Tải bản đầy đủ - 683 (trang)
Định nghĩa không gian véctơ con

Định nghĩa không gian véctơ con

Tải bản đầy đủ - 683trang

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Định nghĩa không gian véctơ con



Định lý

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một

K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

+:F ×F →F

(x, y ) −→ x + y

•:K ×F →F

(λ, x) −→ λ.x

cảm sinh bởi các luật của E .

1



2



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.

KHÔNG

HCM GIAN

— 2013.

VÉCTƠ6CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



Ví dụ

F = R × {0} = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 = 0} là 1

không gian véctơ con của R−kgv R2.

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. Với mọi

x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì



x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.

KHÔNG

HCM GIAN

— 2013.

VÉCTƠ7CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



Ví dụ

F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1

không gian véctơ con của R−kgv R3.

Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅.

∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒

2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó,

suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),

2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =

(2x1 −2x2 +x3)+(2y1 −2y2 +y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.

KHÔNG

HCM GIAN

— 2013.

VÉCTƠ8CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó

2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0

⇒ λx ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R3.



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.

KHÔNG

HCM GIAN

— 2013.

VÉCTƠ9CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



Ví dụ

F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1 +2x2 +x3 = 1}

không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F

thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và

(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =

(x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do

đó x + y ∈

/ F.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

10CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Bao tuyến tính



Bao tuyến tính



Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E , E − là một K -kgv.

Khi đó W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x =

n



λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không

i=1



gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến

tính của tập {x1, x2, . . . , xn }. Kí hiệu

W = span(S)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

11CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Bao tuyến tính



Chứng minh

0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W

⇒ W = ∅.

1



n



2



∀x, y ∈ W ⇒ x + y =



n



λi xi +

i=1



n



γi x i =

i=1



(λi + γi )xi ⇒ x + y ∈ W .

i=1

3



n



∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ



λi xi =

i=1



n



(λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1



Vậy W là một không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

12CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



Ví dụ

Trong R − kgv R3 cho

M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định

.

Giải.

< M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) +

λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x =

(λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

13CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Ví dụ



Ví dụ

Trong R − kgv P2(x) cho

M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

Giải.

< M >= {λ1(x −2)+λ2(x −2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} =

{λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

14CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Hệ quả

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không

gian véctơ con của E thì dim(F ) n.

Chứng minh.

Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính

của F đều có số phần tử n.

Gọi B = {x1, x2, . . . , xk }(k n) là 1 tập con

độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn

nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ

cần chứng minh B là tập sinh của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

15CON

/ 53



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con



Chứng minh B là tập sinh của F .



Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F

B = {x1, x2, . . . , xk } (k < n) ĐLTT, x không là

THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT

Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần

tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn

nhất).

Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của

những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

16CON

/ 53



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Định nghĩa không gian véctơ con

Tải bản đầy đủ ngay(683 tr)

×