Tải bản đầy đủ
Chương 6: Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm

Chương 6: Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm

Tải bản đầy đủ

m(t ) v hm tơng quan R(t1 , t 2 ) , ta sẽ ký hiệu các đặc trng thống kê tơng ứng dới
~
~ (t ), R
dạng m
(t , t ) .
1

2

Có thể xét hm ngẫu nhiên nh tập hợp tất cả các lát cắt của nó. Xuất phát từ đó,
có thể đa việc xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên về việc xác định các
đặc trng tơng ứng của hệ các đại lợng ngẫu nhiên.
Giả sử do kết quả thực nghiệm ta nhận đợc n thể hiện X i (t ) (i = 1, 2, ..., n) của quá
trình ngẫu nhiên X (t ) trên khoảng t0 t t0 + T (hình 6.1).
Ta sẽ chia khoảng ny thnh m phần bằng nhau bởi các điểm t0 , t1 , ..., tm1 , t0 + T . Đối
với mỗi giá trị của đối số t j ( j = 1, 2, ..., m) ta nhận đợc một lát cắt của quá trình ngẫu
nhiên X j = X (t j ) l một đại lợng ngẫu nhiên, tức l ta nhận đợc hệ m đại lợng ngẫu
nhiên. V thay cho các đặc trng thống kê của quá trình ngẫu nhiên ta sẽ xét những đặc
trng tơng ứng của hệ các đại lợng ngẫu nhiên ny.

Hình 6.1

Theo mục 1.8, những đặc trng đó l: kỳ vọng toán học của các đại lợng ngẫu
nhiên
~ [X ] = m
~ (t )
(6.1.1)
m
j
x
j
l những giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên tại các giá trị
rời rạc của đối số tj, v ma trận tơng quan
~
~
~
R
... R1 m
R
11 ~12
~

R22 ... R2 m
~
R j ,l =
(6.1.2)
.
...
...


~

Rmm

Các phần tử của ma trận tơng quan (6.1.2) l mômen tơng quan thống kê giữa các
lát cắt của quá trình ngẫu nhiên, ứng với các giá trị của đối số t j v tl , tức l các giá trị
thống kê của hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên tại những giá trị rời rạc của đối số
t j v tl
~
~
R j ,l = Rx (t j , tl ) .
Theo luận điểm của thống kê toán học (chẳng hạn, xem [8]), ngời ta xem trung
bình số học của n giá trị hiện có của đại lợng ngẫu nhiên l giá trị thống kê của kỳ vọng
toán học
n

~ (t ) = 1 x (t ), j = 1, 2, ..., m .
m
i j
x
j
n i =1

144

(6.1.3)

Tơng tự, các giá trị thống kê của mômen tơng quan đợc xác định theo công thức

[

]

~
1 n
Rx (t j , tl ) =
xi (t j ) m~ x (t j ) [xi (tl ) m~ x (tl )]
n 1 i =1

(6.1.4)

Đặc biệt, khi j = l mômen tơng quan l giá trị thống kê của phơng sai tại lát cắt
tơng ứng

[

]

1 n
~
~
~ (t ) 2 .
(6.1.5)
D x (t j ) = R x (t j , t j ) =
x i (t j ) m

x
j
n 1 i =1
r j ,l = ~
rx (t j , t l ) l những giá trị thống kê
Các giá trị thống kê của hệ số tơng quan ~
của hm tơng quan chuẩn hoá ~
rx (t j , t l ) tại những giá trị đối số t j , tl , đợc xác định theo

công thức

~
R x (t j , t l )
~
rx (t j , t l ) = ~
~ (t ) ,
x (t j )
x l

(6.1.6)

~
~ (t ) = D
trong đó
x
x (t ) .

Phơng pháp vừa xét trên đây, lấy trị số trung bình số học theo tất cả các thể hiện
có đợc lm giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu nhiên, dựa trên cơ
sở sử dụng quy luật số lớn. Quy luật ny phát biểu rằng, khi số lợng các thí nghiệm l
lớn, với xác suất gần bằng đơn vị, có thể cho rằng độ lệch của giá trị trung bình so với kỳ
vọng toán học l nhỏ. ở đây giả thiết rằng, các thí nghiệm l độc lập v đợc tiến hnh
trong những điều kiện nh nhau. Các thí nghiệm đợc coi l tiến hnh trong những điều
kiện nh nhau nếu khi thực hiện chúng, tập hợp tất cả những tác động đợc tính tới,
điều kiện ban đầu v những mối liên hệ đợc giữ nguyên không đổi. Các thí nghiệm đợc
coi l độc lập nếu kết quả của mỗi thí nghiệm không phụ thuộc vo kết quả của những
lần thí nghiệm khác. Dới góc độ toán học, tính độc lập của các lần thí nghiệm khác nhau
tơng đơng với sự độc lập của luật phân bố của hm ngẫu nhiên trong các thí nghiệm
đó, còn sự tồn tại những điều kiện bên ngoi giống nhau khi tiến hnh thí nghiệm tơng
đơng với việc các quy luật phân bố của hm ngẫu nhiên nh nhau trong tất cả các lần
thí nghiệm.
Hệ phơng pháp vừa xét cũng đợc ứng dụng để xác định các đặc trng thống kê
của trờng ngẫu nhiên.





Giả sử có n thể hiện u i ( ) (i = 1, 2, ..., n) của trờng ngẫu nhiên U ( ) trong miền
không gian D no đó. Ta chia miền D thnh m phần bởi một tập hợp các mặt phẳng

song song với các mặt phẳng toạ độ v phân bố cách đều nhau. Ký hiệu j l bán kính
vectơ của điểm N j , đỉnh của các khối lập phơng m miền D đã đợc chia thnh. Khi đó





ứng với mỗi giá trị của đối số j l một đại lợng ngẫu nhiên U ( j ) lát cắt của trờng
ngẫu nhiên tại điểm N j . Tất cả các công thức để xác định các đặc trng thống kê của



trờng ngẫu nhiên U ( ) đợc nhận từ các công thức tơng ứng của quá trình ngẫu nhiên
X (t ) (6.1.3)(6.1.6) bằng cách thay thế chỉ số x thnh chỉ số u , còn đối số vô hớng t đợc

thay bằng đối số vectơ . Phơng pháp xử lý theo tập hợp các thể hiện của hm ngẫu
nhiên vừa xét đòi hỏi số lợng lớn các thể hiện, vì, nh đã biết từ thống kê toán học, độ
chính xác của các đặc trng thống kê nhận đợc giảm nhanh khi giảm số lợng thể hiện.
Với số lợng thể hiện lớn, việc tính toán theo công thức (6.1.3) v đặc biệt theo công
145

thức (6.1.4) rất khó khăn. Công việc ny có thể đợc thực hiện một cách hiệu quả nhờ
máy tính điện tử. Ngy nay ngời ta đã lập các chơng trình xác định kỳ vọng toán học
v ma trận tơng quan cho nhiều loại máy tính khác nhau, nhờ đó việc xử lý các thông
tin khí tợng thủy văn đợc thực hiện.
Thông thờng trong thực tế việc đo đạc các yếu tố khí tợng thủy văn đợc tiến
hnh không liên tục đối với tất cả các giá trị của đối số, m chỉ tại những giá trị rời rạc
của nó. Nh vậy, khi xác định các đặc trng của hm ngẫu nhiên theo số liệu thực
nghiệm quan trắc khí tợng thủy văn, chúng ta có một hệ các lát cắt đối với những giá trị
cụ thể đã cho của đối số, v chúng ta chỉ có thể thao tác với hệ đó.
Trong trờng hợp quá trình ngẫu nhiên dừng hay trờng đồng nhất đẳng hớng, kỳ
vọng toán học không phụ thuộc vo đối số của hm ngẫu nhiên, còn hm tơng quan l
hm chỉ của một đối số vô hớng modul của hiệu các đối số. Khi đó việc tính toán đơn
giản hơn nhiều, thay vì ma trận tơng quan (6.1.2) chỉ cần tính những phần tử ở hng
đầu tiên của nó, đó chính l các mômen tơng quan giữa các lát cắt nằm cách nhau
những khoảng khác nhau của hm ngẫu nhiên.

6.2. Các đặc trng thống kê của các hm ngẫu nhiên có tính Egođic
Đối với quá trình ngẫu nhiên dừng hay trờng đồng nhất đẳng hớng có tính egođic
việc lấy trung bình theo tập các thể hiện (xem chơng 2) có thể thay bằng lấy trung bình
theo một thể hiện cho trên khoảng biến thiên đủ lớn của đối số.
Ta xét các phơng pháp xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên trong
trờng hợp ny.
Giả sử có thể hiện x(t ) của quá trình ngẫu nhiên dừng egođic X (t ) cho trên khoảng
[0, T ] .
Nh đã trình by trong mục 2.6, các giá trị của kỳ vọng toán học v hm tơng
quan của quá trình ngẫu nhiên đợc xác định theo các công thức (2.6.1) v (2.6.2).
Trong công thức (2.6.2) có mặt giá trị thực của kỳ vọng toán học mx của quá trình
ngẫu nhiên. Song trong đa số trờng hợp giá trị ny cha đợc biết, v do đó thay cho giá
~ .
trị thực buộc phải sử dụng giá trị thống kê của kỳ vọng toán học m
x
Trên thực tế chúng ta thờng không có biểu thức giải tích của thể hiện x(t ) , m chỉ
l biểu diễn đồ thị của nó, nhận đợc bằng các dụng cụ tự ghi, hoặc thông thờng nhất l
bảng các giá trị của nó tại những trị số rời rạc của đối số t .
v

t1 t2

tj-1

tj

Hình 6.2

Khi đó, trong các công thức (2.6.1) v (2.6.2) các tích phân đợc thay thế gần đúng
bằng các tổng tích phân.

146

Giả sử có băng ghi liên tục của thể hiện x(t ) (hình 6.2), ta chia khoảng [0, T ] thnh
n phần bằng nhau độ di t v ký hiệu điểm cuối của từng đoạn l t j = jt ( j = 1, 2, ..., n) .
Vì T = nt , nên các công thức (2.6.1) v (2.6.2) có thể viết dới dạng
n

~ = 1 x( jt ) ,
m

x
n j =1

(6.2.1)

~
1 nk
Rx ( k ) =
[x( jt ) m~ x ][x[( j + k )t ] m~ x ] ,
n k j =1

(6.2.2)

trong đó k = kt (k = 1, 2, ..., m) .
Nếu băng ghi thể hiện không liên tục m l rời rạc, thì t j lấy bằng những giá trị
của đối số tại đó ghi giá trị của thể hiện x(t ) .
~
~ v hm tơng quan R
Việc xác định giá trị thống kê của kỳ vọng toán học m
u
u (l )

của trờng đồng nhất đẳng hớng U () theo một thể hiện cho trong miền không gian D

cũng đợc tiến hnh bằng cách tơng tự.
Hệ phơng pháp vừa xét cũng hon ton đợc áp dụng để xác định hm cấu trúc
của quá trình dừng egođic hay trờng ngẫu nhiên đồng nhất đẳng hớng. Công thức để
xác định giá trị thống kê của hm cấu trúc theo một thể hiện của hm ngẫu nhiên X (t )
cho trên đoạn [0, T ] có dạng
Bx () =

1
T

T

[x(t + ) x(t )] dt .
2

(6.2.3)

0

Khi thay thế tích phân trong (6.2.3) bằng tổng tích phân, giống nh đối với hm
tơng quan, ta có công thức

[

]

~
1 nk
2
Bx ( k ) =
x(t j + k ) x(t j ) .

n k j =1

(6.2.4)

Nếu không chỉ có một thể hiện, m l một số các thể hiện của nó nhận đợc trong
những điều kiện nh nhau, thì việc xử lý đợc tiến hnh theo phơng pháp trên đối với
từng thể hiện, sau đó lấy trung bình các đặc trng tính đợc. Trong trờng hợp ny cần
nhớ rằng giá trị trung bình của hm cấu trúc nhận đợc bằng cách lấy trung bình theo
một bộ n thể hiện độ di hữu hạn T , sẽ tiến tới giá trị thực khi lấy giới hạn n .
Còn đối với hm tơng quan, do khi tính nó không sử dụng giá trị thực m dùng
giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên, nên giá trị trung bình của
nó, thậm chí cả khi n , vẫn bị sai lệch.
Thực vậy, đối với hm cấu trúc ta có
1 T

~
[X (t + ) X (t )]2 dt =
M B x ( ) = M

T 0


[

=

1
T

T

]

{

}

M [X (t + ) X (t )] dt =
2

0

1
T

T

B ()dt = B () ,
x

x

(6.2.5)

0

tức l kỳ vọng toán học của hm cấu trúc thống kê bằng giá trị thực của nó.
Nếu các giá trị thống kê của hm tơng quan đợc xác định theo từng thể hiện độ
di T có sử dụng giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên, thì

147

T
1 T
~
~ ][X (t + ) m
~ ]}dt =
~ ][X (t + ) m
~ ] dt = = 1
[
M {[X (t ) m

(
)
M R x () = M
X
t
m

x
x
x
x


T




T
0
0



[

]

=

1
T

T

M {[X (t ) m x ][X (t + ) m x ]}dt
0



1
T

1
T

T

~
M {[m x m x ][X (t ) m x ]}dt +
0

T

M {[m

~ m ][X (t + ) m ]}dt
x
x
x

0

1
T

T

M [(m

]

~ m ) 2 dt .
x
x

(6.2.6)

0

Hạng thứ nhất trong (6.2.6) bằng giá trị thực của hm tơng quan Rx () . Thế các
~ vo những hạng còn lại của (6.2.6), sau một loạt biến đổi ta nhận
giá trị thống kê m
x
đợc biểu thức

[

]

~
M R x () = R x ()

T

2

1 1 [R x (1 ) + TR x (1 )] d1 +


(T )T 0


+

1
(T + 2 1 ) [R x (1 ) + R x ( 1 )] d 1
(T )T 0

(6.2.7)

Từ đó thấy rằng, kỳ vọng toán học của giá trị thống kê của hm tơng quan, m giá
trị trung bình của nó lấy theo tất cả các thể hiện sẽ tiến tới đó khi n , không trùng
với giá trị thực của hm tơng quan. Khi 0 , từ (6.2.7) ta nhận đợc công thức cho kỳ
vọng toán học của phơng sai thống kê của hm ngẫu nhiên khi tính giá trị của nó bằng
cách lấy trung bình theo từng thể hiện độ di T có sử dụng giá trị thống kê của kỳ vọng
toán học

[

]

[ ]

2
~
~
M R x (0) = M D x = D x 2
T

T

(T ) R

x

() d .

(6.2.8)

0

Từ (6.2.8) thấy rằng, thậm chí khi số thể hiện để lấy trung bình các giá trị thống kê
của phơng sai tiến tới vô hạn v khi khoảng ghi thể hiện T hữu hạn thì phơng sai
trung bình vẫn sẽ khác biệt với giá trị thực của phơng sai một đại lợng, phụ thuộc vo
T v bằng
T

=

2
(T ) Rx ()d .
T 2 0

(6.2.9)

Bằng việc xử lý số liệu thực nghiệm nh trên, ta nhận đợc các giá trị thống kê của
hm tơng quan tại những trị số rời rạc của đối số. Để có thể sử dụng tiếp hm tơng
quan khi nghiên cứu thống kê các quá trình v các trờng khí tợng thủy văn, thuận tiện
hơn nên sử dụng biểu thức giải tích của hm tơng quan nh l hm của đối số liên tục.
Có thể nhận đợc hm nh vậy bằng cách xấp xỉ các giá trị tính đợc bởi các biểu thức
giải tích khi sử dụng các phơng pháp toán học quen thuộc. Khi chọn biểu thức giải tích
để xấp xỉ hm tơng quan cần nhớ rằng điều kiện cần về tính dừng của quá trình ngẫu
nhiên hay tính đồng nhất của trờng ngẫu nhiên l điều kiện không âm của phổ. Vì vậy
chỉ có thể chọn những hm no có phổ không âm lm hm xấp xỉ.
Trong chơng 3 đã xét chi tiết một số hm v đã chỉ ra những hm no có thể dùng
lm hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng hay trờng ngẫu nhiên đồng nhất.
Dĩ nhiên những hm ny cha bao quát đợc tất cả các hm có phổ không âm m chúng
có thể l hm tơng quan, song nh nhiều nghiên cứu đã chỉ ra, những hm đó thờng
cho kết quả khá phù hợp với số liệu thực nghiệm khi xấp xỉ giá trị thống kê của hm
tơng quan của các quá trình v trờng khí tợng thủy văn.
148

Khi chọn các biểu thức xấp xỉ nên dựng đồ thị các mômen tơng quan nhận đợc v
xem xét tính chất phụ thuộc của nó vo đối số, so sánh đồ thị ny với đồ thị các hm
tơng quan đã xét ở chơng 3. Những chỉ dẫn tỉ mỉ về các phơng pháp xấp xỉ v độ
chính xác của chúng đã đợc xét trong các sách chuyên khảo v chúng ta sẽ dừng lại vấn
đề ny ở đây.
6.3 Độ chính xác xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên
Do nhiều nguyên nhân lm ảnh hởng tới độ chính xác, các đặc trng thống kê của
hm ngẫu nhiên xác định theo số liệu thực nghiệm l những đặc trng gần đúng v có
thể khác nhiều so với giá trị thực của kỳ vọng toán học v hm tơng quan. Ta sẽ xét ảnh
hởng của những nhân tố khác nhau tới độ chính xác của việc xác định các đặc trng
thống kê.
Để đơn giản cho việc tính toán ta sẽ tiến hnh nghiên cứu độ chính xác đối với quá
trình ngẫu nhiên. Với trờng ngẫu nhiên, tính chất nghiên cứu v các kết luận sẽ tơng
tự.
1. ảnh hởng của sai số trong số liệu ban đầu
Các số liệu thực nghiệm đợc sử dụng khi xử lý không tránh khỏi có chứa những
sai số phụ thuộc vo độ chính xác của phơng pháp quan trắc v các dụng cụ đo.
Ta sẽ cho rằng sai số đo l một quá trình ngẫu nhiên Y (t ) có kỳ vọng toán học m y (t )
v hm tơng quan R y (t1 , t2 ) .
Khi đó mỗi thể hiện zi (t ) của quá trình ngẫu nhiên X (t ) nhận đợc do thí nghiệm
sẽ l tổng của giá trị thực của thể hiện xi (t ) v sai số đo yi (t )
zi (t ) = xi (t ) + yi (t ) .

(6.3.1)

Trong trờng hợp ny, tơng ứng với (6.1.3), giá trị thống kê của kỳ vọng toán học
~
mz (t ) sẽ bằng
n

[

]

~ (t ) = 1
m
xi (t j ) + yi (t j ) = m~ x (t j ) + m~ y (t j ) .
z
j
n i =1

(6.3.2)

Vì trong trờng hợp đang xét ta chỉ quan tâm tới ảnh hởng của sai số đo, nên ta sẽ
coi số thể hiện đủ lớn sao cho các đặc trng thống kê của quá trình đợc xét không khác
biệt so với giá trị thực tơng ứng. Khi đó có thể viết (6.3.2) dới dạng
~ (t ) = m (t ) + m (t ) ,
m
(6.3.3)
z
j
x
j
y
j
tức l sai số của giá trị thống kê của kỳ vọng toán học bằng kỳ vọng toán học của sai số
đo.
Theo (6.1.4), ta sẽ xác định giá trị thống kê của hm tơng quan dới dạng
~
R z (t j , t l ) =
=

[

]

1 n
~ (t ) [z (t ) m
~ (t )] =
z i (t j ) m

z
j
i l
z
l
n 1 i =1

1 n
[ xi (t j ) + y i (t j ) m x (t j ) m y (t j )] [ xi (t l ) + y i (t l )
n 1 i =1

m x (tl ) m y (t l )] = = Rx (t j , tl ) + R y (t j , tl ) + R xy (t j , t l ) + R yx (t j , t l )

(6.3.4)

Trong thực tế quan trắc khí tợng thủy văn, thông thờng ngời ta thừa nhận
rằng, sai số đo không liên quan với giá trị thực của đại lợng đợc đo, v các sai số ứng

149

với những giá trị khác nhau của đối số không liên hệ với nhau, tức l
Rxy (t j , tl ) = R yx (t j , t l ) = 0,
0
R y (t j , t l ) = 2
y (t j )

(6.3.5)

khi j l ,

(6.3.6)

khi j = l.

Khi đó công thức (6.3.5) đợc viết dới dạng
R x (t j , t l )
~
R z (t j , t l ) = 2
2
x (t j ) + y (t j )

khi j l ,

(6.3.7)

khi j = l.

Từ công thức (6.3.7) suy ra rằng, trong trờng hợp đang xét sai số đo không ảnh
hởng tới giá trị thống kê của hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên khi t j tl ,
~ (t ) , nhận đợc từ (6.3.7) khi t = t ,
nhng lm tăng giá trị thống kê của phơng sai
z
j
j
l
lên một lợng bằng phơng sai của sai số đo y (t j ) .
Khi đó, theo (6.1.6), giá trị thống kê của hm tơng quan chuẩn hoá đợc xác định
nh sau
~
R z (t j , t l )
Rx (t j , t l )
~
=
.
(6.3.8)
rz (t j , t l ) = ~
~
z (t j ) z (t l )
2x (t j ) + 2y (t j ) 2x (t l ) + 2y (t l )
Từ (6.3.8) thấy rằng, sai số đo lm giảm giá trị thống kê của hm tơng quan chuẩn
hoá.
Đối với các quá trình ngẫu nhiên dừng X (t ), Y (t ) thì hm tơng quan phụ thuộc vo
một tham số = t l t j , còn các phơng sai 2x , 2y l những đại lợng không đổi, khi đó
(6.3.8) đợc viết thnh dạng
R ()
~
rz () = 2 x 2 .
x + y

(6.3.9)

Chia tử thức v mẫu thức của (6.3.9) cho 2x , ta có
~
rz () = rx ()

1
,
1+

(6.3.10)

trong đó rx () l giá trị thực của hm tơng quan chuẩn hoá, còn =

2y
2x

.

rz ()
Khi 0 hm tơng quan chuẩn hoá tiến tới đơn vị, do đó ~

1
, v điều
1+

ny cho phép xác định đại lợng .
Ta sẽ dựng đồ thị hm ~
rz () , bắt đầu từ giá trị = 0 v ngoại suy nó đến điểm
= 0 . Nếu 0 nhỏ thì có thể tiến hnh ngoại suy bằng phơng pháp đồ thị. Ngoi ra,
rz () bằng biểu thức giải tích, sau đó
cũng có thể thực hiện điều đó bằng cách xấp xỉ hm ~
tính giá trị của biểu thức ny với = 0 . Sử dụng đẳng thức (6.3.10), ta xác định đợc đại
lợng
1
.
(6.3.11)
1+ = ~
rz (0)
Bây giờ những giá trị bị hạ thấp của hm tơng quan chuẩn hoá thống kê có thể
đợc hiệu chỉnh lại khi nhân chúng với đại lợng 1 + vừa tìm đợc.

150

Để hiệu chỉnh giá trị bị tăng của phơng sai thống kê, cần phải lấy giá trị nhận
~ 2 chia cho 1 + theo công thức
đợc của
z
~2

2x = z .
(6.3.12)
1+
Giá trị thống kê của hm cấu trúc Bz () đợc xác định dới dạng
~
1 n
2
B z () =
[zi (t + ) zi ()] =
n 1 i =1
=

1 n
[xi (t + ) + yi (t + ) xi (t ) yi (t )]2 =

n 1 i =1

[

]

= Bx () + B y () + 2 Rxy (0) + Rxy (0) Rxy () R yx () .

(6.3.13)

Cũng dựa trên giả thiết về tính không tơng quan giữa sai số đo v các đại lợng
đợc đo v tính không tơng quan với nhau giữa sai số tại những thời điểm t khác nhau,
ta nhận đợc
~
Bz () = Bx () + 2 2y .
(6.3.14)
Nh vậy giá trị thống kê của hm cấu trúc bị tăng lên một lợng bằng hai lần
phơng sai của sai số.
~
Vì Bx (0) = 0 nên Bz (0) = 2 2y . Từ đây có thể tìm đợc đại lợng 2 2y bằng cách ngoại
~
suy đồ thị hm cấu trúc Bz () đến điểm = 0 . Sau khi xác định đợc 2y , có thể hiệu
chỉnh các giá trị nhận đợc của hm cấu trúc bằng cách trừ chúng cho 22y .
Hm cấu trúc chuẩn hoá đợc xác định theo công thức
B ( )
B ( )
bz () = z
= z
.
Bz () 2 Rz (0)

(6.3.15)

Do đó, giá trị thống kê của hm cấu trúc chuẩn hoá đợc xác định theo công thức
Bx () + 2 2y 2 2x bx () + 2 2y bx () +
~
bz () =
=
=
.
2 2x + 2 2y
2 2x + 2 2y
1+

(6.3.16)

Công thức ny đặc trng cho sự sai lệch của hm cấu trúc gây nên bởi sai số đo.
Chúng ta đã xét ảnh hởng của sai số đo trong số liệu ban đầu đến độ chính xác của
các đặc trng thống kê tính đợc bằng phơng pháp lấy trung bình theo tập hợp các thể
hiện. Các sai số đo cũng ảnh hởng đúng nh vậy đến độ chính xác của các đặc trng
thống kê của hm ngẫu nhiên dừng egođic, khi những đặc trng ny đợc xác định bằng
cách lấy trung bình theo một thể hiện với độ di đủ lớn.
2. ảnh hởng của sự hạn chế số lợng các thể hiện
Khi xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên bằng cách lấy trung bình
theo tập các thể hiện, chúng ta chỉ có một số lợng hạn chế các thể hiện, thờng l không
lớn.
Nh đã biết trong thống kê toán học, độ chính xác của việc xác định các đại lợng
ny phụ thuộc vo số lợng thể hiện. Đối với những đại lợng ngẫu nhiên phân bố gần
chuẩn, sai số bình phơng trung bình r của hệ số tơng quan đợc xác định theo công
thức

151

r =

1 r2
n 1

,

(6.3.17)

trong đó r l giá trị thực của hệ số tơng quan, n l số lợng các quan trắc độc lập.
Từ công thức (6.3.17) thấy rằng, đại lợng r phụ thuộc đáng kể vo giá trị của hệ
số tơng quan. Ký hiệu
=

r
1 r2
,
=
r
r n 1

(6.3.18)

ta nhận đợc:
với r = 0,9 =

0,2
n 1

, với r = 0,5 =

1,5
n 1

, với r = 0,1 =

9,9
n 1

.

Điều ny cho thấy, giá trị thống kê của các hệ số tơng quan đối với các cặp lát cắt
của hm ngẫu nhiên liên hệ chặt chẽ với nhau tin cậy hơn so với trờng hợp các lát cắt
liên hệ yếu.
Đối với những quá trình ngẫu nhiên gặp trong khí tợng thủy văn, mối liên hệ tơng
quan thờng giảm khá nhanh khi tham số tăng.
Nh vậy, các giá trị R() nhận đợc theo số liệu thực nghiệm sẽ chính xác hơn với
những trị số nhỏ v ít tin cậy khi lớn. Xuất phát từ đó, khi xấp xỉ các giá trị nhận
đợc của hm tơng quan R() bằng biểu thức giải tích cần phải đạt đợc sự phù hợp tốt
giữa các giá trị thực nghiệm v giá trị lm trơn tại những không lớn, nếu cho rằng sự
sai lệch tại những trị số lớn chủ yếu l do ngẫu nhiên.
Đối với những hm ngẫu nhiên dừng, các giá trị của hm tơng quan có thể đợc
chính xác hoá bằng cách tính chúng cho những trị số giống nhau lấy trên những đoạn
khác nhau của khoảng biến thiên của đối số t , v sau đó lấy trung bình chúng. Trong
trờng hợp ny sai số bình phơng trung bình của chúng sẽ giảm. Mức độ giảm của sai
số ny cng đáng kể nếu các lát cắt của hm ngẫu nhiên trên những đoạn của khoảng
biến thiên t , m tại đó ta tính các trị số r () để lấy trung bình, cng ít liên hệ với nhau.
Khi để ý đến điều đó, cần lặp lại việc tính toán r () qua các khoảng biến thiên đủ
lớn của tham số t , sao cho mối liên hệ tơng quan giữa các lát cắt trong những khoảng
đó trở nên không đáng kể.
Nếu các hệ số tơng quan tham gia vo phép lấy trung bình đợc tính trên những
đoạn thực tế độc lập với nhau, thì nh đã biết, sai số bình phơng trung bình r sẽ giảm
đi

k lần, với k l số giá trị r () đem lấy trung bình. Bây giờ ta sẽ xét sai số xuất hiện

khi xác định các đặc trng thống kê bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện.
3. ảnh hởng của sự hạn chế khoảng ghi thể hiện
Khi xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên dừng có tính egođic bằng
cách lấy trung bình theo một thể hiện sẽ xuất hiện sai số do chúng ta chỉ có một bản ghi
thể hiện trên một khoảng biến thiên hữu hạn no đó của đối số m không phải trên
ton bộ khoảng vô hạn.
Khi đó mỗi đặc trng thống kê sẽ l một đại lợng ngẫu nhiên, v ta quan tâm tới
mức độ sai lệch có thể của đại lợng ny khỏi giá trị thực của nó. Vì vậy, đơng nhiên ta
sẽ lấy bình phơng trung bình độ lệch của các giá trị có thể của đặc trng thống kê so với
giá trị thực lm thớc đo độ chính xác của đặc trng thống kê ny.

152

Giả sử giá trị thực của đặc trng l a, còn giá trị thống kê của nó nhận đợc bằng
việc lấy trung bình theo một thể hiện l một trong những giá trị có thể của đại lợng
~
ngẫu nhiên A , khi đó để lm thớc đo độ chính xác ngời ta dùng đại lợng

(

)

2
~
= M Aa .



(6.3.19)

~ bằng cách lấy trung bình theo
Khi xác định giá trị thống kê của kỳ vọng toán học m
x
một thể hiện của hm ngẫu nhiên X (t ) cho trên khoảng [0, T ] , theo (2.6.1) thì đại lợng

(6.3.19) sẽ đợc xác định dới dạng
2
1 T
1

= M X (t )dt m x = M 2
T 0

T
2
m

1
T2

=

T T

[X (t ) dt m ][X (t
1

x

2

0 0


)dt m x ] dt1dt 2 =


T T

R (t
x

2

t1 )dt1 dt 2 ,

(6.3.20)

0 0

trong đó mx l giá trị thực của kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên X (t ) , còn
Rx (t2 t1 ) = Rx () l hm tơng quan của nó. Ta biến đổi tích phân hai lớp trong (6.3.20)
T T
T T


J = Rx (t 2 t1 )dt1 dt 2 = Rx (t 2 t1 )dt 2 dt1 .
0 0
0 0


(6.3.21)

Thay biến t2 t1 = ở tích phân bên trong
T T t1

J = R x ()d dt

0
t1

(6.3.22)

v lấy tích phân từng phần, ta đợc
T

T

T

0

0

0

J = T R x ()d R x ()d tR x (T t )dt .

(6.3.23)

Sau khi thay T t = trong tích phân cuối cùng của (6.3.23)
T

J = 2 (T ) R x ()d .

(6.3.24)

0

Thế (6.3.24) vo (6.3.20), cuối cùng ta có
2

1 R x ( ) d .

T 0 T
T

2m =

(6.3.25)

Từ (6.3.25) thấy rằng độ lệch bình phơng trung bình m , đặc trng cho độ chính
xác của việc xác định giá trị thống kê của kỳ vọng toán học, phụ thuộc vo khoảng lấy
trung bình T v phụ thuộc vo dạng của hm tơng quan Rx () .
Ví dụ, đối với hm ngẫu nhiên X (t ) có hm tơng quan
R x ( ) = D x e
2m =

2D x
T

T





1 T e



d =

0



2D x
T

,

(6.3.26)
1

T
1 T 1 e
.



(

)

(6.3.27)

Từ đó thấy rằng, đại lợng 2m phụ thuộc vo tích T . Với những giá trị T lớn
công thức xấp xỉ sau đây sẽ đúng

153

2m

2Dx
T

(6.3.28)

hay
m

Dx

2
.
T



(6.3.29)

Công thức (6.3.29) cho thấy rằng, tỷ trọng tơng đối của độ lệch bình phơng trung
bình của sai số xác định giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên X (t ) so
với độ lệch bình phơng trung bình của nó x = D x tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của
khoảng lấy trung bình T . Từ (6.3.29), với trị số đã cho, có thể tìm đợc độ di cần thiết

của khoảng T khi cho trớc sai số tơng đối cho phép m .
x
~
Khi xác định giá trị thống kê của hm tơng quan Rx () bằng cách lấy trung bình
theo một thể hiện của hm ngẫu nhiên X (t ) cho trên khoảng [0, T ] , theo (2.6.2), đại
lợng (6.3.19) sẽ đợc xác định dới dạng

{[

~
2R () = M R x () R x ()

= M


] }=
2

1 T

[X (t ) m x ][X (t + ) m x ]dt R x ()


T 0


2


.


(6.3.30)

Đối với trờng hợp hm ngẫu nhiên dừng phân phối chuẩn, bằng cách biến đổi biểu
thức (6.3.30), ví dụ nh trong [16] đã thực hiện, có thể nhận đợc công thức gần đúng để
tính 2R () dới dạng


2R ()

[

]

2
R x2 (1 ) + R x (1 + ) R x ( 1 ) d 1 .
T 0

(6.3.31)

Công thức ny đúng đối với những giá trị T lớn v với những giá trị m tại đó
R() còn có giá trị đáng kể.
Sử dụng công thức (6.3.31) có thể nhận đợc giá trị 2R () đối với hm ngẫu nhiên có
hm tơng quan (6.3.26) dới dạng
2R ()

[

]

Dx
1 + (1 + 2) e 2 .
(T )

(6.3.32)

Đặc biệt, với = 0 ta đợc công thức gần đúng đối với độ lệch bình phơng trung
bình của phơng sai thống kê
D
2D x .
(6.3.33)
T
Từ đó thấy rằng tỷ số giữa D v độ lệch bình phơng trung bình x của hm ngẫu
nhiên tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của khoảng lấy trung bình T.
4. ảnh hởng của phép thay thế tích phân bằng tổng tích phân
Nh đã chỉ ra ở trên, khi xác định các đặc trng thống kê của hm ngẫu nhiên
bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện sẽ xuất hiện sai số do tích phân xác định
trong các công thức (2.6.1) v (2.6.2) bị thay thế bằng tổng tích phân (6.2.1) v (6.2.2).
Theo (6.3.19), độ lệch bình phơng trung bình m , đặc trng cho độ chính xác của

154