Tải bản đầy đủ - 159 (trang)
§1. Bài toán cauchy của phương trình truyền sóng và định lí duy nhất nghiệm

§1. Bài toán cauchy của phương trình truyền sóng và định lí duy nhất nghiệm

Tải bản đầy đủ - 159trang

Định lí duy nhất nghiệm

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1) (1.2) (1.3) và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục

trong K = K S B . Khi đó nghiệm u đợc

xác định duy nhất trong K bởi các dữ kiện (1.2), (1.3) cho trớc trên đáy B.



Chứng minh. Nếu u1, u2 là hai nghiệm của bài toán thì u = u1 u2 là nghiệm của bài toán:

utt = a2 (uxx + uyy),



(1.5)



u(x, y, 0) = 0,



(1.6)



ut(x, y, 0) = 0.



(1.8)



Vậy ta chỉ cần chứng minh bài toán (1.5) (1.6) (1.7) chỉ có nghiệm



u = 0 trong K . Trong (1.5) ta có thể giả sử a = 1.

a) Chứng minh u = 0 tại A. Nhân phơng trình (1.5) với 2ut rồi lấy tích phân trên K, ta có:



I = 2utt ut (2ut uxx + 2ut uyy ) dxdydt = 0 .

K



Biến đổi

2uttu t = ( ut2 )t

2utuxx = 2(utux)x ( ux2 )t

2utuyy = 2(utuy)y ( uy2 )t.

Vậy

I=



(u



2

t



+ (ux2 + uy2 ))t 2(ut ux )x 2(ut uy )y dx dy dt = 0



K



áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

I =







{[ut2 + (ux2 + uy2 )] cos(n, t ) 2ut ux cos(n, x )



SB



2ut uy cos(n, y )}ds = 0,

trong đó n là vectơ pháp tuyến trong của S U B.

Trên đáy B, do (1.6) và 1.7 ta có :



ux |B = uy|B = ut|B = 0.

Mặt nón S có phơng trình

(u, x, t ) = t ( x c1 )2 + ( y c2 )2 = hằng số,

nên ta có 2t 2x 2y = 0 và



119



t

cos( n, t )



=



x

cos(n, x )



=



y

cos(n, y )



= k.



Suy ra

cos2( n, t ) cos2( n, x ) - cos2( n, y ) = 0.



(1.8)



Vậy



I =







{[ut2 + (ux2 + uy2 )] cos(n, t ) 2ut ux cos(n, x )



SB



2ut uy cos(n, y )}ds = 0.

Nhân hai vế với cos (n, t ) 0 và sử dụng (1.8) ta có :



I = {[ut cos(n, x ) ux cos(n, t )]2 + [ut cos(n, y ) uy cos(n, t )]2}ds = 0 .

S



Suy ra



ux

cos(n, x )



=



uy

cos(n, y )



=



ut

cos(n, t )



= v.



(1.9)



Gọi m là vectơ chỉ phơng của đờng sinh l trên mặt S. Trên l ta có:



u

= ux cos(m, x ) + uy cos(m, y ) + ut cos(m, t )

m

= v[cos(m, x ) cos(n, x ) + cos(m, y ) cos(n, y )

+ cos(m, t ) cos(n, t )]

u

= v cos(m, n) = 0 vì m n.

m

Suy ra u là hàm hằng trên l. Theo (1.6) thì u(x, y, 0) = 0 nên u = 0 trên l hay u = 0 tại A.

b) Chứng minh u = 0 trên K .

Lấy điểm P bất kì của K , dựng mặt đặc trng của họ (1.4) có đỉnh P và cắt mặt t = 0 tạo thành

hình tròn B B. Theo (1.6) và (1.7) ta có:



u|B = ut|B = 0.

Gọi K là hình nón đỉnh P có đáy B. Theo chứng minh ở phần a) ta có

u = 0 tại P. Vậy u = 0 trên K .

Chú ý

1) Trong chứng minh định lí, để đơn giản, ta đã giả thiết a = 1. Nếu a 1 ta có thể đổi biến



số t = at để có vận tốc truyền sóng a = 1.

2) Định lí vẫn đúng cho trờng hợp n chiều.



120



Đ2. Công thức nghiệm của bài toán cauchy

đối với phơng trình truyền sóng



Trong phần này, ta sẽ giải quyết vấn đề tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy của phơng trình

truyền sóng bằng cách thiết lập nghiệm cụ thể của bài toán này.

Xét bài toán :



utt = a2(uxx + uyy + uzz) + f(x, y, z, t)



(2.1)



u(x, y, z, 0) = (x, y, z)



(2.2)



ut(x, y, z, 0) = (x, y, z)



(2.3)



Với giả thiết là hàm có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp ba, là hàm có các đạo hàm riêng

liên tục đến cấp hai còn f liên tục theo t và có các đạo hàm riêng đến cấp một liên tục theo x, y, z.

Ta tìm nghiệm của bài toán trong miền t > 0.

Để giải bài toán (2.1) (2.2) (2.3), ta lần lợt xét ba bài toán phụ sau đây :



Bài toán 1



vtt

= a2 (vxx + vyy + vzz )



v( x, y, z, 0) = ( x, y, z)

v ( x, y, z, 0) = ( x, y, z)

t

Bài toán 2

tt

= a2 (xx + yy + zz )



( x, y, z, 0) = ( x, y, z)

( x, y, z, 0) = 0

t



Bài toán 3

*

utt*

= a2 (u*xx + u*yy + uzz

) + f ( x, y, z, t )

*

u ( x, y, z, 0) = 0

u* ( x, y, z, 0) = 0

t



Giả sử v, , u* là nghiệm theo thứ tự của các bài toán 1, 2, 3. Khi đó nghiệm của bài toán (2.1)

(2.2) (2.3) là u = v + + u*.



2.1. Giải bài toán 1

Định lí 1. Nghiệm của bài toán 1 có dạng:



121



(x, y, z, t) =



1

4 a 2



(, , )

ds

t

at





S



(2.4)



trong đó t > 0, Sat là mặt cầu tâm (x, y, z) bán kính at.



Chứng minh. Kiểm chứng v(x, y, z, 0) = 0. Do liên tục nên theo định lí giá trị trung bình của

tích phân ta có :

v(x, y, z, t) =



1

* * *

2 ( , , ) ds ,

4 a

Sat



trong đó (*, *, *) Sat

v(x, y, z, t) = t. (*, *, *)



(*)



Vì bị chặn trên Sat nên lim v( x, y, z, t ) = 0 = v( x, y, z, 0) . Từ (*) ta cũng suy ra

t 0



lim

t 0



v( x, y, z, t )

= ( x, y, z).

t



Kiểm chứng vt(x, y, z, 0) = (x, y, z) và vtt = a2v.

Dùng phép đổi biến số không suy biến :

= x + at



= y + at

= z + at



Khi đó Sat S1 và ds = a2t2ds1. Ta có



v( x, y, z, t ) =



v( t ) =



1

4



1

=

4



1

( x + at, y + at, z + at )ds1

4 St



(2.5)



at



( , , )ds + 4 ( + + )ds

1



1



St



St



ds + at( +

*



*



*



(2.6)



+ ).

*



*



*



S1



trong đó (*, *, *) S1 và * = (*, *, *), tơng tự đối với * , * . Do có các đạo hàm

riêng cấp 1 liên tục trên S1 nên

1

v

ds = lim = ( x, y, z).

lim vt ( x, y, z, t ) = lim



t 0

t 0 4

t 0 t

S1

Từ (2.5) ta có



122



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§1. Bài toán cauchy của phương trình truyền sóng và định lí duy nhất nghiệm

Tải bản đầy đủ ngay(159 tr)

×