Tải bản đầy đủ
Chương 11: Về việc tính mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên dừng. Phổ sóng biển

Chương 11: Về việc tính mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên dừng. Phổ sóng biển

Tải bản đầy đủ

~
quan l một hm ngẫu nhiên no đó, v giá trị tính đợc của nó R () có thể khác nhiều so
với giá trị thực của hm tơng quan R() v phơng sai sai số tăng đáng kể khi đối số

tăng.
Vì vậy việc sử dụng trực tiếp công thức (3.2.12) v thay hm tơng quan thực trong
đó bằng giá trị thống kê của nó, thay khoảng tích phân vô hạn bằng khoảng hữu hạn, tức
công thức
~
1 T i ~
S () =
e R ()d ,
2 T

l không hợp lý, vì việc không tính đến những trị số của hm tơng quan khi > T
~
v những khác biệt đáng kể của hm R () so với giá trị thực của hm tơng quan, đặc
~
biệt tại những giá trị gần các cận của khoảng tích phân, có thể dẫn đến giá trị S ()
tìm đợc sẽ rất khác với giá trị thực của mật độ phổ.
Một vấn đề nảy sinh l, lm thế no để xác định giá trị phù hợp nhất của mật độ phổ
của quá trình ngẫu nhiên đang xét trong khi không có hm tơng quan thực, m chỉ sử
dụng giá trị thống kê của nó.
~
Ta xét hm R () , bằng giá trị thực của hm tơng quan R() khi m v bằng 0
khi > m . Hm ny có thể xem nh tích của hm R() với hm ()
~
R () = () R() ,

(11.1.1)

trong đó
1 khi m ,
() =
0 khi > m .

(11.1.2)

~
Hm R () đợc cho trên khắp trục số thực. Ta sẽ tìm biến đổi Fourier của nó v
~
~
xem đó l giá trị gần đúng S () của mật độ phổ S () , tức l tính S () theo công thức
~
1 i ~
1 i
S () =
e
R
(

)
d

=
e () R()d .
2
2

(11.1.3)

Ta ký hiệu S () l mật độ phổ thực của quá trình ngẫu nhiên, tức biến đổi Fourier
của hm tơng quan thực R() , ký hiệu Q() l biến đổi Fourier, tức phổ, của hm ()
Q() =

1 i
e ()d .
2

(11.1.4)

~
Theo (11.1.3) tích () R() l biến đổi Fourier của hm S ()

~
() R() = e i S ()d .

(11.1.5)



Mặt khác, ta có




() R () = e i1 S (1 )d1 e i2 Q( 2 )d 2 =






= S (1 ) e i ( 2 + 2 ) Q( 2 )d 2 d1 .







Khi thay thế 1 + 2 = ở tích phân bên trong v đổi thứ tự lấy tích phân, ta đợc

207




() R() = e i S (1 )Q( 1 )d1 d .




(11.1.6)

So sánh (11.1.5) v (11.1.6) ta nhận đợc mối liên hệ giữa mật độ phổ thực S () v
giá trị gần đúng của nó (11.1.3)


~
S () = S (1 )Q ( 1 )d1 .

(11.1.7)



~
Từ đó thấy rằng, S () chính l giá trị của mật độ phổ thực S () đợc lấy trung
bình theo ton khoảng tần với hm trọng lợng Q( 1 ) .

Đối với hm () dạng (11.1.2) phổ Q() của nó đợc xác định dới dạng

sin m
1 m i
e d =
.

2 m


Q() =

(11.1.8)

Nh vậy, bằng cách sử dụng tích (11.1.1) lm giá trị thống kê của hm tơng quan
trong khi xác định mật độ phổ, chúng ta nhận đợc không phải mật độ phổ thực S () ,
m giá trị của nó đợc lm trơn nhờ hm trọng lợng l phổ của hm () . Khi đó
phơng pháp lm trơn đợc xác định bằng cách chọn hm () . Từ đó nảy sinh ý tởng
~
lựa chọn hm () sao cho phép lm trơn (11.1.7) l tốt nhất, tức nó cho giá trị S () gần
nhất với giá trị thực S () .
Nh vậy bi toán xác định mật độ phổ có thể phát biểu dới dạng sau: Giả sử có giá
~
trị thống kê của hm tơng quan R () tại T , ta sẽ tìm giá trị thống kê của mật độ
~
phổ S () theo công thức


~
1 m i
~
S () =
e () R ()d

2 m

(11.1.9)

với điều kiện phải chọn hm () v giá trị m sao cho thoả mãn một chỉ tiêu tối u no
đó. Hm () đợc gọi l hm trọng lợng lm trơn, còn giá trị m gọi l điểm cắt của
hm tơng quan.
ý nghĩa của hm () ở chỗ, nhờ nó ngời ta lm trơn giá trị thống kê của hm
tơng quan để từ đó xác định mật độ phổ. Nh ta đã thấy, việc chọn hm lm trơn ()
tơng ứng với sự lm trơn phổ thực của quá trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) với hm
trọng lợng l phổ của hm () .
~
Để lm tiêu chuẩn đánh giá đại lợng S () v chọn hm lm trơn tối u () có thể
~
lấy sai số bình phơng trung bình [ S ()] , xác định theo công thức
2
~
~
~
~
2 S () = M S () S () = 2 S () + b 2 S () .
(11.1.10)

[

]

{[

]} [

] [

]

Trong công thức ny đại lợng
2
~
~
~
~
~
2 S () = M S () M S ()
= 2 S () b 2 S ()
(11.1.11)
~
l phơng sai của các giá trị S () v đặc trng cho sự tản mạn của các giá trị thống kê của

[

] {[

[

]] } [

] [

]

mật độ phổ xung quanh kỳ vọng toán học của nó.
Đại lợng

[

] [

~
~
b 2 S () = M S () S ()

208

]

(11.1.12)

đợc gọi l độ chệch v đặc trng cho sự lệch của kỳ vọng toán học của các trị số thống kê
~
S () khỏi giá trị thực S () . Độ chệch đặc trng cho sự hiện diện của sai số hệ thống, vì
~
nó m các giá trị S () sẽ tập trung không phải gần giá trị thực S () , m gần một giá trị
~
M [ S ()] no đó.
Tiêu chuẩn khác, nhờ đó có thể đánh giá độ chính xác của việc xác định đại lợng
~
S () v chọn hm lm trơn tối u () , l sai số bình phơng trung bình tích phân

[

]

2
~

~
J S () = M S () S () d .



(11.1.13)

Bi toán chọn hm lm trơn tối u l lm sao với giá trị độ di khoảng T đã cho,
phải chọn một hm () lm cho độ lớn của tiêu chuẩn đánh giá đã chọn trở thnh cực
tiểu. Nghiệm của bi toán ny phụ thuộc nhiều vo dạng của hm tơng quan thực R() .
Trong công trình của E. Parzen [70] đã nhận đợc nghiệm bi toán ny ứng với tiêu
chuẩn (11.1.13) cho hai dạng hm tơng quan R() .
Dạng thứ nhất gồm lớp các hm tơng quan giảm theo quy luật hm mũ với hệ số

> 0, tức những hm thoả mãn bất đẳng thức R() R0 e , trong đó R0 l một hằng số
no đó.
Ngời ta đã chứng minh đợc rằng đối với những hm tơng quan nh vậy các hm
lm trơn sau l tối u:
() =

1
,
1+ u

1 u
() =
0

khi u 1
khi u > 1

,

( ) =

sin u
,
u



u =
,
m


v một số hm khác nữa.
Dạng thứ hai các hm tơng quan m Parzen xét l lớp các hm giảm theo kiểu đại
số, tức những hm có dạng r trong đó r < 1 với những giá trị lớn. Đối với các hm
dạng ny những hm trọng lợng tối u lm cho sai số bình phơng trung bình tích phân
cực tiểu có thể l những hm dạng
1
() =
,
1 + Bu 2 r
trong đó hằng số B đợc biểu diễn qua hm tơng quan thực R() .
Lomnhisky v Zaremba [96] đã chứng minh rằng hm trọng lợng tối u () lm
cho sai số bình phơng trung bình tích phân (11.1.13) cực tiểu, có dạng
() =

R 2 ( )
.
~
R 2 () + D R ()

[ ]

(11.1.14)

Điều ny cho thấy rằng hm lm trơn tối u () phụ thuộc vo hm tơng quan
thực của quá trình ngẫu nhiên đợc khảo sát v do đó, không tồn tại một hm lm trơn
duy nhất áp dụng cho tất cả các quá trình ngẫu nhiên.
Ngoi ra, vì khi xác định thực nghiệm các đặc trng thống kê của quá trình ngẫu
nhiên ta cha biết hm tơng quan thực, còn giá trị thống kê của nó chỉ l ớc lợng gần
đúng, nên ta không thể sử dụng trực tiếp các công thức đã dẫn để xác định hm () .
Những công thức ny chỉ có thể sử dụng nh l công thức định hớng khi chọn dạng cụ
thể của hm lm trơn trong công thức (11.1.9).

209

Hiện nay các tác giả khác nhau đề xớng nhiều dạng hm lm riêng biệt có những
tính chất khác nhau, mô tả chi tiết về các hm ny trình by trong các công trình [2, 25,
70, 9197].
Phổ dụng nhất trong số đó l những hm sau:
1. Hm Bartlette
1 khi m ,
() =
0 khi > m .

(11.1.15)

2. Hm Bartlette biến dạng


1
() = m
0


khi m ,

(11.1.16)

khi > m .

3. Hm Tiukey


1 2a + 2a cos
() =
m

0


khi m ,

(11.1.17)

khi > m .

Tiukey đề nghị lấy hệ số a = 0,23 m không chỉ rõ lý do chọn trị số đó. Parzen cho
biết rằng trị số a = 0,25 l tối u dới góc độ tiêu chuẩn (11.1.13).
4. Hm Hanning


0,51 cos khi m ,
() =
m

0
khi > m .


(11.1.18)

5. Hm Parzen
q
1
() = m


0


khi m ,

(11.1.19)

khi > m .

với q > 1, đặc biệt Parzen đã xét hm ny với q = 2.
6. Parzen cũng đã nghiên cứu hm dạng
1

q


() = 1 +

m

0


khi m ,

(11.1.20)
khi > m ,

đối với những trị số q = 1 v q = 2.
7. Hm Hemming


0,54 + 0,46 cos
() =
m

0


khi m ,

(11.1.21)

khi > m .

Tất cả những hm đã trình by l tốt nhất theo quan điểm tối u hoá một tính chất
no đó trong số các tính chất của giá trị thống kê của mật độ phổ.
Khi xác định giá trị thống kê của mật độ phổ theo công thức (11.1.9) với hm lm

210

trơn () đã chọn, giá trị nhận đợc sẽ phụ thuộc nhiều vo việc chọn đại lợng m .
Khi chọn điểm cắt m của hm tơng quan cần tính đến hai loại sai số: độ chệch của
ớc lợng mật độ phổ, xuất hiện khi các giá trị của đại lợng m nhỏ v tính biến động
~
đáng kể do tập mẫu của các giá trị S () tại những m lớn.
Thực vậy, trong công thức (11.1.9), tại những trị số nhỏ của m ta sử dụng giá trị
thống kê của hm tơng quan, nó không khác nhiều lắm so với giá trị thực, tuy nhiên ta
giả thiết nó bằng 0 với những giá trị > m , m tại đó hm tơng quan có thể rất khác
không. Chính vì vậy chúng ta đã mắc sai số hệ thống gây nên độ chệch của ớc lợng.
Tăng m dẫn tới lm giảm sai số hệ thống ny, nhng khi đó trong công thức (11.1.9), với
~
những lớn giá trị thống kê R () chúng ta sử dụng có thể khác xa so với giá trị thực
~
R() . Vì lý do đó phơng sai của ớc lợng S () tăng lên, đặc biệt l khi khoảng ghi thể
hiện T của quá trình ngẫu nhiên không lớn.
ý muốn chọn đại lợng m lm cực tiểu cả độ chệch lẫn phơng sai của ớc lợng
mật độ phổ dẫn tới sự cần thiết phải thoả mãn hai đòi hỏi mâu thuẫn nhau.
ảnh hởng của đại lợng m đến dạng của giá trị thống kê mật độ phổ biểu lộ nh
~
sau: Tại những giá trị m nhỏ trên đồ thị S () các đỉnh mật độ phổ sẽ bị lm trơn. Khi
tăng dần giá trị của m những đỉnh đó dần lộ rõ ra, nhng khi tiếp tục tăng m , do sự
~
khác nhau giữa giá trị thống kê v giá trị thực của hm tơng quan, đồ thị S () sẽ
~
không phản ánh đặc điểm của hm S () , m sẽ tiến dần tới thể hiện của quá trình ngẫu
~
nhiên m từ đó R () đợc xác định.

11.2. Phân tích phổ sóng biển
Lý thuyết phổ các quá trình ngẫu nhiên dừng hiện nay đợc sử dụng rộng rãi khi
phân tích sóng biển. ở đây ngời ta xem những dao động mực biển tại điểm xác định nh l
hm ngẫu nhiên của thời gian. Những khảo sát thực nghiệm về sóng biển cho thấy: hm
ngẫu nhiên Z (t ) mô tả những dao động thẳng đứng của mặt nớc theo thời gian tại một
điểm cố định so với mực trung bình, ở một mức độ gần đúng no đó, có thể xem nh quá
trình ngẫu nhiên tựa dừng, có tính egođic.
Giả định rằng mỗi thể hiện có thể chia thnh những đoạn dừng, trong phạm vi đó
các đặc trng xác suất giữ nguyên không đổi, còn khi chuyển từ một đoạn dừng ny sang
đoạn dừng khác thì các đặc trng xác suất biến đổi nhảy vọt. Tính tựa dừng của sóng
thực cũng nh những khó khăn kỹ thuật trong khi thực hiện những đợt đo sóng di hạn
dẫn tới chỗ, để xác định các đặc trng thống kê buộc phải sử dụng một hoặc một số không
nhiều các thể hiện với độ di hạn chế.
~
Tơng ứng với giả thiết về tính egođic, giá trị thống kê của hm tơng quan R ()
theo một thể hiện độ di T đợc xác định theo công thức (6.2.2).
Sự phân tích các băng ghi sóng gió ổn định ở đại dơng, các biển v hồ nớc đã cho
thấy rằng các hm tơng quan của sóng gió có thể xấp xỉ bằng biểu thức dạng
Rz () = De



hay

211

cos

(11.2.1)

Rz () = De



cos cos B ,

(11.2.2)

trong đó D phơng sai của quá trình, tần số các dao động thăng giáng, B tần số
nhóm, hệ số suy giảm nội nhóm của đờng bao hm tơng quan, hệ số suy giảm
liên nhóm của đờng bao hm tơng quan.
Ta sẽ xét phơng pháp xác định mật độ phổ bằng ví dụ nghiên cứu phổ sóng biển. ở
đây chúng ta sẽ dựa vo công trình [72]. Với kiểu hm tơng quan đã chọn, mật độ phổ
đợc xác định theo công thức (11.1.9). Để phân tích ảnh hởng của đại lợng m trớc tiên
ta chọn hm lm trơn () l hm Bartlette (11.1.15). Khi đó công thức (11.1.9) đối với quá
trình ngẫu nhiên thực Z (t ) có thể viết lại dới dạng


~
1 m
S z () = Rz () cos d .
0

(11.2.3)

Thế hm tơng quan (11.2.1) vo (11.2.3) v lấy tích phân, ta nhận đợc


De
~
D
1
1
+
S z () =
+ 2

2
2
2
2 + ( + )
+ ( )
2
+

cos( + ) m + ( + ) sin( + ) m
+

2 + ( + ) 2


cos( ) m + ( ) sin( ) m

2 + ( ) 2


(11.2.4)

Nh đã chỉ ra trong chơng 3, số hạng thứ nhất của (11.2.4) l mật độ phổ thực,
ứng với hm tơng quan (11.2.1). Do đó, số hạng thứ hai biểu thị độ chệch hệ thống của
~
đại lợng S () . Độ chệch ny, nh đã thấy từ (11.2.4), giảm dần khi m tăng.
Nh vậy nếu hm tơng quan xác định không có sai số, thì m phải sao cho biểu
thức trong dấu ngoặc nhọn của công thức (11.2.4) không ảnh hởng đáng kể đến đại
~
lợng S () .
Sự ảnh hởng ny của đại lợng m phản ánh trên hình 11.1, ở đó biểu diễn các đồ
thị mật độ phổ tính theo công thức (11.2.4) với D = 1 ; = 0,1 ; = 0,644 v các giá trị
m = 7,3 giây (đờng liền nét) v m = 1000 giây (đờng gạch nối).
Để lm rõ tính biến động do tập mẫu của các giá trị thống kê của mật độ phổ vì
thay thế hm tơng quan thực R() trong công thức (11.2.3) bằng giá trị thống kê của nó
~
~
~
R () , trên hình 11.2 dẫn ra các giá trị S () nhận đợc theo chuỗi các trị số R () tính
theo những đoạn thể hiện di 20 phút của sóng biển ổn định. Đại lợng m đợc chấp
nhận lấy bằng 112 giây.

212

Hình 11.1

Hình 11.2
Hình 11.3

~
Trên hình 11.2 thấy rõ các đồ thị hm S () rất khác nhau. Sự tản mạn ny l do
đã chọn giá trị m lớn m với giá trị đó, sự tản mạn của các giá trị thống kê của hm
~
tơng quan R () biểu lộ rất mạnh.

Các hình 11.1 v 11.2 cho thấy rằng khi chọn giá trị m cần phải: một mặt lấy đủ
lớn để không xảy ra sự chệch, mặt khác nó phải nằm trong miền các giá trị của đối số ,
tại đó cha biểu lộ rõ sự tản mạn của các giá trị thống kê của hm tơng quan. Sự thoả
hiệp hai đòi hỏi mâu thuẫn ny có thể thực hiện bằng cách thay đổi các tham số T v m
nếu khoảng dừng của quá trình ngẫu nhiên đủ lớn. Còn nếu nh khoảng dừng của quá
trình không cho phép tăng đáng kể độ di thể hiện, trên đó xác định các đặc trng thống
kê, thì lúc đó việc chọn hm lm trơn () có vai trò quan trọng. Trên hình 11.3 dẫn ra
~
các giá trị mật độ phổ sóng gió S () tính theo công thức (11.1.9) với hm trọng lợng
Hemming (11.1.21) (đờng cong 1), v với hm trọng lợng Bartlette (11.1.15) (đờng
cong 2).
Độ di thể hiện của băng ghi sóng T bằng 30 phút. Đờng cong
của m lớn, m = 0,1 T , tơng ứng với sự tản mạn đáng kể của đại lợng
~
2 với m nhỏ, thuộc miền tin cậy của đại lợng R () . Nh ta thấy từ
cong 2 cho những giá trị lm trơn của mật độ phổ.

Ti liệu tham khảo
Phần 1

213

1 tính với giá trị
~
R () , đờng cong
hình 11.3, đờng






































IV





VII,
214