Tải bản đầy đủ - 44 (trang)
BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Tải bản đầy đủ - 44trang

Ta có:
2 3
4
1 1
1 1.2
1 1.2.3
1; ;
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
 
 
 
= − =
= 
÷ 
÷ 
÷ −
− −
− −
− 
 
 
 Ta dự đốn y
n
= -1
n
1
2
n
n x
+
− . Ta chứng minh bằng quy nạp.
Từ 1 suy ra đúng khi n = 1 Giả sử đúng với n = k, ta có
1
1 1
2 2
2
k k
k
k x
x
+
  = −
 ÷
− −
 
Ta chứng minh đúng với n = k+1 Lấy đạm hàm hai vế của 2 ta đượC:
1 1
1 1
2 2
2 2
1 [
2 ] 1
2 1
1 2
2 2
k k
k k
k k
k
k x
k k x
x x
x
+ +
+ +
+ +
− +
− 
 = −
= − 
÷ −
− −
 
=
1 2
1 1
2
k k
k x
+ +
+ −
− Vậy với mọi n
∈ , ta có:
1
1 1
2 2
n n
n
n x
x
+
  = −
 ÷
− −
 

III. BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:


a.
2 2
1
4 3
lim 3
2
x
x x
x x

− +
− + b.
2 lim
1 3
x
x
→−∞
− 2. Tính các giới hạn sau:
a.
2 2
3 2
lim 2 2
x
x x
x

− + + −
b.
3 3
5 2 lim
3 4
x
x x
x
→−∞
− + −
c.
2
lim 3
4 3
x
x x
x
→+∞
+ − − d.
2
lim 1
x
x x
x
→+∞
+ − 3. Tìm các giới hạn sau:
a.
2
7 lim
2
x
x x
+
→−
− +

2
7 lim
2
x
x x

→−
− +
b.
3 1
2 11
lim 1
x
x x

→−
+ +

3 1
2 11
lim 1
x
x x
+
→−
+ +
4. Cho hàm số fx =
3
1 3
1 1
2 x
x mx
 −
 −
− 
 +
 Với giá trị nào của m, hàm số fx có giới hạn khi x
→ 0.Tìm giới hạn đó.
5. Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau: a. fx =
2
6 x
x + −
;
Trang 22
nếu nếu
nếu
nếu nếu
nếu
b. gx = 2
1 6
sin 6
2 2
2 x
x x
x x
x π
π π
π π
 + ≤
 
 
 

6. Tìm số thực a sao cho hàm số fx = sin
3 3
3 x
x ax
x π
π 
 
 −
≥ 
liên tục tại x = 3
π 7. Chứng minh rằng phương trình x
3
– 10x
2
– 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 8. Chứng minh rằng phương trình m
2
+ m +1x
5
+ x
3
– 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m
9. Cho hàm số y =
2
2 x
x x
+ −
C a. Hãy tính bằng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại x = 1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A1; -2 10. Chứng minh rằng hàm số fx =
2 2
1 1
x neu x
x neu x
 − ≥
 
+ 
liên tục tại x = 0 nhưng khơng có đạo hàm tại x = 0
11. Tìm vi phân của các hàm số: a. y =
2 1
x x
+ −
b. y = tan x
x 12. Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001
a. cos61 b. tan 44
c. 16, 02 13. Cho y = x
2
sinx. Tìm y
4
. 14. Chứng minh rằng:
sin sin
2
n
x x n
π 
 =
+ 
÷ 
 n
∈ 
cos cos
2
n
x x n
π 
 =
+ 
÷ 
 n
∈ 
CHỦ ĐỀ 4: PHÉP DỜI HÌNH
Trang 23
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG


1. Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là với hai điểm M, N tuỳ ý và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta ln có M’N’ = MN.
2. Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình. 3. Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình F và G ta được một phép dời hình. Phép dời hình này
được gọi là hợp thành của F và G 4. Phép dời hình:
a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
c. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến gốc thành góc bằng nó. d. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
5. - Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngồi tiếp của tam giác ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’. - Phép dời hình biến một đa giác n cạnh
H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H
thành các đỉnh của
H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’… 6. Hai hình được gọi là bằng nhau khi có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 7. Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k k 0, nếu với hai điểm M, N bất kì và
ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta ln có M’N’ = kMN. 8.
a. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1 b. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|
c. Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép
đồng dạng tỉ số pk. 9. Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k. Nó
cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình. 10. Phép đồng dạng tỉ số k:
a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R.
Trang 24
11. - Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến
trọng tâm, trực tâm,tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.
- Phép đồng dạng biến một đa giác n cạnh
H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh
của
H thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’… 12. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành
hình kia. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phép dời hình biến ba điểm O, A, B lần lượt thành O’, A’, B’ thì ta có:
a. .
. O A O B
OA OB =
uuuuur uuuuur uuur uuur b.
O B tO A
OB tOA =
⇔ =
uuuuur uuuuur
uuur uuur
, với t là một số tuỳ ý. Sử dụng cơng thức: AB
2
=
2
AB uuuur
Giải
a. Vì O’A’ = OA.O’B’=OB,A’B’=AB và AB
2
=
2
AB uuuur
nên ta có: A’B’
2
= AB
2

2 2
A B AB
= uuuuuur uuuur

2 2
O B O A
OB OA −
= −
uuuuur uuuuur uuur uuur

2 2
2 2
2 . 2
. O B
O B O A OB
OB OA OA −
= −
+ uuuuuur
uuuuuur uuuur uuuur
uuuuur uuur uuur

2
2 . .
O B O A O B
OA OB −
= uuuuuur
uuuuur uuuuur uuur uuur b.
Từ câu a và định nghĩa ta có: O B
tO A O B
tO A =
⇔ −
= uuuuur
uuuuur uuuuur
uuuuur r ⇔
2
O B tO A
− =
uuuuur uuuuur

2 2
2
2 .
O B tO B O A t O A
− +
= uuuuuur
uuuuur uuuuur uuuuur

2 2
2
2 .
OB tOB OA t OA
− +
= uuuur
uuur uuur uuur
⇔ OB tOA
− =
uuur uuur r
⇔ OB tOA
= uuur
uuur
Bài 2: Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng Để chứng minh hình
H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta chứng minh rằng:
M ∈
H ⇔
M’ = FM ∈
H’
M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tồn tại t ∈
, sao cho AM t AB =
uuuur uuur
Giải:
Cho đường thẳng d và phép dời hình F. Lấy A, B phân biệt thuộc đường thẳng d, gọi A’ = FA, B’ = FB. Khi đó vì A’B’ = AB nên A’ và B’ phân biệt. Ta sẽ chứng minh rằng Fd là
đường thẳng A’B’. Lấy điểm M thuộc d, gọi M’ = FM. Áp dụng câu b của bài 1, ta có:
Trang 25
M ∈
d ⇔
AM t AB =
uuuur uuur
, - ∞
t + ∞
⇔ A M
t A B =
uuuuuur uuuuur
, - ∞
t + ∞
⇔ M’ thuộc đường thẳng A’B’.
Vậy Fdlà đường thẳng A’B’. Bài 3: Cho hình vng ABCD. Gọi I là tâm đối xứng của nó
và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA như hình 4.1. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau.
Để chứng minh hai hình bằng nhau ta chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Giải:
Phép quay tâm I góc 90 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường trung trực
của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thanh AEID và FBEH bằng nhau.
Bài 4: Trên một vùng đồng bằng có ba thành phố A, B, C
tạo thành một tam giác nhọn như hình 4.2. Người ta muốn tìm một vị trí I ở trong tam giác ABC để xây dựng
một sân bay chung cho cả ba thành phố đó sao cho tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm của ba thành phố đó
là ngắn nhất. Để giải các bài tốn tìm điểm sao cho tổng các
khoảng cách từ đó đến một số điểm cho trước là ngắn nhất ta thường dùng các phép dời hình thích hợp để nối các đoạn thăẳg đang xét lại thành một
đường gấp khúc. Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng.
Giải
Bài toán thực tiễn trên được đưa về bài tốn hình học sau: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm I nằm trong tam giác đó sao cho IA + IB + IC
Lâấ điểm I nằm trong tam giác ABC. Phép quay tâm B góc 60 biến I thành J và biến A thành
A’. Để ý rằng BI, BJ = 60
, BA’, BA = -60 .
Ta có: BI, BA=BI,BJ+BJ,BA’+BA’,BA=BJ, BA’
Do đó tam giác BIA bằng tam giác BIA’ c-g-c Từ đó suy ra A’J = AI
Do đó IA + IB + IC = A’J + JI + IC ngắn nhất khi A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I và I giữa JC.
Khi đó: ·
120 BIC
= ; ·
· 120
AIB BJA =
= Vậy I nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới góc 120
. Để xác định điểm I ta dựng ảnh A’ của A qua phép quay tâm B góc 60
. Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều và BI, BJ=60
. Ta sẽ chứng minh I là điểm cần tìm.
Vật vậy, do ·ABC nhọn nên 0 BC, BA’ 180 .Do đó A’ và A cùng phía với nhau đối với
đường thẳng BC. Tương tự A’ và B cùng phía với nhau đối với đường thẳng AC. Do đó đường Trang 26
Hình 4.1 H
D G
C F
I B
E A
C I
J B
A A
Hình 4.2
J
C I
B A
A
Hình 4.3
Hình 4.4 C
A
B I
D E
thẳng A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB. Do · CBA 60
và · ABA = 60
nên I phải nằm trong tam giác ABC. Khi đó dễ thấy A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I, I ở giựa JC và IA
+ IB + IC = A’J + JI + IC = A’C nên nó ngắn nhất. Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn
C đường kính BC như hình 4.4. Dựng về phía ngồi của
tam giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D. Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A chạy trên nửa đường tròn
C.
Để có thể dùng phép biến hình giải các bài tốn tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định.
Giải:
Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = BA. Do BA, BE = 45 nên có thể em E là ảnh của A
qua phép quay tâm B góc 45 . Ta lại có:
2 2
4 4
BA BI
BI BE
BA BA
= =
= Do đó:
2 4
BI BE
= uur
uuur
Vậy I là ảnh của E qua phép vị tự tâm B tỉ số 2
4 . Khi đó I là ảnh của A qua phép đồng
dạng F là hợp thành của phép quay tâm B góc 45 và phép vị tự tâm B tỉ số
2 4
. Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn

C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng


F. III. BÀI TẬP:
1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến.
2. Chứng minh rằng phép dời hình biến một tia thành một tia. 3. Cho hai hình vng ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’ như hình 4.5. Tìm một phép dời
hình biến hình vng ABCD thành hình vng A’B’C’D’.
D C
B A
D C
B A
Hình 4.5
4. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE. Dựng hình bình hành DCEF. Chứng minh AEF là tam giác đều.
5. Cho hai hình vng ABCD và AEFG như hình 4.6. Gọi I, J, L, M lần lượt là trung điểm của BD, DE, EG, GB. Chứng minh rằng tứ giác IJLM là hình vng.
Trang 27
6. Cho đường tròn
C và điểm A nằm ngồi đường tròn.
Với mỗi điểm B thuộc

C, dựng hình vng ABCD sao cho


nếu đi dọc các cạnh theo chiều ABCD thì ln thấy hình vng ở bên trái như hình vẽ 4.7. Chứng minh rằng B chạy
trên
C thì C và D cũng chạy trên những đường tròn cố
định. 7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường tròn O khơng
có điểm chung với đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên đường tròn O trọng tâm tam giác ABC cũng chạy trên một đường tròn cố định.
8. Cho dây cung AB độ dài khơng đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên O. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một
đường tròn cố định.
Trang 28
Hình 4.7 B
A C
D
Hình 5.1 d
α d
α α
d A
d
α
α ≡
β d
β β
Hình 5.2 α
β α≡β
α α
CHỦ ĐỀ 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHƠNG GIAN

I. TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Tải bản đầy đủ ngay(44 tr)

×