Tải bản đầy đủ - 159 (trang)
§2. Công thức nghiệm của bài toán cauchy đối với phương trình truyền sóng

§2. Công thức nghiệm của bài toán cauchy đối với phương trình truyền sóng

Tải bản đầy đủ - 159trang

(x, y, z, t) =



1

4 a 2



(, , )

ds

t

at





S



(2.4)



trong đó t > 0, Sat là mặt cầu tâm (x, y, z) bán kính at.



Chứng minh. Kiểm chứng v(x, y, z, 0) = 0. Do liên tục nên theo định lí giá trị trung bình của

tích phân ta có :

v(x, y, z, t) =



1

* * *

2 ( , , ) ds ,

4 a

Sat



trong đó (*, *, *) Sat

v(x, y, z, t) = t. (*, *, *)



(*)



Vì bị chặn trên Sat nên lim v( x, y, z, t ) = 0 = v( x, y, z, 0) . Từ (*) ta cũng suy ra

t 0



lim

t 0



v( x, y, z, t )

= ( x, y, z).

t



Kiểm chứng vt(x, y, z, 0) = (x, y, z) và vtt = a2v.

Dùng phép đổi biến số không suy biến :

= x + at



= y + at

= z + at



Khi đó Sat S1 và ds = a2t2ds1. Ta có



v( x, y, z, t ) =



v( t ) =



1

4



1

=

4



1

( x + at, y + at, z + at )ds1

4 St



(2.5)



at



( , , )ds + 4 ( + + )ds

1



1



St



St



ds + at( +

*



*



*



(2.6)



+ ).

*



*



*



S1



trong đó (*, *, *) S1 và * = (*, *, *), tơng tự đối với * , * . Do có các đạo hàm

riêng cấp 1 liên tục trên S1 nên

1

v

ds = lim = ( x, y, z).

lim vt ( x, y, z, t ) = lim



t 0

t 0 4

t 0 t

S1

Từ (2.5) ta có



122



v =



1

1

ds1 =

ds



4 S1

4 a 2 t Sat



(2.7)



Mặt khác, ta có thể viết (2.6) lại nh sau



vt =



v

1

( + + )ds.

+

t 4 at Sat



Theo công thức Ostrogradski ta có:



vt =



v

1

+

dV ,

t 4 at Sat



trong đó Vat là hình cầu tâm (x, y, z) bán kính at.

Đặt I(t) =



dV



và thực hiện phép biến đổi biến qua toạ độ cầu ta có :



Vat



at







0



0



I (t ) = dr d





I (t ) = a d

0



2



(r, , )d ,

0



2



r



2



0



sin d = a ds,

Sat



v

1

v 1

1

1

vtt = (v t )t = ( +

I (t ))t = 2 + vt

I (t ) +

I (t )

2

t 4 at

t t

4 at

4 at

vtt =



1

ds.

4 t Sat



(2.8)



So sánh (2.7) và (2.8) ta có : vtt = a2 v.



Chú ý

1) Nghiệm của Bài toán 1 phụ thuộc vào điều kiện , kí hiệu là v .

2) Nếu có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k theo các biến , , thì nghiệm v có các đạo hàm

riêng liên tục đến cấp k theo các biến x, y, z, t (t > 0).



2.2. Giải bài toán 2

Định lí 2. Giả sử v là nghiệm của Bài toán 2 ứng với điều kiện biên vt = . Khi đó Bài toán 3 có

nghiệm là



123



(x, y, z, t) = (v)t



(2.9)



Chứng minh. Theo giả thiết ta có

lim ( x, y, z , t ) = lim

t 0



t 0



v

t



= ( x, y, z).



Vậy (x, y, z, 0) = (x, y, z). Mặt khác, ta có

( v )tt = a2 [(v )xx + (v )yy + (v )zz].

Do có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp ba và theo chú ý trên ta có v có đạo hàm riêng liên

tục đến cấp ba theo t, nên :

( v )ttt = a2 [(v )xxt + (v )yyt + (v )zzt],



tt = a2 [xx + yy + zz].



hay



Ngoài ra, ta có : vt = 0 = 0, suy ra vt = 0 = 0.

Do đó tt = 0 = (v)ttt = 0 = a2vt = 0 = 0.



2.3. Giải bài toán 3

Định lí 3. Nếu V(, x, y, t ), với mọi giá trị của tham biến , là nghiệm của bài toán sau đây :

Vt

= a 2 V



V( , x, y, z, 0) = 0

V ( , x, y, z, 0) = f ( x, y, z, )

t

t



*



thì hàm u (x, y, z, t) =



V(, x, y, z, t ) d



(2.10)



0



là nghiệm của Bài toán 3.

Chứng minh

Ta có

t



t



0



0



u = Vd

t + V (t , x , y, z, 0) = Vd

t

*

t



124



(2.11)



t



t



0



0



utt* = Vtt d + Vt (t, x, y, z, 0) = Vtt d + f ( x, y, z, t ) .

t



t



0



0



Mặt khác a 2 u* = a 2 d = Vtt d .

Vậy utt* = a2 u* + f(x, y, z, t).

Từ (2.10) và (2.11) ta có ngay

u*(x, y, z, 0) = ut* (x, y, z, 0) = 0.

Nh vậy nghiệm Bài toán 3 có dạng :



1

f (, , , )

u ( x, y, z, t ) =

d

ds.

2

4 a 0 Sa (1 )

t

t



*



Bằng cách đổi biến số r = a(1 - ) ta có :



u* ( x, y, z, t ) =



u* ( x, y, z, t ) =



1

4 a 2



1

4 a 2







0



dr



at



Sr



r

f (, , , t )

a ds

r



f (, , , t

r



Vat



r

)

a dV , trong đó V là hình cầu tâm (x, y, z) bán

at



kính at.

Từ đó ta có thể biển diễn nghiệm của bài toán Cauchy (2.1), (2.2), (2.3) nh sau :

u = v +



v

t



+ u* .







1

+

u=

ds

ds +





t Sat t

4 a 2 Sat t









Vat



r



f (, , , t )

a dV , (2.12)



r







trong đó r = ( x )2 + ( y )2 + ( z )2 .

Công thức (2.12) gọi là công thức Kirchoff.



125



Đ3. Phơng pháp hạ thấp



Công thức Kirchoff (2.12) biển diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phơng trình truyền

sóng phụ thuộc vào biến thời gian t và các biến

không gian x, y, z. Muốn biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy có số biến không gian ít hơn, ta

dùng phơng pháp sau đây, gọi là phơng pháp hạ thấp.

a) Trờng hợp 1. Tìm nghiệm của bài toán

utt

= a2 (uxx + uyy )



u( x, y, 0) = ( x, y )

u ( x, y, 0) = ( x, y )

t



(3.1)



Ta xem bài toán này là trờng hợp đặc biệt của bài toán

(2.1) (2.2) (2.3) với f(x, y, z, t) = 0 còn các hàm (x, y) = (x, y, z) và (x, y) = (x, y,z). Nhng

giá trị của chúng không phụ thuộc vào z, nên và là những hàm chẵn theo biến z. Khi đó theo

công thức Kirchoff ta có :

u( x, y, t ) =







ds .

ds +

t Sat t

Sat t



1

4 a 2



Đặt Sat = Sat1 Sat2 trong đó Sat1 (tơng ứng Sat2 ) là nửa mặt cầu nằm trên (tơng ứng dới) của mặt

phẳng xOy, Kat là hình chiếu của chúng xuống

mặt phẳng xOy. Chuyển các tích phân mặt về tích phân hai lớp ta có :



dS =



d d

at

=

d d =

cos

z



u( x, y, t ) =

u( x, y, t ) =



atd d

a 2 t 2 ( x )2 ( y )2



2



ds +

ds

2

4 a S1 t

t S1 t

at

at











(, )d d

1



4 a Kat a 2 t 2 ( x )2 ( y )2



+



(3.2)







(, ) d d

2 2

2

2



t Kat a t ( x ) ( y )



(3.2) gọi là công thức Poisson

b) Trờng hợp 2. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy đối với phơng trình dao động của dây



126



utt = a 2 uxx



u( x, 0) = ( x )

u ( x, 0) = ( x )

t



(3.3)



Tơng tự nh trên, trong công thức (2.12) ta xem f(x, y, z, t) = 0 và các hàm , không phụ

thuộc vào y và z. Ta có công thức DAlambert biểu diễn nghiệm của bài toán (3.3) nh sau:

u ( x, t ) =



( x + at ) + ( x at )

2



+



1

2a



127



x + at







x at



( ) d .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§2. Công thức nghiệm của bài toán cauchy đối với phương trình truyền sóng

Tải bản đầy đủ ngay(159 tr)

×