Tải bản đầy đủ - 39 (trang)
Chương I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chương I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải bản đầy đủ - 39trang

2. Tích phân hai lớp

2.1. Định nghĩa tích phân hai lớp (Tích phân kép )



7



Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kính D giới hạn bởi đường L (đóng và bị

chặn; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín,và các điểm trên biên L

được coi là thuộc D).

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z f(x,y)( f(x,y))

xác định và liên tục trong miền D.

Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là và mỗi miền

có đường kính là ( đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm

thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: = {d(x,y); }).

Lấy trên mỗi miền 1 điểm (,) khi đó trên mỗi miền thì hình trụ sẽ xấp xỉ với

hình trụ có đáy và chiều cao là f(,).Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D

và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bời:



Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch) miền D và

cách chọn điểm Pi . Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích

hình trụ càng chình xác. Nghĩa là, đường kính d i của mỗi miền càng nhỏ (càng

tiến về 0 ) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho n sao cho max(, khi đó, nếu tổng V n tiến đến 1 giá trị hữu hạn V

không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm P i thì giới hạn V đó

được gọi là tích phân hai lớp của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu:



Trong đó: Hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới của dấu tích phân, D được gọi

là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

8



2.2.Tính chất của tích phân hai lớp (Tích phân kép )

Giả sử f(x,y) và g(x,y) là các hàm khả tích trên D, ta có:



3) Nếu D có thể chia thành hai miền không có điểm trong chung thì:



4) Nếu f(x,y) với mọi (x,y) thì:



5) Nếu m f(x,y) với mọi (x,y) thì:



6) Nếu f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì có ít nhất một điểm (

sao cho



2.3. Cách tính phân hai lớp

2.3.1.Tích phân lặp

Cho f(x,y) là hàm hai biến xác định trên hình chữ nhật D={(x,y)

Định nghĩa:



gọi là tích phân lặp của hàm hai biến f(x,y) trên D.

Ta có công thức về đổi thứ tự trong tích phân lặp



Công thức tính:



Trường hợp 1:

Giả sử miền D được xác định bởi:

9



D= {(x,y); a; v(x) trong đó u(x), v(x) là các hàm số liên tục.



Trường hợp 2:

Giả sử miền D được giới hạn bởi các đường y=c, y=d, x=h(y), x=k(y).



2.4. Đổi biến số trong tọa độ cực

2.4.1 Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho tia 0x, vecto đơn vị gọi là trục cực.Toạ độ cựa của điểm

M trong mặt phẳng là cặp số (r,)= OM, =( , ). Nếu trong toạ độ Đề-các vuông

góc với O, trục Ox trùng với trục cực và M(x,y) thì:



2.4.2 Đổi biến ra tọa độ cực

Đặt



Với D’ là tạo ảnh của D qua song ánh (r, ϕ) a (x, y) , ta có công thức đổi biến:



2.4.3 Đổi biến trong toa độ cực suy rộng

Đổi khi gặp biểu thức , ta thường đặt là:



J=r, r và phải xác định theo góc cực I (



Đôi khi biểu thức:, ta thường đặt:

=abr



10



Chương II: CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ ỨNG DỤNG

1. Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Cách tính (Định lý Fubini)

1.1 Nếu D xác định bởi g, h liên tục trên [a; b] thì:



11



1.2. Nếu D xácđịnh bở bởi



g, h liên tục trên [a; b] thì:



Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng và có

cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo

biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là

đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng và có

cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo

biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là

đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

Phương pháp (áp dụng định lý Fubini):

Bước 1: Vẽ miền lấy tích phân D

Bước 2: Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy)

12



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải bản đầy đủ ngay(39 tr)

×