Tải bản đầy đủ
Chương 8: Khai triển quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên thành những thành phần trực giao tự nhiên

Chương 8: Khai triển quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên thành những thành phần trực giao tự nhiên

Tải bản đầy đủ

độ lệch bình phơng trung bình nhỏ nhất của hm f (t ) sẽ cho một đa thức Fourier, tức
một đa thức m các hệ số C k l các hệ số Fourier ak . Khi đó đại lợng 2n bằng
b

n

a

k =1

2n = f 2 (t )dt a k2 .

(8.1.7)

Thực vậy,
2

n


2n = f (t ) C k k (t ) dt =
k =1

a
b

b

n

a

k =1

b

= f 2 (t )dt 2 C k f (t ) k (t )dt +
a

n

b

n

C k Ci k (t )i (t )dt =
k =1 i =1

a

b



n

a

k =1

k =1

= f 2 (t )dt (C k ak ) 2 a k2 .

(8.1.8)
n

Vế phải của (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi

(C

k

ak ) 2 = 0 , tức khi

k =1

C k = ak .

Đại lợng 2n không âm, vì vậy ta có bất đẳng thức
b

n

a

2
k

k =1

f 2 (t )dt .

(8.1.9)

a

b

Từ đó thấy rằng, đối với các hm khả tích với bình phơng, tức khi

f

2

(t )dt l một

a



số hữu hạn, thì chuỗi

a

2
k

hội tụ, hơn nữa, bất đẳng thức sau xảy ra

k =1



b

k =1

a

ak2 f 2 (t )dt

(8.1.10)

v nó đợc gọi l bất đẳng thức Bessel.
Nếu hệ hm {k (t )} l đầy đủ thì đối với một hm lấy đợc tổng bình phơng bất kỳ
f (t ) sẽ có đẳng thức


a
k =1

b

2
k

= f 2 (t )dt

(8.1.11)

a

v đợc gọi l phơng trình khép kín.
Ngời ta ứng dụng việc khai triển các hm theo những hệ hm trực chuẩn khác
nhau: khai triển thnh chuỗi Fourier theo hệ hm lợng giác, khai triển thnh chuỗi
FourierBessel theo hệ hm Bessel, khai triển theo các đa thức trực giao Trebsev,
Ermit v các hệ hm khác.
Phơng pháp khai triển theo hệ các hm trực chuẩn cũng có thể áp dụng vo các
hm ngẫu nhiên.
Giả sử X (t ) l một hm ngẫu nhiên xác định trên khoảng [a, b] có kỳ vọng toán học
bằng không mx (t ) = 0 v hm tơng quan cho trớc Rx (t1 , t2 ) , t1 , t2 [a, b]; {k (t )} l hệ hm
trực chuẩn đầy đủ. Khi đó ta biểu diễn hm ngẫu nhiên X (t ) dới dạng chuỗi Fourier

174



X (t ) = Ak k (t )

(8.1.12)

k =1

Các hệ số Fourier Ak đợc xác định dới dạng
b

Ak = X (t )k (t )dt

(8.1.13)

a

l những đại lợng ngẫu nhiên.
Ta ký hiệu
n

X n (t ) = Ak k (t )

(8.1.14)

k =1

l tổng của n số hạng đầu tiên của khai triển (8.1.12) v ta sẽ xấp xỉ hm ngẫu nhiên
X (t ) bằng tổng X n (t ) . Khi đó, sai số bình phơng trung bình của phép xấp xỉ
b

[x(t ) X

n =

(t )] d t
2

n

(8.1.15)

a

sẽ l một đại lợng ngẫu nhiên.
Để lm thớc đo độ chính xác của phép xấp xỉ ta sử dụng kỳ vọng toán học của bình
phơng đại lợng ngẫu nhiên n

[ ]

2n = M 2n .

(8.1.16)

Đại lợng 2n biểu thị phơng sai sai số của phép xấp xỉ đại lợng ngẫu nhiên, nó
phụ thuộc vo việc chọn hệ hm {k (t )} v số lợng hm n của chúng. Khi đó, có thể không
cho trớc hệ hm {k (t )} m xác định hệ ny xuất phát từ yêu cầu thoả mãn một điều kiện
tự nhiên no đó. Chẳng hạn, có thể xác định một hệ nh vậy từ một số cho trớc n hm
1 (t ), 2 (t ), ..., n (t ) sao cho đại lợng 2n trong (8.1.16) trở thnh cực tiểu. Những hm
1 (t ), 2 (t ), ..., n (t ) nh vậy đợc gọi l những hm trực giao tự nhiên. Với hệ hm đợc
chọn nh trên việc biểu diễn hm ngẫu nhiên X (t ) dới dạng tổng n số hạng
n

X (t ) Ak k (t )

(8.1.17)

k =1

đợc gọi l khai triển hm thnh tổng các thnh phần trực giao tự nhiên.
Những vấn đề lý thuyết của việc khai triển theo các thnh phần trực giao tự nhiên
v các tính chất của phép khai triển nh vậy đã đợc xét trong các công trình của Kh.
Khoteling [92], A. M. Obukhov [67, 68], N. A. Bagrov [35, 36], V. S. Pugatrev [21].
Từ đẳng thức (8.1.7), có thể viết biểu thức (8.1.15) dới dạng
b

n

a

k =1

2n = X 2 (t ) Ak2 .

(8.1.18)

Sử dụng (8.1.13) ta nhận đợc
2

b
n b

2n = X 2 (t )dt X (t )k (t )dt =
k =1 a
a

b

n

b b

= X 2 (t )dt X (t1 ) X (t2 )k (t1 ) k (t2 ) dt1 dt2 .
a

k =1 a a

Thế giá trị ny của 2n vo (8.1.16) ta nhận đợc
175

(8.1.19)

b

b b

n

= Rx (t )dt Rx (t1 , t2 )k (t1 )k (t2 ) dt1 dt2 .
2
n

(8.1.20)

k =1 a a

a

Bi toán quy về tìm các hm 1 (t ), 2 (t ), ..., n (t ) sao cho biểu thức (8.1.20) trở thnh
cực tiểu, hay nói cách khác, sao cho tổng
n

b b

R (t , t
x

1

2

) k (t1 ) k (t 2 )dt1 dt2

(8.1.21)

k =1 a a

trở thnh cực đại.

8.2. Một số kiến thức về lý thuyết phơng trình tích phân
Để tìm hệ hm trực chuẩn lm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng những kết quả đã
biết từ lý thuyết phơng trình tích phân với nhân đối xứng m chúng ta sẽ liệt kê dới
đây v bỏ qua việc chứng minh. Trình by chi tiết về lý thuyết ny có thể tìm thấy, chẳng
hạn, trong [66, 24].
Xét phơng trình tích phân thuần nhất
b

K ( x, s)(s)ds = ( x) ,

(8.2.1)

a

trong đó hm K ( x, s ) l hm hai biến thực cho trong hình chữ nhật a x b, a s b; l
một số no đó; ( x) l hm cần tìm cho trên khoảng [a, b] .
Ta sẽ xem các hm K ( x, s ) v ( x) giới nội v có số một hữu hạn điểm gián đoạn, tại
đó tích phân trong (8.2.1) tồn tại.
Hm K ( x, s ) gọi l nhân của phơng trình tích phân. Nếu thoả mãn hệ thức
K ( x, s ) = K * ( s , x ) ,

(8.2.2)

đối với nhân thực, điều ny tơng đơng với đẳng thức
K ( x, s ) = K ( s , x ) ,

(8.2.3)

thì nhân đợc gọi l đối xứng.
Các giá trị của tham số , tại đó phơng trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không
đồng nhất bằng không, đợc gọi l giá trị riêng của nhân K ( x, s ) hay của phơng trình
(8.2.1). Nếu = 0 l giá trị riêng của phơng trình (8.2.1) v 0 ( x) l nghiệm của
phơng trình ny khi = 0 , tức
b

K ( x, s ) ( s ) d s = ( x ) ,
0

0

0

(8.2.4)

a

thì hm 0 ( x) đợc gọi l hm riêng ứng với giá trị riêng 0 của nhân K ( x, s ) hay của
phơng trình tích phân.
Có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng của nhân đối xứng l những số thực, v
tất cả các hm riêng cũng có thể coi l những hm thực.
Các hm riêng của nhân đối xứng, ứng với những giá trị riêng khác nhau, trực giao
với nhau. Có thể lm cho các hm riêng trở thnh các hm chuẩn hoá.
Ta quy ớc liệt kê dãy các số riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần. Nh vậy,
nếu

176

1 , 2 , ..., n , ... ( 1 2 ... n ...)

(8.2.5)

l dãy các giá trị riêng của một nhân đối xứng no đó, thì tơng ứng với dãy ny l hệ
trực giao các hm riêng
1 ( x), 2 ( x), ..., n ( x) ...
(8.2.6)
Trong trờng hợp ny định lý GilbertSmidth khẳng định rằng, có thể biểu diễn
hm f ( x) bất kỳ qua nhân K ( x, s ) dới dạng
b

f ( x) = K ( x, s )h( s )ds ,

(8.2.7)

a

trong đó h( s ) l một hm giới nội no đó có số hữu hạn điểm gián đoạn v khai triển đợc
thnh chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối v đều theo các hm riêng của nhân. Do đó nếu viết
chuỗi Fourier của hm h( x) theo các hm riêng (8.2.6) của nhân K ( x, s ) dới dạng
h( x ) ~



h ( x) ,
k

(8.2.8)

k

k =1

thì hm f ( x) (8.2.7) đợc khai triển thnh chuỗi


f ( x) = k hk k ( x) ,

(8.2.9)

k =1

trong đó k l giá trị riêng, còn k ( x) l hm riêng của nhân K ( x, s ) .
Giả sử p( x) v q( x) l hai hm giới nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng
[a, b] . Lập tích phân kép
b b

K ( x, s) p( x)q(s)dxds

(8.2.10)

a a

áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta đợc
b



a

k =1

K ( x, s)q(s)ds = k qk k ( x) ,

(8.2.11)

trong đó qk l các hệ số Fourier của hm q( x) khi khai triển thnh chuỗi Fourier theo các
hm riêng (8.2.6), v chuỗi ở vế phải hội tụ đều.
Nhân hai vế của (8.2.11) với p( x) , lấy tích phân theo x v ký hiệu pk l những hệ
số Fourier của hm p( x) khi khai triển nó thnh chuỗi theo các hm riêng (8.2.6), ta
nhận đợc biểu diễn của tích phân (8.2.10) dới đây:
b b



a a

k =1

K ( x, s) p( x)q(s)dxds = k pk qk .

(8.2.12)

Đặc biệt, khi p( x) q( x) ta đợc


b b

K ( x, s) p( x) p(s)dxds =

k

pk2 .

(8.2.13)

k =1

a a

Ta sẽ xét những tính chất cực trị của các hm riêng của nhân đối xứng. Khi sắp xếp
các giá trị riêng theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối của chúng, theo (8.2.13) ta có


b b

K ( x, s) p( x)q(s)dxds p
1

k =1

a a

Theo phơng trình khép kín (8.1.11),

177

2
k

.

(8.2.14)



b

p ( x)dx = p
2

2
k

.

(8.2.15)

k =1

a

Đối với hm chuẩn hoá p( x) , tích phân trong vế trái (8.2.15) bằng đơn vị, do đó


p

2
k

= 1.

(8.2.16)

k =1

Từ đó, đối với hm chuẩn hoá p( x) bất đẳng thức (8.2.14) đợc viết dới dạng
b b

K ( x, s) p( x)q(s)dxds

1

.

(8.2.17)

a a

Trong (8.2.17) đẳng thức sẽ xảy ra khi p( x) = 1 ( x), tức khi hm p( x) trùng với hm
riêng 1 ( x).
Thực vậy, sau khi nhân hai vế đẳng thức

1 , 2 , ..., n , ... ( 1 2 ... n ...)

(8.2.18)

với 1 ( x) v lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của hm 1 ( x) , ta nhận đợc:
b b

b

K ( x, s) ( x) (s)dxds = ( x)dx =
1

1

2
1

1

a a

1

.

(8.2.19)

a

Nh vậy, định lý sau đây l đúng: Trên tập hợp các hm chuẩn hoá p( x) tích phân
b b

K ( x, s) p( x) p(s)dxds

có cực đại bằng 1 khi p( x) = 1 ( x) .

a a

Bây giờ xét tập hợp các hm chuẩn hoá p( x) trực giao với m 1 hm riêng đầu tiên
của (8.2.6) của nhân K ( x, s ) . Khi đó trong (8.2.13) m 1 hệ số Fourier đầu tiên pk của
biểu thức khai triển hm p( x) thnh chuỗi Fourier theo các hm (8.2.6) sẽ bằng không.
Khi đó (8.2.13) đợc viết dới dạng
b b



a a

k =m

2
K ( x, s) p( x) p(s)dxds = k pk .

(8.2.20)

Từ đó
b b

K ( x, s) p( x) p(s)dxds

m

.

(8.2.21)

a a

Trong (8.2.21) đẳng thức đạt đợc khi p ( x) = m ( x) , tức l định lý sau đây đúng:
Trên tập hợp các hm chuẩn tắc p( x) trực giao với m 1 hm riêng đầu tiên của nhân
b b

K ( x, s ) , tích phân

K ( x, s) p( x) p(s)dxds

có cực đại bằng m , cực đại ny đạt đợc khi

a a

p ( x) = m ( x) .

8.3. Tìm các thnh phần trực giao tự nhiên
Bây giờ trở lại bi toán tìm hệ các hm {k ( x)} lm cho tổng (8.1.21) trở thnh cực
đại, ta thấy rằng trên cơ sở lý thuyết đã trình by trong mục 8.2, mỗi số hạng thứ k của
nó có cực đại bằng k khi chọn hm riêng của hm tơng quan Rx (t1 , t2 ) ứng với giá trị
riêng k lm hm k (t ) . Nh vậy, với t cách l các hm trực giao tự nhiên của phép
khai triển hm ngẫu nhiên X (t ) (8.1.17) phải lấy n hm riêng đầu tiên của hm tơng

178

quan Rx (t1 , t2 ) tơng ứng với n giá trị riêng của hm tơng quan ny đợc sắp xếp theo
thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối.
Khi đó phơng sai sai số của phép xấp xỉ 2n đợc xác định theo công thức
b

n

a

k =1

2n = Rx (t , t )dt k .

(8.3.1)

2
b

k = Rx (t1 , t2 )k (t1 ) k (t2 )dt1 dt2 = M X (t ) k (t )dt = D[Ak ]
a a
a


(8.3.2)

Từ đẳng thức
b b

thấy rằng, các giá trị riêng của hm tơng quan l phơng sai của các hệ số Ak tơng
ứng của khai triển hm ngẫu nhiên theo hệ các hm riêng {k (t )} . Do đó, các giá trị riêng
của hm tơng quan thực sự l những số dơng, v dấu giá trị tuyệt đối trong (8.3.1) có
thể bỏ đi.
Hệ phơng pháp đã trình by hon ton có thể áp dụng cả cho khai triển trờng
ngẫu nhiên thnh các thnh phần trực giao tự nhiên. Trong trờng hợp ny, tất cả các

hm đợc xét nh hm của điểm N () cho trên miền giới hạn no đó với số chiều đã cho.

Chẳng hạn, giả sử U () = U ( x, y, z ) l trờng không gian ngẫu nhiên xác định trong miền

D , có kỳ vọng toán học bằng không v hm tơng quan Ru (1 , 2 ) .

Ta biểu diễn trờng ngẫu nhiên U () dới dạng tổng
n


U () Ak k () ,

(8.3.3)

k =1


trong đó {k ()} l hệ hm trực chuẩn đầy đủ trong miền D , tức l đối với nó điều kiện

sau đợc thực hiện

( x, y, z)
i

( D)

k

1 khi i = k ,
( x, y, z )dxdydz =
0 khi i k .

(8.3.4)

Các hệ số Fourier Ak l những đại lợng ngẫu nhiên đợc xác định theo công thức
Ak = U ( x, y, z ) k ( x, y, z )dxdydz .

(8.3.5)

( D)

Trong trờng hợp ny bi toán xấp xỉ trờng ngẫu nhiên bởi tổng các thnh phần



trực giao tự nhiên (8.3.3) đợc quy về việc tìm các hm 1 (), 2 (), ..., n () lm cực đại
tổng
n





R ( x, y, z; , , ) ( x, y, z)dxdydz ì (, , )ddd .
k =1 ( D )

( D )

u

k



k

(8.3.6)

Khi xem xét lý thuyết đã trình by trong mục 8.2 áp dụng vo phơng trình tích
phân

K ( x, y, z; , , )(, , )ddd = ( x, y, z ) ,

(8.3.7)

( D)


ta nhận đợc những hm trực giao tự nhiên của khai triển trờng ngẫu nhiên U ()

(8.3.3) l n hm riêng đầu tiên của hm tơng quan Ru (1 , 2 ) tơng ứng với n giá trị

179

riêng đầu tiên của phơng trình (8.3.7) đợc sắp xếp theo thứ tự không tăng giá trị của
chúng. Khi đó phơng sai sai số của phép xấp xỉ 2n đợc xác định theo công thức
n

2n = Ru ( x, y, z; x, y, z )dxdydz k .

(8.3.8)

k =1

(D)

Từ những công thức đối với phơng sai sai số của phép xấp xỉ (8.3.1) hay (8.3.8)
thấy rằng, độ chính xác tăng lên khi tăng số các thnh phần trực giao tự nhiên m hm
ngẫu nhiên khai triển theo chúng. Tuy nhiên các số 1 , 2 , ..., n phân bố theo thứ tự giảm
dần, do đó số thứ tự của thnh phần trong công thức (8.1.14) hay (8.3.3) cng lớn thì, về
trung bình, tỷ trọng của thnh phần cng nhỏ. Nếu các giá trị riêng giảm khá nhanh, thì
điều đó cho phép nhận những kết quả gần đúng khi chỉ cần chú ý tới một số không lớn
các thnh phần. u điểm cơ bản của phép khai triển theo các thnh phần trực giao tự
nhiên l ở chỗ nó tập trung tối đa thông tin về hm ngẫu nhiên vo một số không nhiều
các số hạng.
Khi đánh giá độ chính xác của phép xấp xỉ (8.1.17) bởi một số n các thnh phần
trực giao tự nhiên đã chọn, có thể sử dụng phơng sai tơng đối của sai số xấp xỉ

b
M [ X (t ) X n (t )]2 dt
.
2n = a
b 2

M X (t )dt
a


(8.3.9)

Theo (8.3.1) với giá trị cực tiểu của 2n ta nhận đợc
b

2n =

n

Rx (t , t )dt k
k =1

a

b

.

(8.3.10)

R (t , t )dt
x

a

Sau khi dựng đồ thị phụ thuộc của đại lợng n vo số n, có thể ớc lợng số số
hạng khai triển cần thiết tuỳ theo độ chính xác đã cho của phép xấp xỉ.
Bây giờ ta xét trờng hợp khi không có bản ghi liên tục của hm ngẫu nhiên, m
chỉ có các lát cắt của nó ở những điểm rời rạc, điều m thờng xảy ra khi nghiên cứu thực
nghiệm các hm ngẫu nhiên.
Giả sử hm ngẫu nhiên X (t ) có kỳ vọng toán học bằng không, đợc cho tại một số
hữu hạn điểm t1 , t2 , ..., tm , {k (t )} l hệ hm bất kỳ, cũng đợc cho tại các điểm t1 , t2 , ..., tm .
Ta sẽ xem hm ngẫu nhiên X (t ) nh một vectơ m chiều X ( X 1 , X 2 , ..., X m ) m mỗi thnh
phần của nó l một lát cắt của hm ngẫu nhiên X 1 = X (t1 ) , X 2 = X (t2 ) ,..., X m = X (tm ) .

Ta cũng xem các hm k (t ) nh những vectơ m chiều k (1k , 2k , ..., km ) m các thnh
phần

của

chúng

l

những

giá

trị

của

hm

k (t )

tại

các

điểm

ti ,

tức

1k = k (t1 ), 2k = k (t2 ), ..., km = k (t m ) .

Ta sẽ coi các vectơ k l trực giao v chuẩn hoá (trực chuẩn). Hai vectơ


a (a1 , a2 ,..., am ) v b (b1 , b2 ,..., bm ) gọi l trực giao nếu tích vô hớng của chúng bằng không,

m
a b = ai bi = 0 .
i =1

180

(8.3.11)


Vectơ a gọi l chuẩn hoá nếu độ di của nó bằng đơn vị

a=

m

a

2
i

=1.

(8.3.12)

i =1


Điều kiện trực chuẩn của các vectơ { k } đợc viết dới dạng
m


k
i

i =1

l
i

1 khi k = l ,
=
0 khi k l.

(8.3.13)



Ta biểu diễn vectơ ngẫu nhiên X dới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ { k }
n


X Ak k ,

(8.3.14)

k =1

trong đó các hệ số Ak l những tổ hợp tuyến tính của các thnh phần của vectơ ngẫu
nhiên
m

Ak = X j kj .

(8.3.15)

j =1

Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho các thnh phần vectơ sẽ dẫn tới hệ các đẳng thức
n

X i Ak ik ,

i = 1, 2, ..., m .

(8.3.16)

k =1


Phơng sai sai số của phép xấp xỉ vectơ ngẫu nhiên X bởi tổng (8.3.14) đợc xác
định dới dạng
2
n
n
n
n
m
m


2n = M X i Ak ik = = M X i2 2 X i Ak ik + Ak Al ik li =
k =1
k =1
k =1 l =1
i =1


i =1
n
m m
n
n
m
m

= M X i2 2 X i X j ik lj + Ak Al ik li .
k =1 i =1 j =1
k =1 l =1
i =1
i =1


(8.3.17)

Do (8.3.13), tổng cuối cùng trong đẳng thức (8.3.17) bằng
n

n

m

n

n

m

m

A A = A A = X X
k

k =1 l =1

k
i

l

l
i

i =1

k

k

k =1

i

j

k
i

k
j

.

(8.3.18)

k =1 i =1 j =1

Từ đó ta nhận đợc
m

n

m

m

2n = Rii Rij ik kj ,
i =1

(8.3.19)

k =1 i =1 j =1

trong đó Rij l mômen tơng quan giữa các lát cắt X i = X (ti ) v X j = X (t j ) của hm ngẫu

nhiên, tức l các phần tử của ma trận tơng quan Rij của vectơ ngẫu nhiên X .

Ta sẽ tìm một hệ các vectơ trực chuẩn { k } sao cho đại lợng 2n nhận giá trị nhỏ
nhất, hay nói cách khác, tổng ba lớp trong (8.3.19) nhận giá trị lớn nhất.


Những vectơ nh vậy gọi l các vectơ trực giao tự nhiên của vectơ ngẫu nhiên X ,

còn phép khai triển (8.3.14) với cách chọn các vectơ { k } nh vậy gọi l khai triển vectơ

ngẫu nhiên thnh các thnh phẫn trực giao tự nhiên.
Vì hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên l hm xác định dơng, nên mỗi số
hạng

181

m

m

bk = Rij ik kj

(8.3.20)

i =1 j =1


không âm, do đó, bi toán quy về việc xác định những vectơ trực chuẩn { k } sao cho mỗi
số hạng bk nhận giá trị lớn nhất.

Ta sẽ xét hệ phơng trình
m

R
ij

= i , i = 1, 2, ..., m .

j

(8.3.21)

j =1

Những giá trị của tham số
tại đó hệ (8.3.21) có nghiệm

(1 , 2 , ..., m ) khác vectơ không, đợc gọi l các giá trị riêng hay số riêng của ma trận

các hệ số Rij của hệ ny, còn các nghiệm k nhận đợc ứng với số riêng đã cho k đợc
gọi l những vectơ riêng của ma trận Rij .
Hệ (8.3.21) tơng tự (analog) nh phơng trình tích phân (8.2.1) m ta đã xét đối
với trờng hợp thể hiện của quá trình ngẫu nhiên đợc ghi liên tục, ma trận tơng quan
Rij của hệ (8.3.21), nh đã biết, l ma trận đối xứng, tơng tự nh nhân đối xứng của
phơng trình tích phân.
Những vectơ riêng của ma trận thực đối xứng ứng với những số riêng khác nhau sẽ
trực giao với nhau.


Thực vậy, ta xét vectơ riêng k v l ứng với các số riêng k v l , k l , ta có
m

R
ij

k
j

= k ik , i = 1, 2, ..., m ,

(8.3.22)

= l li , i = 1, 2, ..., m .

(8.3.23)

j =1

m

R
ij

l
j

j =1

Nhân hai vế của các đẳng thức trong (8.3.22) với li rồi cộng lại v nhân từng đẳng
thức trong (8.3.23) với ik v cũng cộng lại:
m

m

R
ij

k
j

m

l
i

i =1 j =1
m

= k ik li ,

m

R
ij

l
j

(8.3.24)

i =1
m

k
i

i =1 j =1

= l ik li .

(8.3.25)

i =1

Trừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận đợc
m

( k l ) ik li = 0 .

(8.3.26)

i =1

Vì k l 0 nên

m


k
i

l
i



= 0 , tức các vectơ k v l trực giao.

i =1

Ta tính phơng sai của các tổ hợp tuyến tính (8.3.15)
m

D[ Ak ] = M X j kj
j =1



m m
m m
k k
k k
(8.3.27)
= M X i X j i j = Rij i j

i =1 j =1
i =1 j =1

Nếu k l một số riêng của ma trận tơng quan, còn k (1k , 2k ,..., km ) l vectơ riêng
2

tơng ứng với nó, ta có thể viết (8.3.27) dới dạng

182

m

m

m

i =1

j =1

i =1

D[ Ak ] = ik Rij kj = k ik ik = k .

(8.3.28)

Từ đó thấy rằng các số riêng của ma trận tơng quan l phơng sai của các tổ hợp
tuyến tính Ak . Điều ny chỉ ra rằng các số riêng của ma trận tơng quan l những số
không âm.
Ta sắp xếp các số riêng của ma trận tơng quan theo thứ tự giảm dần

1 2 3 ... , v giả sử 1 , 2 , 3 , ... l những vectơ riêng tơng ứng với chúng.
Có một định lý sau đây về tính chất cực trị của các số riêng v các vectơ riêng của
ma trận đối xứng, tơng tự tính chất cực trị của các giá trị riêng v hm riêng của nhân
đối xứng của phơng trình tích phân.

Định lý: Trên tập hợp các vectơ chuẩn tắc (1 , 2 ,..., m ) tổng
m

m

i =1

j

R
ij

i

(8.3.29)

j


có cực đại bằng số riêng lớn nhất 1 của ma trận Rij . Cực đại ny đạt đợc khi vectơ

bằng vectơ riêng 1 ứng với số riêng 1 .

Trên tập hợp các vectơ trực giao chuẩn hoá với n 1 vectơ riêng đầu tiên
1 2

, , ..., n 1 của ma trận Rij , tổng (8.3.29) có cực đại bằng số riêng n đạt đợc khi

= n .


Chứng minh: Giả sử 1 , 2 , ..., m l những vectơ riêng độc lập tuyến tính của ma

trận Rij , khi đó vectơ có thể biểu diễn dới dạng tổ hợp tuyến tính của chúng




= c1 1 + c2 2 + ... + cm m .
(8.3.30)
Thế (8.3.30) vo (8.3.29), do tính chất trực giao của các vectơ riêng, ta nhận đợc
m

m

m

m

m

m

m

m

m

R = R c c = c R
ij

i

j

ij

i =1 j =1

i =1 j =1

k l

k
i

2
k

l
j

k =1 l =1

k =1

ij

k
i

k
j

.

(8.3.31)

i =1 j =1


Sử dụng (8.3.21) v điều kiện chuẩn hoá của các vectơ , ta đợc
m

m

m

m

m

R = c [ ] = c
ij

i

2
k

j

i =1 j =1

k 2
i

k

k =1

i =1

2
k k

k =1

m

1 ck2 = 1 .

(8.3.32)

k =1


Tổng (8.3.29) sẽ có giá trị cực đại bằng 1 khi = 1 , vì trong trờng hợp ny

c1 = 1, c2 = ... =Cm = 0 .



Bây giờ giả sử vectơ trực giao với các vectơ riêng 1 , 2 , ..., n 1 , khi đó trong khai

triển (8.3.30) c1 = c2 = ... = cn 1 = 0 v từ (8.3.32) ta nhận đợc
m

m

m

R = c
ij

i =1 j =1

i

2
k k

j

n .

(8.3.33)

k =n



Đẳng thức trong (8.3.33) đạt đợc khi = n .

Nếu lấy các vectơ riêng của ma trận tơng quan Rij lm hệ các vectơ { k } trong

khai triển vectơ ngẫu nhiên X (8.3.14) thì phơng sai của sai số xấp xỉ 2n sẽ đợc xác

định dới dạng

183

n

n

i =1

k =1

2n = Rii k ,

(8.3.34)

trong đó k các số riêng của ma trận tơng quan.
Nh vậy, với t cách l những vectơ trực giao tự nhiên khi khai triển vectơ ngẫu
nhiên thnh tổng của n thnh phần trực giao tự nhiên cần phải lấy n vectơ riêng của ma
trận tơng quan ứng với n số riêng đầu tiên của nó.

Khi chọn các vectơ riêng của ma trận tơng quan lm các vectơ { k }, các hệ số khai
triển Ak (8.3.14) đôi một không tơng quan.
Thực vậy,
m

m

m

m

m

i =1

j

i =1

j =1

i =1

M [ Ak Al ] = M [ X i X j ]ik lj = ik Rij li = l ik li = 0 khi k l

(8.3.35)

Vì các số riêng k của ma trận tơng quan l phơng sai của các hệ số khai triển
vectơ ngẫu nhiên theo các vectơ riêng của ma trận tơng quan, nên bi toán khai triển
vectơ ngẫu nhiên thnh tổng các thnh phần trực giao tự nhiên có thể đặt ra nh sau.
Chẳng hạn, giả sử có m giá trị của yếu tố khí tợng x1 , x2 , ..., xm . Đây có thể l những giá trị
tại m mực khác nhau hay tại m điểm khác nhau trên một mặt đẳng áp, hay những giá trị

tại một điểm, nhng ở những thời điểm khác nhau. Các vectơ trực chuẩn k (1k , 2k , ..., km ) ,
tức l những tổ hợp tuyến tính của các giá trị của yếu tố khí tợng xi , i = 1, 2, ..., m dạng
m

Ak = xi ik

(8.3.36)

i =1

đợc tìm sao cho phơng sai của những tổ hợp tuyến tính ny
2
m
m m
D[ Ak ] = M xi ik = Rij ik kj
i =1
i =1 j =1

(8.3.37)

cực đại.

Mỗi vectơ k nh vậy l một vectơ riêng của ma trận tơng quan

Rij . Số riêng của

ma trận Rij tơng ứng với vectơ đó bằng phơng sai của tổ hợp tuyến tính Ak .
ý nghĩa của khai triển hm ngẫu nhiên thnh tổng các thnh phần trực giao tự
nhiên l ở chỗ, từ một số lợng lớn những số liệu thực nghiệm, trớc hết tách ra tổ hợp
tuyến tính A1 , có độ biến thiên (phơng sai) lớn nhất. Tổ hợp tuyến tính ny tơng ứng

với vectơ riêng 1 ứng với số riêng lớn nhất trong các số riêng của ma trận tơng quan.
Tiếp theo xét đến những tổ hợp tuyến tính Ak , không tơng quan với A1 , v chọn lấy tổ
hợp A2 trong số chúng có độ biến thiên lớn nhất, v.v... Sau khi chọn đợc một số không
lớn những tổ hợp nh thế, độ biến thiên của tất cả các tổ hợp tuyến tính còn lại trở nên
nhỏ. Vì vậy, khi mong muốn mô tả phần lớn độ biến thiên đặc trng của tập hợp các giá
trị x1 , x2 , ..., xm , chúng ta có thể sử dụng không phải tất cả các tổ hợp tuyến tính Ak , m
chỉ một số tổ hợp ứng với những số riêng lớn nhất k .
Khi đó, để đánh giá sai số mắc phải, có thể sử dụng phơng sai tơng đối của sai số

184