Tải bản đầy đủ - 44 (trang)
TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích:

TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích:

Tải bản đầy đủ - 44trang

dìnhCHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


1. Phương trình sinx = a
• Nếu |a| 1 : Phương trình vơ nghiệm
• Nếu |a|
≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x =
α + k2
π và x =
π -
α + k2
π , k
∈ , với sin
α = a.

2. Phương trình cosx = a


• Nếu |a| 1 : Phương trình vơ nghiệm
• Nếu |a|
≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x =
± α
+ k2 π
, k ∈
, với cos α
= a.

3. Phương trình tanx = a


Điều kiện: cosx ≠
0 hay x ≠
2 π
+k π
, k ∈
. Nghiệm của phương trình x =
α + k
π , k
∈ , với tan
α = a

4. Phương trình cotx = a


Điều kiện: sinx ≠
0 hay x ≠
k π
, k ∈
. Nghiệm của phương trình là x=
α + k
π , k
∈  với cot
α = a.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình asinx + bcosx = c
• asinx + bsinx = c
⇔ sinx +
α =
2 2
c a
b +
trong đó: sin
α =
2 2
b a
b +
; cos
α =
2 2
a a
b +
• asinx + bsinx = c
⇔ cosx –
β =
2 2
c a
b +
trong đó: sin
β =
2 2
a a
b +
; cos
β =
2 2
b a
b +
Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c
2
≤ a
2
+ b
2
.
2. Phương trình asinx + cosx + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t|
≤ 2
Phương trình trở thành bt
2
+ 2at – b + 2c = 0
Trang 1
Loại do điều kiện

II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích:


Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 tan2x – 3cot3x – 3 = 0 Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠
0 và sin3x ≠
Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3cot3x – 3 = 0 ⇒
3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0 ⇒
tan2x 3cot3x + 3 - 3 3cot3x + 3 = 0 ⇒
3cot3x + 3 tan2x - 3 = 0
⇒ 2
3 3
cot 3 3
3 3
tan 2 3
3 x
k x
x k
x π
π π
π 
 =
+ 
= − 
⇒  
 = + 
= 
 k
∈ 
⇒ 2
9 3
6 2
x k
x k
π π
π π
 = + 
  = +
 k
∈ 
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:
x = 2
9 3
k π
π +
và x = 6
2 k
π π
+ , k
∈ 
Bài 2: Giải phương trình:
1 tan 2 sin
1 cot x
x x
+ =
+
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠
0, sinx ≠
0 và cot x ≠
-1. Ta biến đổi phương trình đã cho:
1 tan cos
sin sin
2 sin .
2 sin 1 cot
cos sin
cos x
x x
x x
x x
x x
x +
+ =
⇒ =
+ +
⇒ sin
2 sin cos
x x
x =
⇒ sinx
1 2
cos x 
 −
= 
÷ 
 ⇒
sin 2
cos 2
x x
= 
 
= 
⇒ x =
± 2
4 k
π π
+ , k
∈ 
Trang 2
Giá trị x = - 2
4 k
π π
+ , k
∈  bị loại do điều kiện cot x
≠ -1. Vậy nghiệm của của phương trình
đã cho là x = 2
4 k
π π
+ , k
∈ .
Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x
∈ 0,2
π
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠
0, cos4x ≠
0 và cos5x ≠
0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0
⇒ sin 8
2sin 4 cos3 cos5
cos 4 x
x x
x x
− =
⇒ 2sin 4 cos 4
2sin 4 cos3 cos5
cos 4 x
x x
x x
x −
= ⇒
2sin4x
2
cos 4 cos3 cos5
cos3 cos 4 cos5 x
x x
x x
x 
 −
= 
÷ 
 ⇒
2sin4xsin
2
x = 0 ⇒
sin 4 sin
x x
= 
 =
 ⇒
4 4
4 x k
x k x k
x k x k
π π
π π
π 
= =
 
⇒ ⇒ =
 
= 
= 
k ∈
 Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:
1 2
3 4
5
3 5
7 ;
; ;
; 4
4 4
4 x
x x
x x
π π
π π
π =
= =
= =
2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2cos
4
x + sin
4
x
Giải:
Ta có: 1 + sin2x = 2cos
4
x + sin
4
x = 2[cos
2
x + sin
2
x
2
– 2sin
2
xcos
2
x] = 2
2
1 1
sin 2 2
x 
 −
 ÷
 
= 2 – sin
2
2x Vậy ta được phương trình sin
2
2x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1
≤ t
≤ 1 ta được phương trình:
t
2
+ t – 1 = 0 ⇒
t = 1
5 2
− ± . Giá trị
1 5
2 − −
-1 nên bị loại. Với t =
1 5
2 − +
ta có phương trình sin2x = 1
5 2
− +
Phương trình này có nghiệm: x=
1 1
5 arcsin
2 2
k π
 
− + +
 ÷
 ÷
 
, k ∈

Và x =
1 1
5 arcsin
2 2 2
k π
π 
 − +
− +
 ÷
 ÷
 
, k ∈
 Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.
Trang 3
Bài 5: Giải phương trình sin
2
xtanx – 1 = cosx5sinx – cosx – 2.
Giải:
Điều kiện của phương trình là cosx ≠
Chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được: tan
2
x tanx – 1 = 5tanx – 1 – 21+tan
2
x ⇒
tan
3
x – tan
2
x = 5tanx – 3 – 2 tan
2
x ⇒
tan
3
x + tan
2
x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình.
t
3
+ t
2
– 5t +3 = 0 ⇔
t – 1t
2
+ 2t – 3 = 0 ⇔
1 3
t t
= 
 = − 
Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4
x k
π π
= + , k
∈ 
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan-3 + k π
, k ∈
 Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các
nghiệm x = 4
k π
π +
, x = arctan-3 + k π
, k ∈

Bài 6: Giải phương trình:
3 3
2 3 1
3 1 sin
cos sin 2
sin cos
3 2
2 3
x x
x x
x 
 
 −
+ =
+ −
 
 ÷
 ÷
 
 
 
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho:
3 3
2 3 1
3 3 2 sin
cos 2sin cos
sin cos
3 2
6 x
x x
x x
x 
 −
− +
− +
 
 
=0 ⇔
3 2
2 3
2 2
2 2
sin 3 sin
cos sin cos
cos sin
cos 3 sin cos
3 3
x x
x x
x x
x x
x x
  
 −
+ +
+ −
= 
÷  ÷
  
 ⇔
2 2
2 sin
3 sin cos cos
sin cos 0
3 x
x x
x x
x 
 −
+ +
= 
÷ 
 ⇔
2 2
sin cos
1 2
sin 3 sin cos
cos 0 2
3 x
x x
x x
x +
= 
 
− +
= 
• Giải phương trình 1 ta được: x =
3 4
π +k
π , k
∈ 
• Giải phương trình 2: sin
2
x - 3 sinxcosx + 2
3 cos
2
x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình.
Với cosx ≠
0, chia hai vế của phương trình cho cos
2
x, ta được: tan
2
x - 2
3 tan 3
x + =
Trang 4
Giải phương trình, ta được: x = 6
k π
π +
và x = arctan 2 3
3 + k
π , k
∈ 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =
3 ,
4 6
k x
k π
π π
π +
= + và x = arctan
2 3 3
+ k π
, k ∈

3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0
Giải:
Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔
4cosx + 2 3 sinx + 2cos
2
x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔
2 3 sinxcosx+1 + 2cosx +1
2
= 0 ⇔
2cox +1 3 sinx + cosx + 1 = 0 ⇔
cos 1 0
3 sin cos
1 0 x
x x
+ = 
 +
+ = 
⇔ 2
1 2
3 x
k x
k π
π π
= +
 
 = − + 
k ∈

Bài 8: Giải phương trình: 2cos
3
x – sin2xsinx + cosx + cos2xsinx + 2 - 2 sin2x + 1 – 2cosx – sinx = 0
Giải:
Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos
3
x – sin2xsinx + cosx + cos2xsinx + 2 - 2 sin2x + 1 – 2cosx – sinx = 0 ⇔
2 cos2x – sin2x – 1 + sinxcos2x – sin2x – 1 + 2cos
3
x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔
cos2x – sin2x – 1 2 + sinx + cosx2cos
2
x – sin2x – 2 = 0 ⇔
cos2x – sin2x – 1 2 + sinx + cosxcos2x + 1 – sin2x – 2 = 0 ⇔
cos2x – sin2x – 1cosx + sinx + 2 =0 ⇔
cos 2 sin 2
1 0 cos
sin 2 0
x x
x x
− − =
 
+ +
= 
⇔ 2
cos 2 4
2 cos
1 4
x x
π π
 
 +
= 
 ÷
 
 
 
− = −
 
÷ 
 
Trang 5
⇔ 2
2 4
4 2
4 x
k x
k π
π π
π π π
 + = ± + 
  − = +
 k
∈ 
⇔ 4
5 2
4 x k
x k
x k
π π
π π
π 
 = 
 = − + 
  =
+ 
k ∈

4. Phương trình asinx + cosx + bsinx + cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos
2
x + 5 – 3cosxsinx + cosx – 2 = 0
Giải:
Ta có: cos2x + cos
2
x + 5 – 3cosxsinx + cosx – 2 = 0 ⇔
5sinx + cosx – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx - 2
≤ t
≤ 2 , phương trình trở thành:
3t
2
– 10t + 30 = 0 ⇒
3 1
3 t
loai t
= 
  =
 ⇒
sinx + cosx = 1
3 ⇒
sin 2
4 6
x π
 
+ =
 ÷
 
Giải ra ta được: 2
arcsin 2
4 6
3 2
arcsin 2
4 6
x k
x k
π π
π π
 = − +
+ 
 
= −
+ 
k ∈

Bài 10: Giải phương trình 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 =0
Giải:
Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔
2sinx 1-cos
2
x + 2cos
2
x – 3cosx +1=0 ⇔
1 – cosx[2sinxcosx + 2sinx – cosx + 1} = 0 ⇔
cos 1
1 2sin cos
2sin cos 1 0 2
x x
x x
x =
 
+ −
+ = 
Phương trình 1cho ta nghiệm x = k2 π
, k ∈
 Giải phương trình 2, đặt t = sinx – cosx - 2
≤ t
≤ 2 .
Phương trình 2 trở thành: t
2
– 2t – 2 = 0 ⇒
1 3
1 3
t loai
t  = +
 = −
 Trang 6
Với t = 1 - 3 , giải ra ta được: 2
6 arcsin
2 4
2 5
2 6
arcsin 2
4 2
x k
x k
π π
π π
 
 −
= + +
 
÷ 
÷ 
 
 
 −
 = − +
 ÷
 ÷
 
 
k ∈

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2 2
6 arcsin
2 4
2 5
2 6
arcsin 2
4 2
x k x
k x
k π
π π
π π
 
= 
 
 −
 = + +
 ÷
 ÷
 
 
 
 −
= −
+ 
 ÷
 ÷
 
 
k ∈

III. BÀI TẬP: Giải các phương trình sau:


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích:

Tải bản đầy đủ ngay(44 tr)

×