Tải bản đầy đủ - 159 (trang)
§4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán dirichlet trong miền bị chặn Ω

§4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán dirichlet trong miền bị chặn Ω

Tải bản đầy đủ - 159trang

u S = v, SK = K

K



uK v ( X ) , X K

Chứng minh

Có thể xây dựng uK từ công thức Poisson (3.10)



(



)



P X 0 , s v ( s ) ds nếu X 0 K



uK(X 0) = SK

v X 0

nếu X 0 SK





( )



Theo chứng minh phần (3.3c) ta có uK là hàm điều hoà trên K và

uK(X 0) = v(X 0), với mọi X 0 SK.

Mặt khác v(X 0) uK(X 0) = 0, với mọi X 0 SK nên hàm v uK là hàm trên đối với = 0. Do đó

theo tính chất c) ta có



{( )



( )} = 0 ,



min v X 0 uK X 0



X0 K



( K = K SK)



hay

v(X0) uK(X 0), X 0 K .



Định lí 2. Giả sử v là hàm trên đối với trong và K là hình cầu mở trong . Khi đó nếu đặt :

uK ( X ) nếu X K

vK ( X ) =

v ( X ) nếu X



K



với uK đợc xây dựng trong định lí 1, thì vK cũng là hàm trên đối với trong .

Chứng minh

vK(X )



X SK = K



= v(X )



X SK



(X).



Ta sẽ chứng minh vK thoả mãn (4.1).

Với mọi X , nếu X K thì (4.1) nghiệm đúng vì vK(X) = uK(X). Nếu

X

K thì (4.1) cũng nghiệm đúng vì vK(X) = v(X) là hàm trên.

Nếu X SK, xét mặt cầu Sr(X) . Ta có :

vK(X ) = v(X)



1

4 r 2



v ( s ) ds .



Sr ( X )



Nhng theo định lí 1 ta có v(X) vK(X) với mọi X nên :

1

vK ( s ) ds .

vK(X)

4 r 2 Sr ( X )

Vậy vK là hàm trên đối với .



111



4.3. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) (3.2) bằng phơng pháp Poincaré

Person.

Gọi F là tập tất cả các hàm trên đối với trong miền . F vì mọi hàm v = c sup ( s ) đều

S



là hàm trên đối với , c là hằng số.

Với mọi X , đặt u(X) = inf v ( X ) .



(4.4)



vF



Khi đó, với giả thiết thích hợp trên , ta sẽ chứng minh rằng u là nghiệm của bài toán (3.1)

(3.2).

Trớc hết ta chứng minh u là hàm điều hoà trong hình cầu K bất kì chứa trong có tâm X 0.



Ta có inf v ( X 0 ) nên với mọi > 0, tồn tại v1 F sao cho :

vF



u(X 0) v1(X 0) < u(X 0) + ,



(1)



có thể giả thiết v1 là hàm điều hoà trong K vì nếu không ta có thể thay v1 bởi v1K , theo các định lí

1 và 2 thì v1k điều hoà trong K và v1K F.

Với





, tồn tại v2 F sao cho :

2

u(X 0) v2 (X 0) < u(X 0) +





.

2



Nếu đặt v2 = [min(v1, v2 )]K thì v2 là hàm điều hoà trong K và :

u(X 0) v2(X 0) < u(X 0) +





,

2



v2(X ) v1(X ), X .

Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng đợc một dãy giảm {vn} gồm các hàm thuộc F, điều hoà trong

K và :



u(X 0) vn + 1(X 0) vn(X 0) < u(X 0) + .

2

Khi đó dãy {vn } hội tụ trong K đến hàm v điều hoà trong K và v( X 0 ) = u( X 0 ) .

Ta sẽ chứng minh v( X ) = u( X ) với mọi X K .

Giả sử tồn tại X 1 K , X 1 X 0 sao cho v( X 1 ) u( X 1 ) . Do u( X 1 ) =



inf v( X 1 ) > u( X 1 ) nên v(X1)



v CalF



> u(X1). Suy ra tồn tại F sao cho u( X 1 ) ( X 1 ) < v( X 1 ) . Gọi K1 là hình cầu tâm X 0 có biên đi

qua X1. Ta có {vn } hội tụ đều đến hàm v trên K1 . Nếu đặt zn = min (w, vn) F thì {zn} hội tụ đến



z = min(, v) trong K1 . Khi đó znK = [min(, vn )]K1 là hàm điều hòa trong K1 và hội tụ đều đến

1



z K = [min(, v)]K1 trong K1. Ta có :

1



zK1 ( X 1 ) = z( X 1 ) < v( X 1 ) vì ( X 1 ) < v( X 1 ) .



112



áp dụng định lí giá trị trung bình đối với hàm zK1 trên K1 = SK1 ta có :

zK1 ( X 0 ) =

<



1

4 r 2

1

4 r 2



z



K1



ds =



SK1



1

4 r 2



v(s)ds = v( x



0



z(s)ds



SK1



) = u( x 0 ).



SK1



Nhng zK1 ( X 0 ) = lim znK ( X 0 ) u( X 0 ) . Điều này vô lí. Vậy u = v trên K, và vì K là hình cầu bất

n



1



kì trong . Tuy nhiên muốn hàm điều hoà u xác định bởi (4.4) là nghiệm của bài toán (3.1)

(3.2) ta phải có:

X 0 ,



lim u( X ) = ( X 0 )



X X0



điểm X 0 thoả mãn điều kiện này gọi là điểm đều đối với . Nh vậy nếu chỉ gồm những

điểm đều thì u là nghiệm của bài toán.

Mệnh đề sau đây là một điều kiện đủ cho tính đều của điểm X .

Nếu tại X tồn tại hàm X liên tục trong sao cho:

a) X là hàm điều hoà trên .

b) K ( X ) > 0, X và X X .

c ) K ( X ) = 0

Khi đó X là điểm đều của .



113



Đ5. bài toán dirichlet trong hình tròn



Trong phần này, ta sẽ dùng phơng pháp tách biến (phơng pháp Fourier) để tìm nghiệm của bài

toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị B1 R 3 có biên là đờng tròn đơn vị S1 .

u = 0



u S1 = f

Kí hiệu s là độ dài cung trên S1 tính từ một điểm cố định nào đó.

f : S1 R



s



f ( s)



là hàm liên tục cho trớc, ta giả thiết f (0) = f (2 ) .

Phơng trình Laplace u = 0 trong toạ độ cực có dạng:

2 u 1 u

1 2u

+

+

= 0.

2 2 2



(5.1)



Ta hãy tìm nghiệm của (5.1) dới dạng tách biến:

u( , ) = R ().() 0.



(5.2)



Thay (5.2) vào (5.1) ta có:

2

R + R R = 0



=0

+



(5.3)

(5.4)



Đối với hàm ta có



bài toán sau :

+ = 0



= (2 )

(0)

a) Nếu = 0 bài toán có nghiệm () = hằng số.

b) Nếu < 0 bài toán có nghiệm tầm thờng () = 0 .

c) Nếu > 0 , phơng trình đặc trng k 2 + = 0 của (5.4) có nghiệm phức k1,2 = i .

Khi đó nghiệm tổng quát của (5.4) có dạng :

() = C1 cos + C2 sin .

Kết hợp với điều kiện (0) = (2) ta phải có



114



cos 2 = 1





sin 2 = 0



2 = 2 n, n Z .



Vậy = n 2 , n Z , và () có dạng

n () = an cos n + bn sin n .

Với = n 2 , phơng trình (5.3) có hai nghiệm độc lập tuyến tính R1 = n và R2 =



1

. Chọn

n



nghiệm liên tục trong B1 là R1 = n , khi đó nghiệm liên tục trong B1 của phơng trình (5.1) là :



un( , ) = n(ancosn + bnsinn).

Với = 0, phơng trình (5.1) có nghiệm u0 =



a0

(là hằng số).

2



Lập chuỗi



un ( , ) =



a0

+

2







(a

n



n



n =1



cos n + bn sin n)



(5.5)



Nếu an, bn bị chặn bất kì, chuỗi (5.5) hội tụ tại mọi điểm ( , ) B1 và ta có thể chứng minh

đợc u( , ) là hàm điều hoà trong B1.

Mặt khác, trong (5.5), cho = 1 muốn u(1, ) = f () ta phải có



f () =



a0

+

2







(a

n



n =1



n



cos n + bn sin n) .



Đẳng thức này xẩy ra khi a0, an, bn, là các hệ số Fourier của hàm f, tức là :



a0 =

an =



1



1





1

bn =





2



f ()d,

0



2



f () cos nd,

0



2



f ()sin nd .



(5.6)



0



Hàm u( , ) xác định bởi chuỗi (5.5), trong đó các hệ số a0 , an , bn xác định bởi (5.6) là một hàm

liên tục trên B1 và là nghiệm của bài toán (3.1) (3.2) trong hình tròn B1 chứa trong R2.



115



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán dirichlet trong miền bị chặn Ω

Tải bản đầy đủ ngay(159 tr)

×