Tải bản đầy đủ - 39 (trang)
Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Tải bản đầy đủ - 39trang

1.2. Nếu D xácđịnh bở bởi



g, h liên tục trên [a; b] thì:



Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng và có

cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo

biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là

đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng và có

cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo

biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là

đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

Phương pháp (áp dụng định lý Fubini):

Bước 1: Vẽ miền lấy tích phân D

Bước 2: Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy)

12



không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền

đều không có phần trong chung.

Bước 3: Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu miền D

không có cùng 1 đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền

nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1 đường vào và 1 đường ra.

Bước 4: Áp dụng công thức (1.1) hoặc (1.2) tính tích phân hai lớp theo

phương Oy (hoặc Ox).



Ví dụ 1: Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:



Trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ đến 1 của nửa dưới đường

tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:



Giải

Ta có miền D giới hạn bỏi các đường:

Theo phương Oy ta có

D là miền đều trong khoảng và có cùng đường vào và cùng đường ra y = 0.

Do đó ta có:

13



Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox trong đoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái

của D gồm 2 đoạn AB và BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường

vào) và đường bên phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình

khác nhau (kông cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ

nên ta phải chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường

thẳng song song với trục Ox: (BE): y = -1, (CD):

Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1 và y = 0, đường vào có

phương trình và đường ra có phương trình: x = 1.

Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng và y = -1, đường vào có phương

trình và đường ra có phương trình: x = 1.

Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến , đường vào có phương trình

và đường ra có phương trìnhh:

Vậy:



Ví dụ 2: Tính

,

D là miền giới hạn bởi các đường:

Giải



14



Toạ độ giao điểm của 2 đường là A(2;-2) và C(8;4) và miền D được xác định

như hình bên. Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng đường vào là và

cùng 1 đường ra là x=y+4

Do đó:



Vậy



Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là

và có chung 1 đường ra là

Do đó, ta chia miền D thành 2 mền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có

chung 1 đường vào và 1 đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:



Vậy ta có :



Nhận xét:

1.Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có

tính đối xứng, hay dựa vào đồ thi ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó,

nếu hàm f(x,y) là hàm lẽ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x,y) là hàm chẵn

15



theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1’ (D1’ là miền D1 ứng

với y>0)

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x,y) =f(x,y) thì:



(Với D1 là phần của D ứng với y>0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(xy)= - f(x,-y) thì :



2.Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:



(với D’ là phần của D ứng với x> 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:



3.Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) =

f(-x;-y) thì:

(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

4.Giả sử và f(x,y)=h(x).g(y) thì:

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích

phân đơn)

5. Kết quả quan trọng:



2. Đổi biến số trong tích phân hai lớp

Phương pháp đổi biến số:

2.1. Phép đổi biến:

Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxy sang tọa

 x = x(u , v )



độ cong O’uv theo công thức biến đổi  y = y (u, v) (*) thỏa mãn ba điều kiện sau:



16



a) Các hàm x(u,v) và y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền ảnh D ’

(trong tọa độ O’uv)

b) Jacôbiên của phép biến đổi không triệt tiêu trong D’:

J=



xu'

yu'



xv'

≠0

yv'



c) Phép biến đổi (*) đơn trị một – một (nghĩa là các điểm khác nhau của D ’

tương ứng với các điểm khác nhau của D )

Trong trường hợp này tích phân hai lớp được tính theo công thức:

I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x (u , v), y (u , v)]. | J | dudv

D′



D



2.2 Đổi biến sang tọa độ cực:

 x = rcosϕ



Đặt:  y = r sin ϕ trong toàn không gian có



0 ≤ r < +∞



0 ≤ ϕ < 2π thì |J|= r và có công



thức:

I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f [r cos ϕ , rsinϕ ].rdrdϕ

D′



D



Nhận xét:



1) Nếu miền lấy tích phân là miền D = {( r , ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r (ϕ1 ) ≤ r ≤ r (ϕ2 )} thì

ϕ2



r (ϕ 2 )



ϕ1



r (ϕ1 )



I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ

D







f (rcosϕ , r sin ϕ )dr



(trong đó r (ϕ ) là phương trình đường cực của đường cong giới hạn miền D)

2) Đổi biến sang tọa độ cực suy rộng đối với miền D là hình elíp

 x = x0 + arcosϕ

( x − x0 )2 ( y − y0 )2



+

=

1

y = y0 + br sin ϕ

a2

b2

: 

trong toàn không gian có



Khi đó |J|= |ab|r và



0 ≤ r < +∞



0 ≤ ϕ < 2π .



I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x 0 + ar cos ϕ , y0 +brsinϕ ]. ab rdrdϕ

D



D′



(Đường tròn là một trường hợp riêng của hình elíp; thực chất, có thể coi đổi biến

 x = x0 + au



y = y0 + bv

sang tọa độ cực suy rộng là 2 lần đổi biến 





u = rcosϕ



v = r sin ϕ



).



Các bước tiến hành áp dụng phép đổi biến tính tích phân:

17



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Tải bản đầy đủ ngay(39 tr)

×