Tải bản đầy đủ - 683 (trang)
Hạng của một hệ véctơ

Hạng của một hệ véctơ

Tải bản đầy đủ - 683trang

Tổng và giao các không gian con



Định nghĩa



Định nghĩa

Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian

véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 =

= {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được

gọi là tổng của F1 và F2.

Định lý

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con

của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

32CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con



Định nghĩa

Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian

véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực

tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký

hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.

Ví dụ

K = R, E = R3, các không gian véctơ con

F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có

F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

33CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Phần bù của không gian con



Định nghĩa

Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E

được gọi là bù nhau trong E





F1 + F2 = E

⇔ F1 ⊕ F2 = E .

F1 F2 = {0}



Ví dụ

K = R, E = R2, các không gian véctơ con

F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0}

và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

34CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Phần bù của không gian con



Số chiều của phần bù của không gian con



Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,

dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của

E , dim(F ) = p(p n). Khi đó

F có ít nhất một phần bù trong E

Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

1



2



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

35CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Phần bù của không gian con



Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là

2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.

Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E

nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của

E ⇒ dim(H) = p n. Mặt khác H = F ⊕ G nên

G là phần bù của F trong H

⇒ dim(G ) = p − dim(F ),

⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

36CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Phần bù của không gian con



Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,

F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của

E có tổng trực tiếp. Khi đó

m



dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm ) =



dim(Fi ).

i=1



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

37CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Phần bù của không gian con



Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là

2 không gian véctơ con của E . Nếu

F ⊂G

⇒ F = G.

dim(F ) = dim(G )

Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G

và dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0

⇒ H = {0}.

Vậy G = F + H = F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

38CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con



Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không

gian con



Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là

những không gian véctơ con của E . Khi đó

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

39CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Ví dụ



Ví dụ

Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1),

u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8),

u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3),

v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9),

v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > và

V =< v1, v2, v3, v4 > . Tìm cơ sở và chiều của

không gian U + V và U ∩ V .



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

40CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Ví dụ



Tìmcơ sở của U 



1 2 1 1

1







3 6 5 7 

0



→

4 8 6 8 

0

8 16 12 16

0



2

0

0

0



1

2

0

0







1



4



0

0



Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là

{(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)}



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

41CON

/ 53



Tổng và giao các không gian con



Ví dụ



Tìm

 cơ sở của V 



1 3 3 3

1







2 5 8 6 

0



→

3 8 8 9 

0

6 16 16 18

0



3

−1

0

0



3

−1

0

0







3



0



0

0



Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là

{(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

42CON

/ 53



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Hạng của một hệ véctơ

Tải bản đầy đủ ngay(683 tr)

×