Ax
2
– Bx + C víi :
1 1
1 A
c ac b a ba c
b cb a =
+ +
- -
- -
- -
; a
b b
c c a
B c ac b
a ba c b cb a
+ +
+ =
+ +
- -
- -
- -
; ab
bc ca
C c ac b
a ba c b cb a
= +
+ -
- -
- -
- Ta cã :
b a c b
a c A
a bb cc a -
+ - + -
= =
- -
- ;
a bb a b
cc b c aa c B
a bb cc a +
- + +
- + +
- =
- -
-
2 2
2 2
2 2
b a
c a
a c
a bb cc a -
+ - + -
= =
- -
- ;
abb a bcc b caa c abb a bc[c a a b] caa c
C a bb cc a
a bb cc a -
+ -
+ -
- +
- + -
+ -
= =
- -
- -
- -
a bbc ab c abc ca a bb cc a
1 a bb cc a
a bb cc a -
- + -
- -
- -
= =
= -
- -
- -
- .
Vậy Sx = 1
x đpcm. Cách 2
Đặt Px = Sx 1 thì đa thức Px là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, Px chỉ cã tèi ®a hai nghiƯm.
NhËn xÐt : Pa = Pb = Pc = 0 ⇒
a, b, c lµ ba nghiƯm phân biệt của Px. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi Px là đa thức không, tức là Px = 0
∀ x.
Suy ra Sx = 1 ∀
x ⇒
®pcm. VÝ dơ 9. Cho
1 x
3 x
+ = . TÝnh gi¸ trị của các biểu thức sau : a
2 2
1 A
x x
= +
; b
3 3
1 B
x x
= +
; c
4 4
1 C
x x
= +
; d
5 5
1 D
x x
= +
. Lời giải
13
a
2 2
2
1 1
A x
x 2
9 2 7
x x
ổ ử
ữ ç
= +
= + -
= - =
÷ ç
÷ çè
ø ;
b
3 3
3
1 1
1 B
x x
3 x 27 9 18
x x
x ỉ
ư ỉ
ư ữ
ữ ỗ
ỗ =
+ = +
- +
= -
= ữ
ữ ỗ
ỗ ữ
ữ ç
ç è
ø è
ø ;
c
2 4
2 4
2
1 1
C x
x 2
49 2 47
x x
ổ ử
ữ ỗ
= +
= +
- =
- =
ữ ỗ
ữ ỗố
ứ ;
d
2 3
5 2
3 5
1 1
1 1
A.B x
x x
x D 3
x x
x x
ổ ửổ
ử ữ
ữ ỗ
ỗ =
+ +
= + + +
= + ữ
ữ ỗ
ỗ ữ
ữ ỗ
ỗ ố
ứố ứ
D = 7.18 3 =
123.
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax
b c
x 1x 1
x 1
x 1 +
= +
+ -
+ -
. Lêi gi¶i
Ta cã :
2 2
2 2
2
ax b
c ax
bx 1 cx 1
a cx
b ax c b x
1 x 1
x 1x 1
x 1x 1
+ +
- +
+ +
+ - + -
+ =
= +
- +
- +
- §ång nhất phân thức trên với phân thức
2
2 x
1x 1 +
- , ta đợc :
a c
a 1
b a b
1 c b
2 c 1
ì ì
+ = =-
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
- = Û
=- í
í ï
ï ï
ï -
= =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
. VËy
2 2
2 x 1
1 x
1x 1 x
1 x 1
- - =
+ +
- +
- .
6. Chuyên đề: Giải phơng trình
IPhng trình ax+b=0 1 và phương trình đưa về dạng 1 Cách giải: Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng
ax+b=0
14
TH1:a=0 nếu b

0 thì phương trình 1vơ nghiệm nếu b=0 thì phương trình 1 vơ số nghiệm
TH2:a

0 thì phương trình 1 có nghiệm duy nhất x=
b a

Ví dụ: a3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 biến đổi và chuyển về một vế
b2: -4x+12=0 rút gọn về dạng ax+b=0
b3: x=
12 3
4 − =

b1,2-x-0,8= -20,9+x

1,2-x+0,8+1,8+2x=0

x+3,8=0

x= -3,8
Các bài tập tương tự:
a7x+21=0 b12-6x=0
c5x-2=0 d-2x+14=0
e0.25x+1,5=0 f6,36-5,3x=0
g
4 5
1 3
6 2
x − =
h
5 2
1 10
9 3
x x
− + =

i11-2x=x-1 k5-3x=6x+7
l2x+1=3+2x m21-1,5x+3x=0
n2,3x-20,7+2x=3,6-1,7x o3,6-0,52x+1=x-0,252-4x
p32,2-03x=2,6+0,1x-4 q
3 1 2
6 5
3 x
x −
− = −
v
3 13
2 5
5 5
x x
 
 
+ = −
+ 
÷ 
÷ 
 

w
3 2
3 2 7
5 6
4 x
x −
− +
− =
s
7 20
1,5 5
9 8
6 x
x x
+ −
− =
y
5 1 2 7
1 22 1
5 6
4 7
x x
x − +
− +
− =

IIPhương trình tích: Cách giải: Pt:A.B=0
⇒ A
B =
  =

A=0 1 B=0 2 Ta có pt 1,2 là phương trình bậc nhất cách giải tương
tự phần trên Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng
cách phân tích thành nhân tử
Ví dụ:
a4x-1024+5x=0
⇔ 4
10 0 1 24 5
0 2 x
x − =
  + =

15
Từ 1 x=
10 5
4 2
=
2

x=
24 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=
10 5
4 2
=
hoặc x=
24 5

bx-15x+3=3x-8x-1

x-15x+3-3x-8x-1=0

x-12x+11=0
⇔ 1 0
1 11
2 11 0
2 x
x x
x − =
⇔ = 
 −
 + = ⇔ =

Các bài tập tương tự:
a3,5-7x0,1x+2,3=0 b3x-2
2 3 4
3 7
5 x
x +
− 
 −
= 
÷ 

c3,3-11x
7 2 21 3
5 3
x x
+ −
 
+ =
 ÷
 
d
3 52
2 1 0 x
x −
+ =
e
2 7
10 3 0 x
x −
+ =
f
2 3 52,5
2 0 x
x −
+ =
g3x25x+15-355x+3=0 h2-3xx+11=3x-22-5x
i2x
2
+14x-3=2x
2
+1x-12 k2x-1
2
+2-x2x-1=0 lx+23-4x=x
2
+4x+4 mx-1x
2
+5x-2-x
2
-1=0 nx
3
+1=xx+1 0x
2
+x=2 11x-7=4 px
3
+x
2
+x+1=0 qx
2
-3x+2=0 r4x
2
-12x+5=0 s-x
2
+5x-6=0 t2x
2
+5x+3=0 y
2
2 3
2 0 x
x
− +
− =
16

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :

Tải bản đầy đủ ngay(16 tr)

×