Tải bản đầy đủ - 44 (trang)
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Tải bản đầy đủ - 44trang

• fx liên tục trên [a; b]
⇔ lim
; lim
x a
x b
f x f a
f x lien tuc tren a b f x
f b
+



= 
 
 =

5. Định lí: a. Các hàm số đa thức liên tục trên . Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định.
b. Nếu fx liên tục trên [a; b] và fa. fb 0 thì tồn tại điểm c ∈
a; b sao cho fc=0 tứ là phương trình fx=0 có nghiệm trong khoảng a; b .

C. ĐẠO HÀM 6. Định nghĩa và ý nghĩa:


• Cho hàm số y = fx xác định trên khoảng a; b và x
∈ a; b. Nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn: lim
x x
f x f x
x x

− −
Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = fx tại điểm x và kí hiệu f’x
hoặc y’x
, tức là f’x =
lim
x x
f x f x
x x

− −
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại Mx
; fx là:
y – y = f’x
x – x ; y
= fx .
• Vi phân của hàm số fx tại x ứng với
∆ x là dy = dfx = f’xdx
• Cơng thức tính gần đúng: fx
+ ∆
x ≈
fx + f’x
∆ x
• Nếu hàm số y = fx có đạo hàm tại mọi x
∈ a; b thì hàm số x
→ f’x được gọi là đạo
hàm của fx trên a; b. •
Nếu f’x có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của fx. Kí hiệu: f’x’ = f’’x
Tương tự đối với f’’’x , …., f
n
x, …

7. Công thức:


c’ = 0 c là hằng số
x
n
’ = n.x
n – 1
n ∈
, x ∈
; 1
2 x
x x
= sinx’ = cosx; cosx’ = - sinx
2 2
1 1
tan ;
cot ;
cos sin
x x
x x
− =
= ku + lv’ = ku’ + lv’ k, l là hằng số
uv’ = u’v + uv’
2
u u v uv
v v
v −
  = ≠
 ÷  
y
x
= y
u
. u
x
y = yu, u = ux

II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:


Trang 17
Bài 1: Xác định dạng vơ định và tính các giới hạn sau:
a.
2 3
2
2 lim
8
x
x x
x
→−
+ − +
; b.
2 2
3 4 1
lim 5
2
x
x x
x
→−∞
+ +
+ +
c. 3
1 1
lim 2 2
x
x x

 
− 
÷ +
 
d.
2
lim 1
x
x x
x
→+∞
+ + −
Giải
a. Dạng
2 3
2 2
2 2
2
2 1
2 1
3 1
lim lim
lim 8
2 2
4 2
4 12 4
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
→− →−
→−
+ − −
+ −
− =
= =
= − +
+ −
+ −
+ b.
Dạng ∞

2 2
2 2
3 1
4 1
3 4 1
lim lim
2 5
2 5
x x
x x
x x
x x
x x
→−∞ →−∞
 
+ + +
 ÷
+ +
+ 
 =
+ 
 +
 ÷
 
=
2 2
3 1
4 1
3 lim
2 5
5
x
x x
x
→−∞
 
+ + +
 ÷
  = −
 
− + 
÷ 
 c.
Dạng 0. ∞
3 1
1 3[2
2] 3
3 lim
lim lim
2 2 2
2 2
2 4
x x
x
x x x
x x x
→ →

− + −
 
− =
= = −
 ÷
+ +
+ 
 d.
Dạng ∞
- ∞
2 2
2 2
2
1 1
1 lim
1 lim
lim 1
1 1
1
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
→+∞ →+∞
→+∞
 
+ 
÷ + + −
 
+ + − = =
 
+ + + + +
+ 
 

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a.
2 1
4 3
lim 1
x
x x
x


− +
− b.
2 2
3 1
lim 2
x
x x
x
+

+ + −
Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên.
Giải:
a. Với x →
1
-
thì x 1 nên 1 – x 0. Khi đó ta có
2
4 3
1 3
1 3
1 1
x x
x x
x x
x x
− +
− −
= =
− −
− −
Trang 18
nếu x 2 nếu x
≥ 2
liên tục tại x = 2
Từ đó:
2 1
1
4 3
lim lim 1
3 1
x x
x x
x x
x
− −
→ →
− + =
− − =

Bài 3: Cho hàm số fx =
2
2 25
4 x
 
− 
 
a. Tính
4 4
3 3
lim ;
lim ; lim ; lim ;
x x
x x
f x f x
f x f x
− +
− +
→− →−
→ →
b. Tìm các khoảng liên tục của fx Sử dụng các định nghĩa và định lý về liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng
Giải:
a.
2 4
4 4
lim ,
lim lim 25
25 16 3
x x
x
f x f x
x
− +
+
→− →−
→−
= −
= −
=
2 3
3 3
lim lim 25 25 9 4; lim 4
x x
x
f x x
f x
− −
+
→ →

= −
= − =
=
b. Hàm số fx liên tục trên -
∞ ; -4, -4; 3, 3: +
∞ Vì
4
lim 4
x
f x f

→−
= − nên fx liên tục trên -
∞ ; -4]

4
lim 4
x
f x f
+
→−
≠ −
nên fx khơng liên tục tại x= -4 Vì
3 3
lim lim 3 4
x x
f x f x
f
− +
→ →
= =
= nên fx liên tục tại x=3
Vậy hàm số fx liên tục trên các khoảng - ∞
; -4] và -4; + ∞
Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số:
2
3 2
1 x
f x mx
 = 
+ 
fx liên tục tại x = 2 nếu
2 2
lim lim 2
x x
f x f x
f
− +
→ →
= =
Giải
Ta có:
2 2
2 2
2
lim lim 3 12, lim
lim 2 1 4
1 2
x x
x x
f x x
f x mx
m f
− −
+ +
→ →
→ →
= =
= + =
+ = Từ đó:
2 2
11 lim lim
12 4 1
4
x x
f x f x
m m
− +
→ →
= ⇔
= + ⇔ =
Với m = 11
4 thì fx liên tục tại x = 2.
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x
3
– 2x
2
+ 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Sử dụng định lí: Nếu fx liên tục trên [a; b] và fa.fb 0 thì tồn tại điểm x
∈ a;b sao cho
fc = 0
Giải:
Đặt fx = x
3
– 2x
2
+ 1 Ta có fx liên tục trên  và do đó liên tục trên [-1; 0]
Mặt khác, vì f0 = 1, f-1 = -2 0 nên tồn tại số c ∈
-1; 0 sao cho fc = 0. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Trang 19 nếu x
≤ - 4
nếu -4 x ≤
3 nếu x 3
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình 3m
2
– 5x
3
– 7x
2
+ 1 = 0 ln có nghiệm âm với mọi giá trị của m.
Giải:
fx = 3m
2
– 5x
3
– 7x
2
+ 1 là một đa thức nên liên tục trên  và do đó liên tục trên [- 1;0].
Hơn nữa f0 = 1 0
F-1 = -3m
2
+ 5 – 7 + 1 = -3m
2
+ 1 0, ∀
m ∈
 Do đó tồn tại số c
∈ -1; 0 sao cho fc = 0. Vậy phương trình ln có nghiệm âm với
mọi giá trị của m
Bài 7: a. Tìm giao điểm của đồ thị các hàm số y =
3 x
H và y = x – 2d b. Viết phương trình tiếp tuyến của H tại các giao điểm đó
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị H của hàm số y=fx tại M x
;y là y-y
=f’x x–x
Giải:
a. Hoành độ giao điểm của H và d là nghiệm của phương trình:
2
1 2
3 0 3
2 3
x x
x x
x x
x = −
 − − =
 = − ⇔
⇔ 
 = ≠
 
Vậy có hai giao điểm của H và d là A-1; -3, B3; 1 b.
3 f x
x =
có đạm hàm là
2
3 f x
x = −
. Từ đó: f’-1 = -3, f’3 = - 1
3 •
Tiếp tuyến của H tại A-1; -3 có phương trình: y + 3 = -3x + 1
⇔ y = -3x – 6
• Tiếp tuyến của H tại B3; 1 có phương trình:
y – 1 = - 1
3 x – 3
⇔ y = -
1 3
x + 2
Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. fx = cot 3
4 x
x π
 
− 
÷ 
 ;
b. gx = cos
2
x + cos
2
2
2 2
cos 3
3 x
x π
π 
 
 +
+ −
 ÷
 ÷
 
 
c. hx = sincos
2
x.cossin
2
x Sau khi tìm g’x có nhận xét gì về hàm gx
Áp dụng cơng thức: y’
x
= y’
u
. u’
x
Giải:
a. f’x =
cot 3 cot 3
4 4
x x
x x
π π
 
 
 
− +
− 
÷ 
÷ 
÷ 
 
 
 =
2
1 3
cot 3 4
2 sin 3
4 x
x x
x π
π 
 −
− 
÷ 
 
 −
 ÷
 
b. Tương tự g’x = - 2cosxsinx – 2cos 2
2 2
2 sin
2cos sin
3 3
3 3
x x
x x
π π
π π
 
 
 
 
+ +
+ −
− 
÷  ÷
 ÷ 
÷ 
 
 
 

Trang 20
= - sin2x -sin 4
4 2
sin 2
3 3
x x
π π
 
 
+ +
− 
÷ 
÷ 
 
 = - sin2x + 2cos
4 3
π sin-2x = -sin2x + sin2x = 0
c. h’x = -2coscos
2
xcosxsinxcossin
2
x – 2sincos
2
xsinsin
2
xsinxcosx = -sin2xcoscos
2
xcossin
2
x – sin2xsincos
2
xsinsin
2
x = -sin2x [coscos
2
xcossin
2
x + sincos
2
xsinsin
2
x] = -sin2xcoscos
2
x – sin
2
x = -sin2xcoscos2x
Vì g’x = 0 nên gx là một hàm bằng. Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g0 = 3
2
Vậy gx = 3
2 với mọi x.
Bài 9: Tìm
a. dtanx 2
x k
π π
 
≠ + 
÷ 
 ;
b. dy với y =
2
2 5
1 x
x x
+ +
− x
≠ 1
Áp dụng công thức: dfx = f’xdx
Giải:
a. dtanx = tanx’dx =
2
cos dx
x b. Với y =
2
2 5
1 x
x x
+ +
− ta có:
y’ =
2 2
2
2 5
1 2
5 1
1 x
x x
x x
x x
+ +
− − +
+ −
− =
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1 2
5 2
1 2
5 2
7 1
1 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ − −
+ +
− − − −
− −
= =
− −
− Vậy dy =
2 2
2 7
1 x
x dx
x −
− −
Bài 10: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính gần đúng sin29
Áp dụng cơng thức fx +
∆ x
≈ fx
+ f’x ∆
x
Giải:
Vì 29 = 30
– 1 =
6 180 π
π 
 −
 ÷
 
nên sin29
= sin 6 180
π π
 
− 
÷ 
 ≈
sin cos
0, 4849 6
6 180
π π
π  
 +
− ≈
 ÷ ÷
  
Bài 11: Tìm y
n
biết 1
2 y
x =
− Dùng phương pháp quy nạp tốn học.
Giải:
Trang 21
Ta có:
2 3
4
1 1
1 1.2
1 1.2.3
1; ;
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
 
 
 
= − =
= 
÷ 
÷ 
÷ −
− −
− −
− 
 
 
 Ta dự đoán y
n
= -1
n
1
2
n
n x
+
− . Ta chứng minh bằng quy nạp.
Từ 1 suy ra đúng khi n = 1 Giả sử đúng với n = k, ta có
1
1 1
2 2
2
k k
k
k x
x
+
  = −
 ÷
− −
 
Ta chứng minh đúng với n = k+1 Lấy đạm hàm hai vế của 2 ta đượC:
1 1
1 1
2 2
2 2
1 [
2 ] 1
2 1
1 2
2 2
k k
k k
k k
k
k x
k k x
x x
x
+ +
+ +
+ +
− +
− 
 = −
= − 
÷ −
− −
 
=
1 2
1 1
2
k k
k x
+ +
+ −
− Vậy với mọi n
∈ , ta có:
1
1 1
2 2
n n
n
n x
x
+
  = −
 ÷
− −
 

III. BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Tải bản đầy đủ ngay(44 tr)

×