Tải bản đầy đủ
3 Mật độ phổ của phép biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng

3 Mật độ phổ của phép biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng

Tải bản đầy đủ

Thật vậy, mỗi thể hiện yi(t) của quá trình ngẫu nhiên Y(t), kết quả tác dụng toán tử
L lên hm không ngẫu nhiên xi(t) l thể hiện tơng ứng của quá trình ngẫu nhiên X(t),
v do đó đối với chúng hệ thức (4.3.2) l đúng, khi đó nó cũng đúng đối với tập tất cả các
thể hiện.
Trong trờng hợp toán tử tuyến tính L đợc cho dới hình thức một bộ biến đổi
thực no đó, thì nguyên tắc cần thoả mãn l khả năng thực hiện đợc về mặt vật lý, m
theo đó phản ứng của bộ biến đổi lên tác dụng lối vo không thể xuất hiện trớc khi bắt
đầu có tác động xảy ra, tức l hm trọng lợng g(t) cần phải đồng nhất bằng 0 khi t<.
Xuất phát từ đó, đối với bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dới dạng

Y (t ) =

t

g (t )X ( )d

(4.3.3)



Thực hiện phép đổi biến t=1, ta đợc


Y (t ) = g ( )X (t )d

(4.3.4)

0

g(t)=0

khi t <0

Ta xác định hm tơng quan quá trình ngẫu nhiên Y(t).

R y (t1 , t 2 ) = M [Y (t1 )Y (t1 )] =




= M g ( 1 )X (t1 1 )d 1 g ( 2 )X (t 2 2 )d 2 =
0
0




= g ( 1 ) g ( 2 )M [ X (t1 1 )X (t 2 2 )]d 2 d 1 =
0
0





0

0

= g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx (t 2 t1 2 + 1 )d 2

(4.3.5)

Từ đó thấy rằng, hm tơng quan Ry(t1,t2) chỉ phụ thuộc vo hiệu t2t1=, tức Y(t) l
quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng.




0

0

R x ( ) = g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx ( 2 + 1 )d 2

(4.3.6)

Ta xác định mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Y(t)

1
S y ( ) =
2
1
=
2



e

i





R ( )e
y

i

d =







0

0

d g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx ( 2 + 1 )d 2

(4.3.7)

Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân ba lớp v lm phép đổi biến 2+1=t,
ta nhận đợc tích của ba tích phân một lớp

S y ( ) =







1
g ( 1 )e i 1 d 1 g ( 2 )e i 2 d 2 Rx (t )e it dt .

2 0
0


109

(4.3.8)

Khi đó thừa số


Tích phân



1
2

R (t )e

dt = S x ( ) l mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t).



g ( )e
2

it

x

i 2

d 2 = L( ) l hm truyền của toán tử L. Vì hm trọng lợng

0



chỉ nhận các giá trị thực, nên tích phân


g ( )e d
i

1

1

1

= L * ( ) l đại lợng liên hợp phức

0

của hm truyền. Nh vậy, công thức (4.3.8) có thể viết dới dạng

S y ( ) = L( )L * ( )Sx ( )

(4.3.9)

S y ( ) = L( ) Sx ( )

(4.3.10)

hay
2

Do vậy, mật độ phổ của kết quả biến đổi quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) nhờ toán
tử tuyến tính dừng L bằng tích mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên v bình phơng
modul hm truyền của toán tử.

4.4.

nghiệm dừng
có hệ số hằng số

của

phơng

trình

vi

phân

tuyến

tính

Để lm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số
hằng số

an

d n y (t )
d n1 y (t )
dy (t )
+
a
+ ..... + a1
+ a0 y (t ) =
n 1
n
n 1
dt
dt
dt

= bm

d m x(t )
d m1 x(t )
dx(t )
+
b
+ ..... + b1
+ b0 x(t )
m 1
m
m 1
dt
dt
dx

(4.4.1)

Nh đã biết từ lý thuyết phơng trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng
quát của phơng trình (4.4.1) bằng tổng của nghiệm tổng quát y (t ) của phơng trình
thuần nhất tơng ứng v một nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình không thuần nhất.
Nghiệm y (t ) xác định cái gọi l dao động tự do hay dao động riêng của quá trình đang
xét, không phụ thuộc vo hm x(t). Trên thực tế thờng gặp những quá trình ổn định
trong đó dao động tự do tắt dần theo thời gian.
Nếu xét một thời điểm khá xa so với thời điểm ban đầu, khi m các dao động tự do
trên thực tế không còn tồn tại, ta có thể đặt y (t ) = 0. Khi đó, bi toán dẫn tới việc tìm
dao động cỡng bức y(t) gây nên bởi x(t). Ngời ta gọi quá trình nh vậy l ổn định để
phân biệt với quá trình chuyển tiếp m ở đó còn tồn tại dao động tự do.
Ta ký hiệu toán tử vi phân bằng chữ cái p, tức l

p=

d
d2
dn
, p 2 = 2 , ....., p n = n .
dt
dt
dt

Khi đó có thể viết phơng trình (4.4.1) dới dạng ký hiệu
(anpn+ an-1pn-1 +...+a1p+a0)y(t)=(bmpm+ bm-1pm-1 +...+b1p+b0)x(t) (4.4.3)
Đặt
anpn+ an-1pn-1 +...+a1p+a0=An(p)

110

(4.4.2)

bmpm+ bm-1pm-1 +...+b1p+b0=Bm(p)

(4.4.4)

ta có thể viết (4.4.3) dới dạng ký hiệu gọn hơn nữa

Bm ( p )
x(t )
An ( p )

y (t ) =
Biểu thức

(4.4.5)

Bm ( p)
l toán tử phơng trình vi phân (4.4.1) đợc viết dới dạng ký
An ( p)

hiệu. Có thể nói rằng hm y(t) l kết quả tác dụng toán tử đó lên hm x(t). Vì phơng
trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi thoả mãn nguyên lý chồng chất, tức nếu x(t)
l tổng của một số hm thì nghiệm y(t) bằng tổng các nghiệm của mỗi hạng tử riêng rẽ,
nên toán tử đang xét l tuyến tính. V khi đó, từ những điều đã trình by ở mục 4.2, có
thể tìm nghiệm y(t), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính (4.4.5) lên hm x(t),
theo công thức (4.2.12) dới dạng:

y (t ) =



g (t )x( )d ,

(4.4.6)



nếu nh đã biết hm trọng lợng g(t) l nghiệm của phơng trình vi phân (4.4.1), trong
đó hm delta (t) đóng vai trò l x(t).
Nh vậy, để tìm nghiệm y(t) của phơng trình (4.4.1) cần tìm nghiệm của phơng
trình

g (t ) =

Bm ( p )
(t )
An ( p )

(4.4.7)

đối với mọi giá trị t khi cố định v đặt hm g(t) tìm đợc vo (4.4.6).
Thuận tiện hơn sẽ tìm nghiệm y(t) dới dạng phổ khi sử dụng công thức liên hệ
(4.2.21) giữa mật độ phổ của các hm x(t) v y(t). Khi đó cần phải tìm hm truyền L()
của toán tử

Bm ( p)
.
An ( p)

Để tìm hm truyền L() ta xem x(t) l dao động điều ho
x(t)=eit

(4.4.8)

Khi đó, theo (4.4.6), nghiệm y(t) đợc viết dới dạng

y (t ) =



g (t )e

i

d =



=e

it





g ( )e

i (t )

d =



g ( )e

i

d = e it L( )

(4.4.9)



Ta thay (4.4.8) v (4.4.9) vo (4.4.1). Vì

d k it
k
e = (i ) eit
k
dt

[

]

d k it
k
e L( ) = (i ) L( )e it
k
dt
nên ta có
[an(i)n+ an-1(i)n-1+...+ a1(i)+a0]L()eit=
111

(4.4.10)
(4.4.11)

=[bm(i)m+ bm-1(i)m-1+...+ b1(i)+b0]eit

(4.4.12)

Từ đó ta nhận đợc biểu thức đối với hm truyền

L( ) =

bm (i ) + bm1 (i ) + ... + b1 (i ) + b0
n
n 1
an (i ) + an1 (i ) + ... + a1 (i ) + a0
m1

m

(4.4.13)

Khi sử dụng ký hiệu (4.4.4) có thể viết

Bm (i )
An (i )

L( ) =

(4.4.14)

Nh vậy, để xác định hm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vo
toán tử phơng trình vi phân đại lợng i.
Khi thay biểu thức tìm đợc của hm truyền vo (4.2.21), ta nhận đợc biểu thức
đối với mật độ phổ Sy() của nghiệm phơng trình vi phân

S y ( ) =

Bm (i )
S x ( )
An (i )

(4.4.15)

trong đó Sx() l mật độ phổ của hm x(t).
Bây giờ ta xét trờng hợp khi m x(t) trong phơng trình (4.1.4) l quá trình ngẫu
nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học bằng 0 v hm tơng quan l Rx(). Ta sẽ xác định
hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên Y(t) l nghiệm của phơng trình (4.4.1).
Vì Y(t) l kết quả tác dụng toán tử tuyến tính

Bm ( p)
lên hm ngẫu nhiên dừng
An ( p)

X(t), nên, từ những điều đã trình by trong mục 4.3, Y(t) cũng l hm ngẫu nhiên dừng.
Khi đó giữa mật độ phổ của các hm ngẫu nhiên X(t) v Y(t) xảy ra hệ thức (4.3.10).
Đặt giá trị tìm đợc của hm truyền của phơng trình vi phân (4.4.14) vo (4.3.10)
ta đợc
2

B (i )
S y ( ) = m
S x ( ) .
An (i )

(4.4.16)

Khi biết mật độ phổ Sy(), ta có thể tìm đợc hm tơng quan Ry() của hm ngẫu
nhiên Y(t) theo công thức

R y ( ) =




S ( )e d
i

y

(4.4.17)



Các ví dụ
1. Với những giả thiết nhất định, chuyển động một chiều (hình chiếu trên trục cho
trớc) trong mặt phẳng ngang của phần tử trong dòng khí có thể đợc mô tả bởi phơng
trình

m

dv(t )
+ bv(t ) = F (t )
dt

(4.4.18)

ở đây v(t) l hình chiếu của xung vận tốc phần tử trên trục đã cho, còn F(t) l hình chiếu
của lực tác động lên phần tử do ảnh hởng của rối khí quyển, thnh phần bv(t) đặc trng
cho lực ma sát.
Nếu chia (4.4.18) cho khối lợng phần tử m, thì phơng trình đợc viết dới dạng

112

dv(t )
+ v(t ) = F1 (t )
dt

(4.4.19)

Phơng trình (4.4.19) l phơng trình Lanjeven.
Ta sẽ cho rằng lực F1(t) l hm ngẫu nhiên dừng của thời gian m mật độ phổ của
nó Sf() có thể nhận giá trị hằng số, tức l "ồn trắng".
Sf()=c=const

(4.4.20)

Nh ta đã chỉ ra (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ không thể hằng số trên ton
dải tần số, vì nếu vậy phơng sai của quá trình ngẫu nhiên trở nên vô hạn. Giả thiết
rằng mật độ phổ có dạng đờng cong (hình 4.2) ít thay đổi trong một khoảng [T, T] no
đó v một cách gần đúng có thể xem nó l hằng số.
Khi tần số tiến đến vô hạn, S() tiến đến 0 rất nhanh, đảm bảo tính hội tụ của


tích phân

S ( )d .



Hình 4.2

Ta tìm hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên V(t) l nghiệm của phơng trình
(4.4.9) ở chế độ ổn định.
Muốn vậy, ta xác định hm truyền của phơng trình (4.4.9) khi viết nó dới dạng
ký hiệu

V (t ) =

1
F1 (t ) .
p +

(4.4.21)

Đối với phơng trình (4.4.21) hm truyền đợc viết dới dạng

L( ) =

1
.
i +

(4.4.22)

Từ đó ta nhận đợc mật độ phổ Sv() của nghiệm V(t) dới dạng

S v ( ) =

2

1
S f ( )
i +

(4.4.23)

c
.
+2

(4.4.24)

hay

S v ( ) =

2

Từ công thức (4.4.24) thấy rằng, Sv() giảm khi tăng, v dải tần số lớn, ở đó trị số
Sf() khác giá trị c m ta đã thừa nhận, không quan trọng.
Khi biết mật độ phổ Sv() ta có thể tìm đợc hm tơng quan Rv().
Trong ví dụ 1 mục 3.2 ta đã thấy rằng mật độ phổ

113

S ( ) =

2
( 2 + 2 )

tơng ứng với hm tơng quan

R ( ) = 2 e



2
c
, ta nhận đợc hm tơng
So sánh với (4.4.24) ta thấy = c , từ đó 2 =


quan của nghiệm phơng trình (4.4.19) dới dạng

Rv ( ) =

c
e


(4.4.25)

Trong mục 2.9 ta đã chứng tỏ rằng, quá trình ngẫu nhiên có hm tơng quan dạng
(4.4.25) l không khả vi. Cho nên cần lm chính xác ý nghĩa của phơng trình (4.4.19).
Tính không khả vi của quá trình V(t) l hệ quả của việc do ta nhận F(t) l "ồn trắng" có
mật độ phổ không đổi.
Trong trờng hợp ny, cách giải chính xác hơn l xét nghiệm phơng trình (4.4.19)
nh giới hạn của một dãy nghiệm no đó của phơng trình ny với vế phải dừng m mật
độ phổ của chúng tiến đến một hằng số.
2. Ta xét nghiệm dừng của phơng trình vi phân

d 2 y (t )
dy (t )
+ 2
+ k 2 y (t ) = F (t )
2
dt
dt

(4.4.26)

Phơng trình dạng (4.4.26) mô tả nhiều quá trình dao động vật lý. Đặc biệt, phơng
trình (4.4.26) mô tả chuyển động Brown của các phần tử. Trong trờng hợp ny y(t) l
toạ độ phần tử tại thời điểm t; 2

dy
l ma sát nhớt, gây nên sự cản trở chuyển động của
dt

phần tử, >0; k2y lực đn hồi; F(t) lực xáo trộn đợc xác định bởi sự dao động của số
lợng các va chạm phân tử.
Giả sử rằng, lực F(t) l quá trình ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ không đổi Sf() =
c. Theo (4.4.14), hm truyền của phơng trình (4.4.26) có dạng

L( ) =

1
1
= 2
2
2
(i ) + 2i + k k + 2i
2

(4.4.27)

Theo (4.4.16), mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên dừng Y(t), nghiệm của phơng
trình (4.4.26), đợc xác định dới dạng

S y ( ) =

2

1
c
c=
2
2
2
2
2
2
k + 2i
k + (2i )

(

)

(4.4.28)

Bằng cách ký hiệu

k 2 = 2 + 2, c =

2 2 k 2



(4.4.29)

có thể viết biểu thức (4.4.28) dới dạng

S y ( ) =

2 2



(

2 + 2
2

2 2

114

)

2

+ 4 2 2

(4.4.30)

Mật độ phổ ny (nh đã chỉ ra trong mục 3.2, ví dụ 5) tơng ứng với hm tơng
quan

R y ( ) = 2 e





cos + sin




.


(4.4.31)

Từ (4.4.29), biểu diễn v qua các hệ số của phơng trình
=

k2 2 ,

2 =

c
,
2k 2

(4.4.32)

ta viết hm tơng quan (4.4.31) dới dạng
Ry() =

c
2k

2

e





cos k 2 2 +
sin k 2 2

2
2
k







(4.4.33)

Quá trình ngẫu nhiên Y(t) có hm tơng quan dạng (4.4.31) l khả vi, tuy nhiên có
thể chỉ ra rằng nó không tồn tại đạo hm bậc hai. Vì vậy, cần xét nghiệm của phơng
trình (4.4.26) theo nghĩa nh đã chỉ ra đối với phơng trình (4.4.19).

Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên
5.1. Đặt bi toán
Ta hãy xét một vi bi toán thờng gặp trong khí tợng thuỷ văn.
1. Ngoại suy
Giả sử có một thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) trên khoảng biến đổi no
đó của tham số [a,t] xảy ra trớc thời điểm t. Giả thiết rằng các đặc trng của quá trình
ngẫu nhiên X(t) kỳ vọng toán học v hm tơng quan của nó, đã biết. Yêu cầu dự báo
giá trị x(t+T) của thể hiện ny tại thời điểm tiếp theo t+T no đó, T>0. Ngời ta gọi đại
lợng T l lợng ngắm đón.
Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên. Do giả thiết rằng
thể hiện x(t) đợc xác định chính xác, không có sai số đo, nên bi toán ny đợc gọi l bi
toán ngoại suy thuần tuý.
2. Lm trơn
Giả sử thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định nhờ kết quả thực
nghiệm, trên khoảng biến đổi [a,t] của tham số t, với sai số y(t) l thể hiện của quá trình
ngẫu nhiên Y(t), tức l do thực nghiệm ta nhận đợc thể hiện z(t) = x(t) + y(t), với x(t) l
giá trị thực của thể hiện, y(t) l sai số đo. Giả thiết rằng đã biết các đặc trng của các
quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t), nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng
quan quan hệ. Yêu cầu xác định giá trị thực của thể hiện x(t) tại thời điểm t no đó, có
nghĩa l tách nó ra khỏi sai số đo.
Bi toán ny gọi l bi toán lm trơn (lọc) quá trình ngẫu nhiên. Nó xuất hiện,
chẳng hạn, khi tách các tín hiệu hữu ích trên nền nhiễu trong kỹ thuật vô tuyến, trong
đó ngời ta gọi giá trị thực l các tín hiệu hữu ích, còn sai số lm méo tín hiệu đợc gọi l

115

nhiễu hay ồn.
Trong khí tợng thuỷ văn bi toán ny nảy sinh về cơ bản giống nh bi toán loại
bỏ sai số đo khi chỉnh lý các số liệu thực nghiệm. Khi đó có sự khác nhau cơ bản giữa bi
toán lm trơn số liệu thực nghiệm v bi toán tách tín hiệu trong kỹ thuật vô tuyến.
Trong kỹ thuật vô tuyến, v nói chung trong lý thuyết hệ điều khiển tự động, ngời ta
giả thiết rằng, nếu tín hiệu đi qua một thiết bị đợc sử dụng để lm trơn tín hiệu thì ở
thời điểm t no đó chỉ có những giá trị của tín hiệu trớc thời điểm ny đi qua, m không
thể tính đến những giá trị về sau của nó. Vấn đề ở chỗ cái gọi l nguyên lý nhân quả về
mặt vật lý của hệ. Khi đó, để nhận đợc giá trị x(t) phải tiến hnh lm trơn thể hiện z(t)
trên khoảng [a,t] no đó xảy ra trớc thời điểm ny.
Khi lm trơn các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý,
không sử dụng các thiết bị vật lý, chúng ta sẽ không bị phụ thuộc vo các điều kiện ny
v có thể sử dụng tất cả các giá trị của thể hiện z(t) đã có để lm trơn, tức l giá trị cần
tìm x(t) tại thời điểm t có thể đợc xác định bằng cách lm trơn các giá trị của thể hiện
z(t) trên ton đoạn [a,b].
3. Ngoại suy có lm trơn
Bi toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc lm trơn, vì trên thực tế ta luôn luôn
nhận đợc thể hiện của quá trình ngẫu nhiên m ta quan tâm có chứa cả sai số đo trong
đó. Khi đó bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên l ở chỗ, với thể hiện đã có trên đoạn
[a,t]
z(t) = x(t) + y(t)
phải dự báo đợc giá trị của thể hiện x(t) tại thời điểm t+T, T>0. Bi toán ny đợc gọi l
bi toán ngoại suy có lm trơn. Khi T<0 thì bi toán gọi l nội suy có lm trơn.
Trên thực tế, bi toán nội suy thờng xuất hiện trong các trờng hợp do thực
nghiệm giá trị của thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên đợc cho tại chuỗi những giá
trị rời rạc của đối số t1, t2,..., tn trong khoảng [a,b] no đó, v yêu cầu xác định giá trị của
thể hiện x(t) tại các thời điểm trong khoảng. Khi không có sai số đo y(t), nó đợc gọi l
bi toán nội suy thuần tuý, khi có sai số đo bi toán nội suy có lm trơn.
Khi nội suy các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý, ta
cũng có thể sử dụng tất cả các giá trị đã cho của thể hiện z(t), cả trớc v sau thời điểm t.
Có thể xét các bi toán nội, ngoại suy v lm trơn nh một bi toán chung xác định
giá trị thực của thể hiện x(t) tại giá trị tham số to no đó theo các giá trị đã biết của thể
hiện
z(t) = x(t) + y(t)
trên khoảng [a,b] no đó.
Phát biểu toán học của bi toán ngoại suy (nội suy) v lm trơn nh sau. Cho biết
thể hiện
z(t) = x(t) + y(t)

(5.1.1)

trên khoảng biến đổi của tham số [a,b] no đó, x(t) v y(t) l thể hiện của các quá trình
ngẫu nhiên X(t) v Y(t) có các kỳ vọng toán học, hm tơng quan, hm tơng quan quan
hệ cho trớc. Ta sẽ cho rằng, kỳ vọng toán học mx(t) v my(t) bằng 0. (Trong trờng hợp
ngợc lại ta sẽ xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm tơng ứng).

116

Yêu cầu xác định giá trị x(t0) cuả thể hiện x(t) tại thời điểm t0. Đối với trờng hợp
ngoại suy t0 = b + T, với T >0.
Tơng tự, t0 = b cho trờng hợp lm trơn.
Vì ta đang xét hm ngẫu nhiên nên cái m ta quan tâm l tìm phơng pháp giải
bi toán sao cho nhận đợc kết quả tốt nhất từ tập hợp tất cả các thể hiện theo nghĩa no
đó, tức l tìm một toán tử sao cho khi tác dụng lên tập các thể hiện z(t), sẽ cho giá trị tốt
nhất của thể hiện x(t0), theo nghĩa no đó.
Nếu ký hiệu toán tử cần tìm l L, ta có thể viết
X(t0) = L{Z(t)}

(5.1.2)

X(t0) = L{X(t) + Y(t)}

(5.1.3)

hay
Trớc hết cần xác định tiêu chuẩn chất lợng của nghiệm bi toán đặt ra l gì.
Trong khuôn khổ lý thuyết xác suất chỉ có thể đánh giá chất lợng của toán tử trên
phơng diện thống kê trung bình theo ton bộ tập thể hiện có thể của hm ngẫu nhiên.
Ký hiệu l hiệu giữa giá trị thực X(t0) v giá trị nhận đợc theo công thức (5.1.2),
= X(t0) L{Z(t)}

(5.1.4)

Có thể gọi toán tử L l tốt nhất nếu nó lm cho giá trị trung bình của một hm đợc
chọn no đó của hiệu trở nên cực tiểu, ví dụ nh kỳ vọng toán học của modul hiệu.
Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng l lm cực tiểu kỳ
vọng toán học của bình phơng hiệu
M[ 2] = M{[ X(t0) L{Z(t)}]2}

(5.1.5)

Ta sẽ gọi toán tử L l tối u nếu nó lm cho biểu thức (5.1.5) trở thnh cực tiểu, v
công thức (5.1.2) tơng ứng với nó l công thức ngoại suy (nội suy) hoặc lm trơn tối u.
Trên thực tế hiện nay, ta thừa nhận lời giải của bi toán đã nêu khi có những giới
hạn sau m chúng ta sẽ còn tiếp tục xét sau ny:
1) Toán tử L l tuyến tính v dừng, tức không phụ thuộc vo đối số t;
2) Các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng;
Với các giả thiết đã nêu, bi toán đang xét đợc gọi l bi toán nội, ngoại suy v
lm trơn tuyến tính tối u quá trình ngẫu nhiên dừng. Lần đầu tiên bi toán ny đợc A.
N. Komogorov [10] đề xuất v giải quyết. T tởng đó đợc phát triển tiếp trong công
trình của N. Viner [32].
Phơng pháp giải bi toán đã nêu phụ thuộc vo khoảng m trên đó thể hiện z(t)
đợc cho l vô hạn hay hữu hạn.
Ta sẽ xét từng trờng hợp riêng biệt. Trong đó, đối với trờng hợp khoảng hữu hạn,
ta sẽ xem rằng thể hiện đợc cho tại một số hữu hạn các giá trị rời rạc của tham số t,
điều m thờng xuyên xảy ra trong thực tế đo đạc khí tợng thuỷ văn.

5.2. Nội, ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn hm ngẫu nhiên cho trên
một số điểm hữu hạn
Ta bắt đầu xét từ trờng hợp khi đã biết chỉ một số hữu hạn giá trị của thể hiện
cuả quá trình ngẫu nhiên dừng, tức l biết các giá trị của thể hiện z(t) tại các thời điểm

117

t1, t2,..., tn (t1Nếu xem các giá trị ny l kết quả đo đạc có chứa sai số, ta có thể viết
z(tk) = x(tk) + y(tk), k = 1, 2, ..., n,

(5.2.1)

ở đây x(tk) l giá trị thực của thể hiện tại thời điểm tk, còn y(tk) l sai số đo. Ta sẽ
xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng, còn các đặc trng của
chúng, nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng quan quan hệ, đã biết.
Không lm mất tính tổng quát, có thể cho kỳ vọng toán học bằng 0 khi chuyển về
xét các hm qui tâm tơng ứng.
Có thể viết giá trị cần tìm x(t0), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính lên tất
cả các giá trị z(tk), dới dạng tổ hợp tuyến tính
n

x(t 0 ) = k z (t k )

(5.2.2)

k =1

trong đó k l các hệ số hằng số.
Bi toán dẫn đến việc tìm giá trị của các hệ số 1, 2,..., n sao cho đại lợng
2
n


(1 , 2 ..., n ) = M X (t0 ) k Z (t k )
k =1


2
n

(5.2.3)

nhận giá trị nhỏ nhất.
Nh đã biết, điều kiện cần để cực tiểu hm n biến l các đạo hm riêng theo từng
biến phải bằng không.
Từ đó suy ra rằng 1, 2,..., n phải l nghiệm của hệ phơng trình

n2 (1 , 2 ..., n )
= 0, k = 1,2,..., n.
k

(5.2.4)

Ta biến đổi biểu thức (5.2.3)
2
n


(1 , 2 ...,n ) = M X (t0 ) k [X (tk ) + Y (tk )] =
k =1


2
n

[

]

n

= M X 2 (t0 ) 2 k {M [X (to )X (t k )] + M [X (to )Y (t k )]} +

[

k =1

]

[

]

[

]

[

]

+ k j {M X (t k )X (t j ) + M X (t k )Y (t j ) + M Y (t k )X (t j ) + M Y (t k )Y (t j ) } =
n

n

k =1 j =1

[

]

[

= Rx (0) 2k Rx (to tk ) + Rxy (to tk ) + k j Rx (t j t k ) + R y (t j t k ) +
n

k =1

n

n

k =1 j =1

]

+ Rxy (t j tk ) + Ryx (t j tk )

(5.2.5)

Lấy đạo hm riêng vế phải (5.2.5) theo k v đồng nhất bằng 0, ta nhận đợc hệ
phơng trình:

[

]

R x (t o t k ) + R xy (t o t k ) +

[

]

+ j R x (t j t k ) + R y (t j t k ) + R xy (t j t k ) + R yx (t j t k ) = 0 ,
n

j =1

118

(5.2.6)

k = 1,2,..., n.
Đổi dấu, cuối cùng ta nhận đợc hệ để xác định các hệ số k

Rx (to tk ) + Rxy (to tk )

[

]

j Rx (t j t k ) + R y (t j t k ) + Rxy (t j tk ) + R yx (t j tk ) = 0 ,
n

j =1

(5.2.7)

k = 1,2,..., n.
Điều kiện (5.2.7) l điều kiện cần để hm n2 ( 1 , 2 ,..., n ) đạt cực trị. Có thể chứng
minh rằng với các giá trị 1, 2,...,n l nghiệm của hệ (5.2.7), hm (5.2.3) thật sự đạt giá
trị nhỏ nhất, có nghĩa l điều kiện (5.2.7) cũng l điều kiện đủ.
Nh vậy, về nguyên tắc bi toán nội, ngoại suy tuyến tính hoặc lm trơn trong
trờng hợp đang xét đợc đa về việc giải hệ phơng trình (5.2.7) để tìm các giá trị 1,
2,...,n v đặt vo công thức (5.2.2).
Để tính đợc sai số bình phơng trung bình n2 (1 , 2 ,..., n ) của phép nội, ngoại
suy tối u hay lm trơn, khi đã tìm đợc các giá trị 1, 2,..., n, ta nhân từng hạng tử của
(5.2.7) với k v cộng các kết quả lại, ta đợc

[R (t
n

n

k

j

x

j

]

t k ) + R y (t j tk ) + Rxy (t j tk ) + R yx (t j tk ) =

k =1 j =1

[

n

]

= k Rx (t0 t k ) + Rxy (t0 tk )
k =1

(5.2.8)

Thế vo (5.2.5) ta nhận đợc

n2 (1 , 2 ..., n ) = Rx (0) k [Rx (to tk ) + Rxy (to tk )]
n

(5.2.9)

k =1

Khi số giá trị quan trắc của thể hiện z(t) lớn, tức l khi số điểm n lớn, bi toán dẫn
đến việc giải hệ (5.2.7) với số phơng trình lớn, điều đó trở nên rất khó khăn thậm chí
ngay cả khi sử dụng máy tính điện tử. Trong trờng hợp ny, thông thờng để thuận tiện
hơn, một cách gần đúng xem rằng thể hiện z(t) đợc cho tại mọi giá trị của đối số t xảy ra
trớc thời điểm t0 v sử dụng phơng pháp đợc trình by trong mục 5.3.
Ta xét các trờng hợp riêng của bi toán tổng quát đã nêu.
1. Không có sai số đo. Nội ngoại suy thuần tuý.
Trong trờng hợp riêng, khi z(tk) = x(tk) l các giá trị chính xác của thể hiện x(t)
đợc xác định không chứa sai số, tức l khi y(tk) 0, v do đó

Ry ( ) Rxy ( ) 0

(5.2.10)

hệ (5.2.7) đợc viết dới dạng
n

Rx (t0 t k ) j Rx (t j t k ) = 0,

k = 1,2,...n

(5.2.11)

j =1

Vì hm tơng quan l xác định dơng nên định thức của hệ (5.2.11) khác không, v
do đó hệ luôn luôn có nghiệm. Sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u
trong trờng hợp ny đợc xác định bằng cách đặt các giá trị 1, 2,...,n tìm đợc vo
công thức

119