Tải bản đầy đủ - 159 (trang)
§5. Bài toán dirichlet trong hình tròn

§5. Bài toán dirichlet trong hình tròn

Tải bản đầy đủ - 159trang

cos 2 = 1





sin 2 = 0



2 = 2 n, n Z .



Vậy = n 2 , n Z , và () có dạng

n () = an cos n + bn sin n .

Với = n 2 , phơng trình (5.3) có hai nghiệm độc lập tuyến tính R1 = n và R2 =



1

. Chọn

n



nghiệm liên tục trong B1 là R1 = n , khi đó nghiệm liên tục trong B1 của phơng trình (5.1) là :



un( , ) = n(ancosn + bnsinn).

Với = 0, phơng trình (5.1) có nghiệm u0 =



a0

(là hằng số).

2



Lập chuỗi



un ( , ) =



a0

+

2







(a

n



n



n =1



cos n + bn sin n)



(5.5)



Nếu an, bn bị chặn bất kì, chuỗi (5.5) hội tụ tại mọi điểm ( , ) B1 và ta có thể chứng minh

đợc u( , ) là hàm điều hoà trong B1.

Mặt khác, trong (5.5), cho = 1 muốn u(1, ) = f () ta phải có



f () =



a0

+

2







(a

n



n =1



n



cos n + bn sin n) .



Đẳng thức này xẩy ra khi a0, an, bn, là các hệ số Fourier của hàm f, tức là :



a0 =

an =



1



1





1

bn =





2



f ()d,

0



2



f () cos nd,

0



2



f ()sin nd .



(5.6)



0



Hàm u( , ) xác định bởi chuỗi (5.5), trong đó các hệ số a0 , an , bn xác định bởi (5.6) là một hàm

liên tục trên B1 và là nghiệm của bài toán (3.1) (3.2) trong hình tròn B1 chứa trong R2.



115



Bài tập

2.1. Tìm dạng của phơng trình Laplace uxx + uyy = 0 trong toạ độ cực.

2.2. Tìm k để các hàm số sau đây là hàm điều hoà



a) u( x ) = x13 + kx1 x22 ,



1



b) u( x ) =



x



2



k



với x =



x = ( x1 , x2 ) R 2 .

n



x

i =1



2

i



và x = ( x1 ,..., x n ) 0.



2.3. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm điều hoà sau đây;



a) u( x, y) = xy trên miền D : x 2 + y 2 1 .

x2

y2

b) u( x, y) = x y trên miền D :

+

1.

4

9

2



2



2.4. Giả sử u là hàm có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong miền D R n và u < 0 với

mọi x D . Chứng minh rằng u không thể có một cực tiểu tơng đối âm.



2.5. Chứng minh hàm Green G(X,X 0) thoả mãn các tính chất sau đây:

a) G ( X , X 0 ) > 0,



X X 0 .



b) G ( X , X 0 ) = G ( X 0 , X ).



2.6. Chứng minh các tính chất sau đây của nhân Poisson P(s, X 0 )

a) P(s, X 0 ) > 0,



X 0 VR là các hình cầu tâm O bán kính R và s SR là mặt cầu tâm O bán



kính R.



b)



P(s, X



0



)ds = 1.



SR



c) X 0 P(s, X 0 ) = 0.



2.7. Giả sử u là hàm liên tục trên miền D R 3 và nghiệm đúng định lí giá trị trung bình trong

mọi hình cầu V(X,R) D, X D . Chứng minh u là một hàm điều hoà.



116



2.8. Giả sử u C 2 ( D) với D R 3 và



u



nds = 0 với S là đờng cong kín bất kì nằm trong D

S



còn n là pháp vectơ của S. Chứng minh u là hàm điều hoà trên D.



2.9. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với hàm điều hoà trong hình tròn : x 2 + y 2 < 1 thoả mãn

điều kiện biên u = sin 2 (0 2) trên đờng tròn x 2 + y 2 = 1 .



2.10. Giả sử là miền bị chặn trong R 3 có biên trơn từng mảnh và {un } là dãy hàm điều

hoà trong , liên tục trên . Nếu {un } hội tụ đều trên . Chứng minh:

a) {un } hội tụ đều trên về hàm u.

b) u điều hoà trong

c) Mọi miền dãy các đạo hàm cấp tuỳ ý của {un } hội tụ đều về đạo hàm cấp tơng

ứng của u.



2.11. Nếu {un } là dãy các hàm điều hoà trong R 3 , đơn điệu và hội tụ tại điểm x0 thì



{un } hội tụ trong toàn miền



và sự hội tụ đó là đều trong mọi miền con .



117



Chơng III: Phơng trình loại Hyperbol

Trong chơng này, ta nghiên cứu phơng trình loại hyperbol đơn giản, đó là phơng trình truyền

sóng. Dạng tổng quát của phơng trình truyền sóng:

n



utt = a2 ux x + f ( x1 ,..., xn , t ) ,

i =1



i i



trong đó t là biến thời gian ; (x1, ..., xn) Rn là biến không gian ; a là hằng số gọi là vận tốc truyền

sóng ; f là hàm của n + 1 biến. Nếu f = 0 thì ta có phơng trình truyền sóng thuần nhất. Để đơn giản ta

chỉ xét trờng hợp n 3.



Đ1. Bài toán cauchy của phơng trình truyền sóng và định lí duy nhất

nghiệm

Xét bài toán Cauchy

utt = a2 (uxx + uyy) + f(x, y, t)



(1.1)



u(x, y, 0) = (x, y)



(1.2)



ut(x, y, 0) = (x, y)



(1.3)



Mặt phẳng t = 0 gọi là mặt mang dữ kiện Cauchy. Họ các mặt đặc trng của phơng trình (1.1) là

họ mặt nón tròn xoay có trục song song với trục Ot và có phơng trình:

(x c1)2 + (y c2)2 a2(t c3)2 = 0,

(1.4)

trong đó A = (c1, c2, c3) là đỉnh của mặt nón.

Giả sử trên mặt t = 0, cho mặt nón B có phơng trình (x c1)2 +

(y c2)2 = R2. Có hai hình nón đối xứng qua mặt t = 0 và nhận B làm đáy, có mặt bên S là một

phần của mặt đặc trng trong họ (1.4). Gọi K là một trong hai hình nón đó, chẳng hạn hình nón có

đỉnh hớng theo chiều dơng của trục Ot.



118



Định lí duy nhất nghiệm

Giả sử u là nghiệm của bài toán (1.1) (1.2) (1.3) và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục

trong K = K S B . Khi đó nghiệm u đợc

xác định duy nhất trong K bởi các dữ kiện (1.2), (1.3) cho trớc trên đáy B.



Chứng minh. Nếu u1, u2 là hai nghiệm của bài toán thì u = u1 u2 là nghiệm của bài toán:

utt = a2 (uxx + uyy),



(1.5)



u(x, y, 0) = 0,



(1.6)



ut(x, y, 0) = 0.



(1.8)



Vậy ta chỉ cần chứng minh bài toán (1.5) (1.6) (1.7) chỉ có nghiệm



u = 0 trong K . Trong (1.5) ta có thể giả sử a = 1.

a) Chứng minh u = 0 tại A. Nhân phơng trình (1.5) với 2ut rồi lấy tích phân trên K, ta có:



I = 2utt ut (2ut uxx + 2ut uyy ) dxdydt = 0 .

K



Biến đổi

2uttu t = ( ut2 )t

2utuxx = 2(utux)x ( ux2 )t

2utuyy = 2(utuy)y ( uy2 )t.

Vậy

I=



(u



2

t



+ (ux2 + uy2 ))t 2(ut ux )x 2(ut uy )y dx dy dt = 0



K



áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

I =







{[ut2 + (ux2 + uy2 )] cos(n, t ) 2ut ux cos(n, x )



SB



2ut uy cos(n, y )}ds = 0,

trong đó n là vectơ pháp tuyến trong của S U B.

Trên đáy B, do (1.6) và 1.7 ta có :



ux |B = uy|B = ut|B = 0.

Mặt nón S có phơng trình

(u, x, t ) = t ( x c1 )2 + ( y c2 )2 = hằng số,

nên ta có 2t 2x 2y = 0 và



119



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§5. Bài toán dirichlet trong hình tròn

Tải bản đầy đủ ngay(159 tr)

×