Tải bản đầy đủ
Chương 5: Nội ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên

Chương 5: Nội ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên

Tải bản đầy đủ

nhiễu hay ồn.
Trong khí tợng thuỷ văn bi toán ny nảy sinh về cơ bản giống nh bi toán loại
bỏ sai số đo khi chỉnh lý các số liệu thực nghiệm. Khi đó có sự khác nhau cơ bản giữa bi
toán lm trơn số liệu thực nghiệm v bi toán tách tín hiệu trong kỹ thuật vô tuyến.
Trong kỹ thuật vô tuyến, v nói chung trong lý thuyết hệ điều khiển tự động, ngời ta
giả thiết rằng, nếu tín hiệu đi qua một thiết bị đợc sử dụng để lm trơn tín hiệu thì ở
thời điểm t no đó chỉ có những giá trị của tín hiệu trớc thời điểm ny đi qua, m không
thể tính đến những giá trị về sau của nó. Vấn đề ở chỗ cái gọi l nguyên lý nhân quả về
mặt vật lý của hệ. Khi đó, để nhận đợc giá trị x(t) phải tiến hnh lm trơn thể hiện z(t)
trên khoảng [a,t] no đó xảy ra trớc thời điểm ny.
Khi lm trơn các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý,
không sử dụng các thiết bị vật lý, chúng ta sẽ không bị phụ thuộc vo các điều kiện ny
v có thể sử dụng tất cả các giá trị của thể hiện z(t) đã có để lm trơn, tức l giá trị cần
tìm x(t) tại thời điểm t có thể đợc xác định bằng cách lm trơn các giá trị của thể hiện
z(t) trên ton đoạn [a,b].
3. Ngoại suy có lm trơn
Bi toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc lm trơn, vì trên thực tế ta luôn luôn
nhận đợc thể hiện của quá trình ngẫu nhiên m ta quan tâm có chứa cả sai số đo trong
đó. Khi đó bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên l ở chỗ, với thể hiện đã có trên đoạn
[a,t]
z(t) = x(t) + y(t)
phải dự báo đợc giá trị của thể hiện x(t) tại thời điểm t+T, T>0. Bi toán ny đợc gọi l
bi toán ngoại suy có lm trơn. Khi T<0 thì bi toán gọi l nội suy có lm trơn.
Trên thực tế, bi toán nội suy thờng xuất hiện trong các trờng hợp do thực
nghiệm giá trị của thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên đợc cho tại chuỗi những giá
trị rời rạc của đối số t1, t2,..., tn trong khoảng [a,b] no đó, v yêu cầu xác định giá trị của
thể hiện x(t) tại các thời điểm trong khoảng. Khi không có sai số đo y(t), nó đợc gọi l
bi toán nội suy thuần tuý, khi có sai số đo bi toán nội suy có lm trơn.
Khi nội suy các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý, ta
cũng có thể sử dụng tất cả các giá trị đã cho của thể hiện z(t), cả trớc v sau thời điểm t.
Có thể xét các bi toán nội, ngoại suy v lm trơn nh một bi toán chung xác định
giá trị thực của thể hiện x(t) tại giá trị tham số to no đó theo các giá trị đã biết của thể
hiện
z(t) = x(t) + y(t)
trên khoảng [a,b] no đó.
Phát biểu toán học của bi toán ngoại suy (nội suy) v lm trơn nh sau. Cho biết
thể hiện
z(t) = x(t) + y(t)

(5.1.1)

trên khoảng biến đổi của tham số [a,b] no đó, x(t) v y(t) l thể hiện của các quá trình
ngẫu nhiên X(t) v Y(t) có các kỳ vọng toán học, hm tơng quan, hm tơng quan quan
hệ cho trớc. Ta sẽ cho rằng, kỳ vọng toán học mx(t) v my(t) bằng 0. (Trong trờng hợp
ngợc lại ta sẽ xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm tơng ứng).

116

Yêu cầu xác định giá trị x(t0) cuả thể hiện x(t) tại thời điểm t0. Đối với trờng hợp
ngoại suy t0 = b + T, với T >0.
Tơng tự, t0 = b cho trờng hợp lm trơn.
Vì ta đang xét hm ngẫu nhiên nên cái m ta quan tâm l tìm phơng pháp giải
bi toán sao cho nhận đợc kết quả tốt nhất từ tập hợp tất cả các thể hiện theo nghĩa no
đó, tức l tìm một toán tử sao cho khi tác dụng lên tập các thể hiện z(t), sẽ cho giá trị tốt
nhất của thể hiện x(t0), theo nghĩa no đó.
Nếu ký hiệu toán tử cần tìm l L, ta có thể viết
X(t0) = L{Z(t)}

(5.1.2)

X(t0) = L{X(t) + Y(t)}

(5.1.3)

hay
Trớc hết cần xác định tiêu chuẩn chất lợng của nghiệm bi toán đặt ra l gì.
Trong khuôn khổ lý thuyết xác suất chỉ có thể đánh giá chất lợng của toán tử trên
phơng diện thống kê trung bình theo ton bộ tập thể hiện có thể của hm ngẫu nhiên.
Ký hiệu l hiệu giữa giá trị thực X(t0) v giá trị nhận đợc theo công thức (5.1.2),
= X(t0) L{Z(t)}

(5.1.4)

Có thể gọi toán tử L l tốt nhất nếu nó lm cho giá trị trung bình của một hm đợc
chọn no đó của hiệu trở nên cực tiểu, ví dụ nh kỳ vọng toán học của modul hiệu.
Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng l lm cực tiểu kỳ
vọng toán học của bình phơng hiệu
M[ 2] = M{[ X(t0) L{Z(t)}]2}

(5.1.5)

Ta sẽ gọi toán tử L l tối u nếu nó lm cho biểu thức (5.1.5) trở thnh cực tiểu, v
công thức (5.1.2) tơng ứng với nó l công thức ngoại suy (nội suy) hoặc lm trơn tối u.
Trên thực tế hiện nay, ta thừa nhận lời giải của bi toán đã nêu khi có những giới
hạn sau m chúng ta sẽ còn tiếp tục xét sau ny:
1) Toán tử L l tuyến tính v dừng, tức không phụ thuộc vo đối số t;
2) Các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng;
Với các giả thiết đã nêu, bi toán đang xét đợc gọi l bi toán nội, ngoại suy v
lm trơn tuyến tính tối u quá trình ngẫu nhiên dừng. Lần đầu tiên bi toán ny đợc A.
N. Komogorov [10] đề xuất v giải quyết. T tởng đó đợc phát triển tiếp trong công
trình của N. Viner [32].
Phơng pháp giải bi toán đã nêu phụ thuộc vo khoảng m trên đó thể hiện z(t)
đợc cho l vô hạn hay hữu hạn.
Ta sẽ xét từng trờng hợp riêng biệt. Trong đó, đối với trờng hợp khoảng hữu hạn,
ta sẽ xem rằng thể hiện đợc cho tại một số hữu hạn các giá trị rời rạc của tham số t,
điều m thờng xuyên xảy ra trong thực tế đo đạc khí tợng thuỷ văn.

5.2. Nội, ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn hm ngẫu nhiên cho trên
một số điểm hữu hạn
Ta bắt đầu xét từ trờng hợp khi đã biết chỉ một số hữu hạn giá trị của thể hiện
cuả quá trình ngẫu nhiên dừng, tức l biết các giá trị của thể hiện z(t) tại các thời điểm

117

t1, t2,..., tn (t1Nếu xem các giá trị ny l kết quả đo đạc có chứa sai số, ta có thể viết
z(tk) = x(tk) + y(tk), k = 1, 2, ..., n,

(5.2.1)

ở đây x(tk) l giá trị thực của thể hiện tại thời điểm tk, còn y(tk) l sai số đo. Ta sẽ
xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng, còn các đặc trng của
chúng, nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng quan quan hệ, đã biết.
Không lm mất tính tổng quát, có thể cho kỳ vọng toán học bằng 0 khi chuyển về
xét các hm qui tâm tơng ứng.
Có thể viết giá trị cần tìm x(t0), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính lên tất
cả các giá trị z(tk), dới dạng tổ hợp tuyến tính
n

x(t 0 ) = k z (t k )

(5.2.2)

k =1

trong đó k l các hệ số hằng số.
Bi toán dẫn đến việc tìm giá trị của các hệ số 1, 2,..., n sao cho đại lợng
2
n


(1 , 2 ..., n ) = M X (t0 ) k Z (t k )
k =1


2
n

(5.2.3)

nhận giá trị nhỏ nhất.
Nh đã biết, điều kiện cần để cực tiểu hm n biến l các đạo hm riêng theo từng
biến phải bằng không.
Từ đó suy ra rằng 1, 2,..., n phải l nghiệm của hệ phơng trình

n2 (1 , 2 ..., n )
= 0, k = 1,2,..., n.
k

(5.2.4)

Ta biến đổi biểu thức (5.2.3)
2
n


(1 , 2 ...,n ) = M X (t0 ) k [X (tk ) + Y (tk )] =
k =1


2
n

[

]

n

= M X 2 (t0 ) 2 k {M [X (to )X (t k )] + M [X (to )Y (t k )]} +

[

k =1

]

[

]

[

]

[

]

+ k j {M X (t k )X (t j ) + M X (t k )Y (t j ) + M Y (t k )X (t j ) + M Y (t k )Y (t j ) } =
n

n

k =1 j =1

[

]

[

= Rx (0) 2k Rx (to tk ) + Rxy (to tk ) + k j Rx (t j t k ) + R y (t j t k ) +
n

k =1

n

n

k =1 j =1

]

+ Rxy (t j tk ) + Ryx (t j tk )

(5.2.5)

Lấy đạo hm riêng vế phải (5.2.5) theo k v đồng nhất bằng 0, ta nhận đợc hệ
phơng trình:

[

]

R x (t o t k ) + R xy (t o t k ) +

[

]

+ j R x (t j t k ) + R y (t j t k ) + R xy (t j t k ) + R yx (t j t k ) = 0 ,
n

j =1

118

(5.2.6)

k = 1,2,..., n.
Đổi dấu, cuối cùng ta nhận đợc hệ để xác định các hệ số k

Rx (to tk ) + Rxy (to tk )

[

]

j Rx (t j t k ) + R y (t j t k ) + Rxy (t j tk ) + R yx (t j tk ) = 0 ,
n

j =1

(5.2.7)

k = 1,2,..., n.
Điều kiện (5.2.7) l điều kiện cần để hm n2 ( 1 , 2 ,..., n ) đạt cực trị. Có thể chứng
minh rằng với các giá trị 1, 2,...,n l nghiệm của hệ (5.2.7), hm (5.2.3) thật sự đạt giá
trị nhỏ nhất, có nghĩa l điều kiện (5.2.7) cũng l điều kiện đủ.
Nh vậy, về nguyên tắc bi toán nội, ngoại suy tuyến tính hoặc lm trơn trong
trờng hợp đang xét đợc đa về việc giải hệ phơng trình (5.2.7) để tìm các giá trị 1,
2,...,n v đặt vo công thức (5.2.2).
Để tính đợc sai số bình phơng trung bình n2 (1 , 2 ,..., n ) của phép nội, ngoại
suy tối u hay lm trơn, khi đã tìm đợc các giá trị 1, 2,..., n, ta nhân từng hạng tử của
(5.2.7) với k v cộng các kết quả lại, ta đợc

[R (t
n

n

k

j

x

j

]

t k ) + R y (t j tk ) + Rxy (t j tk ) + R yx (t j tk ) =

k =1 j =1

[

n

]

= k Rx (t0 t k ) + Rxy (t0 tk )
k =1

(5.2.8)

Thế vo (5.2.5) ta nhận đợc

n2 (1 , 2 ..., n ) = Rx (0) k [Rx (to tk ) + Rxy (to tk )]
n

(5.2.9)

k =1

Khi số giá trị quan trắc của thể hiện z(t) lớn, tức l khi số điểm n lớn, bi toán dẫn
đến việc giải hệ (5.2.7) với số phơng trình lớn, điều đó trở nên rất khó khăn thậm chí
ngay cả khi sử dụng máy tính điện tử. Trong trờng hợp ny, thông thờng để thuận tiện
hơn, một cách gần đúng xem rằng thể hiện z(t) đợc cho tại mọi giá trị của đối số t xảy ra
trớc thời điểm t0 v sử dụng phơng pháp đợc trình by trong mục 5.3.
Ta xét các trờng hợp riêng của bi toán tổng quát đã nêu.
1. Không có sai số đo. Nội ngoại suy thuần tuý.
Trong trờng hợp riêng, khi z(tk) = x(tk) l các giá trị chính xác của thể hiện x(t)
đợc xác định không chứa sai số, tức l khi y(tk) 0, v do đó

Ry ( ) Rxy ( ) 0

(5.2.10)

hệ (5.2.7) đợc viết dới dạng
n

Rx (t0 t k ) j Rx (t j t k ) = 0,

k = 1,2,...n

(5.2.11)

j =1

Vì hm tơng quan l xác định dơng nên định thức của hệ (5.2.11) khác không, v
do đó hệ luôn luôn có nghiệm. Sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u
trong trờng hợp ny đợc xác định bằng cách đặt các giá trị 1, 2,...,n tìm đợc vo
công thức

119

n

n2 (1 , 2 ,.... n ) = Rx (0) k Rx (t0 t k ),

(5.2.12)

k =1

Công thức ny nhận đợc từ (5.2.9) khi cho Rxy() 0.
Sử dụng (5.2.8) v điều kiện (5.2.10), ta có thể nhận đợc biểu thức sai số bình
phơng trung bình dới dạng khác
n

n

n2 (1 , 2 ,.... n ) = Rx (0) k j Rx (t j t k ).

(5.2.13)

k =1 j =1

Vì hm tơng quan Rx() l xác định dơng, nên dạng ton phơng trong biểu thức
(5.2.13) không âm
n

n


k

j

Rx (t j t k ) 0

(5.2.14)

k =1 j =1

Do đó, sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u không vợt quá
phơng sai của hm ngẫu nhiên X(t).
Để lm thớc đo sai số nội, ngoại suy, thuận tiện hơn l sử dụng đại lợng vô thứ
nguyên n, bằng tỷ số của sai số trung bình bình phơng n2 v phơng sai của hm ngẫu
nhiên Dx = Rx(0),

n =

n2

n

= 1 k rx (t0 t k ),

Dx

(5.2.15)

k =1

trong đó rx() l hm tơng quan chuẩn hoá của hm ngẫu nhiên X(t). Các hệ số k nhận
đợc theo phơng pháp nội, ngoại suy tối u l trọng số m các giá trị x(tk) trong tổng
(5.2.2) đợc tính đến theo chúng.
Các trọng số ny phụ thuộc vo mức độ quan hệ giữa các giá trị x(tk) với nhau v
mức độ quan hệ của chúng với giá trị đợc xấp xỉ x(t0).
Ta xét một vi trờng hợp giới hạn.
a) Giả sử lát cắt X(t0) của quá trình ngẫu nhiên, trên thực tế, không liên hệ với các
lát cắt của nó tại các thời điểm tk, tức l có thể xem

Rx (t0 tk ) = 0.

(5.2.16)

Khi ngoại suy, điều đó sẽ xảy ra trong trờng hợp nếu lợng ngắm đón T đợc chọn
lớn đến mức sao cho lát cắt của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm t0=tn+T không liên hệ
với các lát cắt của nó tại các thời điểm tk. Trong trờng hợp ny hệ (5.2.11) đợc viết dới
dạng
n

R (t
j

x

j

tk ) = 0, k = 1,2,....n.

(5.2.17)

j =0

Vì định thức của hệ thuần nhất ny khác 0, nên nó chỉ có nghiệm bằng 0 l
1=2=...=n=0, tức trong trờng hợp ny phơng pháp ngoại suy tối u cho giá trị bằng
kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên mx=0. Khi đó, theo (5.2.13), sai số bình phơng
trung bình của phép ngoại suy n2 bằng phơng sai hm ngẫu nhiên.
b) Giả sử lát cắt của hm ngẫu nhiên tại các thời điểm tk v tj không quan hệ với
nhau, nhng có quan hệ với lát cắt tại thời điểm t0.

120

Khi nội suy, trờng hợp ny có thể tơng ứng với trờng hợp các lát cắt liền kề
nhau X(tk1) v X(tk) của quá trình ngẫu nhiên khi hiệu tktk1 lớn, trên thực tế không
quan hệ với nhau, nhng có quan hệ với giá trị nội suy X(t0), ở đây tk1(5.2.11) đợc viết dới dạng

k Rk (0) = Rx (t0 tk ),

k = 1,2,....n.

(5.2.18)

Từ đó

k =

Rx (t0 t k )
= rx (t0 tk ),
Rx (0)

(5.2.19)

tức l các trọng số k bằng hệ số tơng quan giữa các lát cắt của hm ngẫu nhiên
tại các thời điểm to v tk. Trọng số của giá trị x(tk) cng lớn thì x(tk) cng liên hệ chặt chẽ
với giá trị x(to).
2. Có sai số đo, nhng sai số không tơng quan với nhau v không quan hệ với giá
trị thực của đại lợng đợc đo.
Ta xét một trờng hợp quan trọng trong thực tế, khi sai số đo Y(t) tại các giá trị
khác nhau của đối số t không tơng quan với nhau, tức Ry()0 khi 0, v các sai số ny
không tơng quan với các giá trị thực của đại lợng đợc đo, tức hm tơng quan quan
hệ Rxy() 0 với mọi . Trong trờng hợp ny công thức (5.2.5) đối với sai số bình phơng
trung bình của phép ngoại suy n2 đợc viết dới dạng
n

n2 (1 , 2 , 3 ... n ) = Rx (0) 2 k Rx (t 0 t k ) +
k =1

n

n

n

+ k j Rx (t j t k ) + k2 R y (0).
k =1 j =1

(5.2.20)

k =1

Khi đó hệ (5.2.7) để xác định các hệ số k có dạng
n

Rx (t0 t k ) j Rx (t j t k ) k R y (0) = 0, k=1,2,...,n

(5.2.21)

j =1

Nhân các hạng tử của (5.1.21) với k v cộng các kết quả lại, ta đợc
n


k =1

n

k

n

n

Rx (t0 t k ) = k j Rx (t j t k ) + R y (0) k2 .
k =1 j =1

(5.2.22)

k =1

Thế (5.2.22) vo (5.2.20), ta nhận đợc công thức đối với sai số bình phơng trung
bình của phép nội, ngoại suy tối u
n

n2 (1 , 2 ,... n ) = Rx (0) k Rx (t0 t k ).

(5.2.23)

k =1

hay
n

n

n

n2 (1 , 2 ,... n ) = Rx (0) k j Rx (t j t k ) Ry (0) k2 .
k =1 j =1

(5.2.24)

k =1

Công thức (5.2.23) trùng với dạng công thức (5.2.12) cho trờng hợp không có sai số
đo. Nó không chỉ rõ ảnh hởng của sai số đo đến đại lợng sai số n2 , tuy nhiên ảnh
hởng ny l có, vì các hệ số k xác định từ hệ (5.2.21) phụ thuộc vo phơng sai của sai
số đo Dy=Ry(0).

121

Trong công thức (5.2.24) ảnh hởng của sai số đo đợc thể hiện qua cả ảnh hởng
của nó đến các hệ số k cũng nh biểu hiện một cách trực tiếp qua các hạng tử cuối cùng.
Có thể chứng minh rằng, sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy n2
tăng lên khi phơng sai sai số Dy tăng, còn các trọng số k thay đổi sao cho tổng bình
phơng của chúng giảm, tức l sai số đo sẽ lm giảm độ chính xác của phép nội, ngoại
suy tối u.
Tuy nhiên khi nội, ngoại suy tối u có lm trơn, tức l khi xác định các trọng số k
có tính đến sai số đo theo công thức (5.2.21), đại lợng sai số n2 nhận đợc sẽ bé hơn so
với khi ta tiến hnh nội ngoại suy thuần tuý theo công thức (5.2.11) v bỏ qua việc tính
đến sai số đo.

5.3. Ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn quá trình ngẫu nhiên cho
trên khoảng vô hạn
Giả sử các giá trị thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t), đợc xác định với sai
số ngẫu nhiên y(t) cũng l thể hiện của quá trình ngẫu nhiên Y(t), đã đợc biết trớc trên
khoảng vô hạn xảy ra trớc giá trị đã cho của đối số, tức l thể hiện z(t) = x(t) + y(t) cho
trớc trên khoảng (, t).
Trên thực tế điều ny có nghĩa l thể hiện z(t) đợc cho trên một khoảng biến đổi
đủ lớn của đối số, lớn hơn khoảng m trên đó mối liên hệ tơng quan giữa các lát cắt của
quá trình ngẫu nhiên đã hon ton lụi tắt.
Giống nh trớc đây, ta xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên
hệ dừng có kỳ vọng toán học bằng 0, v cho trớc các hm tơng quan Rx(), Ry(), các
hm tơng quan quan hệ Rxy(), Ryx().
Yêu cầu xác định giá trị x(t+T) sao cho kỳ vọng toán học của bình phơng hiệu 2
giữa các giá trị thực v giá trị dự báo trở nên cực tiểu.
Tơng ứng với những điều đã trình by trong mục 4.2, có thể biểu diễn giá trị cần
tìm x(t+T) l kết quả tác dụng toán tử tuyến tính lên hm z(t) (5.1.2), dới dạng




x(t + T ) = g ( )z (t )d = g ( )[x(t ) + y (t )]d
0

(5.3.1)

0

Bi toán dẫn đến việc lựa chọn hm trọng lợng g(t) để cho đại lợng
2



= M X (t + T ) g ( )Z (t )d
0


2

đạt cực tiểu.
Trong đó, hm trọng lợng phụ thuộc lợng ngắm đón T.
Ta biến đổi (5.3.2)


= M [X (t + T )] 2 g ( )M [X (t + T )Z (t )]d +
2

2

0





0

0

+ g ( 1 )d 1 g ( 2 )M [Z (t 1 )Z (t 2 )]d 2 =

122

(5.3.2)







= Rx (0 ) 2 g ( )Rxz (T + )d + g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rz ( 2 1 )d 2
0

Trong đó

0

(5.3.3)

0

Rxz ( ) = M [X (t + T )Z (t )] = M {X (T + )[ X (t ) + Y (t )]} =
= Rx ( ) + Rxy ( )

(5.3.4)

R z ( ) = M[Z(t + )Z(t )] =

= M {[X (t + ) + Y (t + )][X (t ) + Y (t )]} =

= Rx ( ) + Rxy ( ) + R yx ( ) + R y ( )

(5.3.5)

Ta hãy xác lập điều kiện cần v đủ m hm trọng lợng g(t) phải thoả mãn để cho
đạt cực tiểu.
2

Giả sử hm g(t) lm cho 2 đạt cực tiểu, khi đó nếu trong (5.3.3) thay cho g(t) l
hm
g1(t) = g(t) + a(t)

(5.3.6)

trong đó a l một số thực bất kỳ, còn (t) l một hm tuỳ ý, thì đại lợng chỉ có thể chỉ
có thể tăng lên.
2

Do vậy, khi đó 2 đợc xét nh l hm của đối số a, đạt cực tiểu khi a=0, tức đạo
hm của nó theo a phải bằng 0 khi a=0.
Thay (5.3.6) vo (5.3.3) ta đợc


(a ) = R x (0) 2 [g ( ) + a ( )]R xz (T + )d +
2

0





0

0

+ d 1 [g ( 1 ) + a ( 1 )][g ( 2 ) + a ( 2 )]Rx ( 2 1 )d 2 =


= Rx (0 ) 2 [g ( ) + a ( )]Rxz (T + )d +
0





[

]

+ d 1 g ( 1 )g ( 2 ) + a ( 2 )g ( 1 ) + a ( 1 )g ( 2 ) + a 2 ( 1 ) ( 1 ) Rz ( 1 2 )d 2
0

0

(5.3.7)

Khi lấy vi phân dới dấu tích phân (5.3.7) theo tham số a, ta nhận đợc

d 2 (a )
= 2 ( )Rxz (T + )d + ( 2 )d 2 g ( 1 )Rz ( 2 1 )d 1 +
da
0
0
0








0

0



+ ( 1 )d 1 g ( 2 )Rz ( 2 1 )d 2 =0

(5.3.8)

Thay 1 bằng 2, còn 2 bằng 1 vo tích phân cuối cùng, do tính chẵn của hm tơng
quan nên đẳng thức (5.3.8) đợc viết dới dạng






0

0

0

2 ( )Rxz (T + )d + 2 ( 2 )d 2 g ( 1 )Rz ( 2 1 )d 1 =0
hay
123

(5.3.9)









0



0



( ) Rxz (T + ) g ( )Rz (t )d dt = 0

(5.3.10)

Vì đẳng thức (5.3.10) đúng với mọi hm (t), nên đẳng thức sau cần thoả mãn


Rxz (T + ) g ( )Rz (t )d = 0 , với mọi t0

(5.3.11)

0

Nh vậy điều kiện (5.3.11) l điều kiện cần để cho 2 đạt cực tiểu. Ta chứng minh
rằng điều kiện ny cũng l đủ. Muốn vậy ta viết (5.3.7) dới dạng




0

0 0

2 (a) = Rx (0) 2 g ( )Rxz (T )d +

g (

1

)g ( 2 )R z ( 2 1 ) d 1d 2 +





2
+ 2a (t ) Rxz (T + ) + g ( )Rz (t )d dt + a ( 1 ) ( 2 )Rz ( 2 1 )d 1d 2 . (5.3.12)
0
0
0 0




Theo (5.3.3), ba hạng tử đầu tiên trong (5.3.12) l giá trị 2(0), hạng thứ t sẽ bằng
0 khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, tích phân hai lớp cuối cùng có thể viết dới dạng



a 2 ( 1 ) ( 2 )Rz ( 2 1 )d 1d 2 = a 2 M ( )Z (t )d ,

0
0 0

(5.3.13)

Từ đó thấy rằng, vế phải (5.3.13) l một số không âm, có thể ký hiệu bằng A2. Do
đó, khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, đẳng thức (5.3.12) đợc viết dới dạng

2 (a) = 2 (0) + A2

(5.3.14)

tức l kỳ vọng toán học của bình phơng sai số 2 chỉ có thể tăng lên khi thay hm trọng
lợng g(t), thoả mãn điều kiện (5.3.11), bởi một hm bất kỳ khác. Do vậy, nếu hm trọng
lợng g(t) thoả mãn điều kiện (5.3.11), thì 2 thực sự đạt cực tiểu.
Nh vậy, bi toán tìm hm trọng lợng g(t) đảm bảo 2 cực tiểu tơng đơng với bi
toán tìm hm trọng lợng g(t) l nghiệm của phơng trình tích phân (5.3.11). Phơng
trình tích phân ny đợc gọi l phơng trình Winer-Hopf, các tác giả lần đầu tiên khảo
sát phơng trình dạng ny.
Hm trọng lợng g(t), nghiệm của phơng trình WinerHopf, đợc gọi l hm trọng
lợng tối u, còn công thức (5.3.1) khi thế vo nó hm trọng lợng tối u g(t) gọi l công
thức ngoại suy tối u có lm trơn.
Khi T =0 ta nhận đợc công thức lm trơn tối u. Ta sẽ xác định sai số bình phơng
trung bình 2 của phép ngoại suy tối u.
Viết (5.3.3) dới dạng



= Rx (0) 2 Rxz (T + ) g ( ) Rz (t )d ì
0
0

2





ì g (t )dt g ( 1 ) g ( 2 ) Rz ( 2 1 )d 1d 2
0 0

Đối với hm trọng lợng tối u, do (5.3.11), hạng thứ hai triệt tiêu, từ đó

124

(5.3.15)



2 = Rx (0) g ( 1 ) g ( 2 )R( 2 2 )d 1d 2 .

(5.3.16)

0 0

Ta biến đổi tích phân hai lớp trong (5.3.16), muốn vậy ta ký hiệu mật độ phổ của
quá trình ngẫu nhiên Z(t) l Sz(), khi đó hm tơng quan Rz(21) có thể viết dới dạng


Rz ( 2 1 ) = e i ( 2 1 ) S z ( )d

(5.3.17)



Khi đó


g ( ) g (
1

2

)Rz ( 2 1 )d 1d 2 =

0 0





0 0



= g ( 1 ) g ( 2 ) e i ( 2 1 ) S z ( )dd 1d 2 =




= e i 1 g ( 1 )d 1 e i 2 g ( 2 )d 2 S z ( )d.
0

0

(5.3.18)

Theo (4.2.22), tích phân


g ( )e

i

d = L( )

(5.3.19)

0

l hm truyền tơng ứng với hm trọng lợng g(t), ta sẽ gọi nó l hm truyền tối u.
Tơng tự, tích phân


g ( )e

i

d = L * ( )

(5.3.20)

0

l liên hợp phức của hm truyền tối u. Từ đó, (5.3.18) đợc viết dới dạng










g ( 1 ) g ( 2 ) Rz ( 2 1 )d 1d 2 =

L( )

2

S z ( )d.

(5.3.21)

Thế (5.3.21) vo (5.3.16) ta nhận đợc công thức đối với sai số bình phơng trung
bình của phép ngoại suy tối u

2 = Rx (0)





2

L( ) S z ( )d =



[S



2

x

]

( ) L( ) S z ( ) d ,



(5.3.22)

trong đó Sx() l mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t). Theo (5.3.5) v do tính chất
tuyến tính của phép biến đổi Fourier, mật độ phổ Sz() đợc biểu diễn qua các mật độ
phổ Sx(), Sy() của các quá trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) v mật độ phổ quan hệ Sxy() của
chúng dới dạng

S z ( ) = S x ( ) + S xy ( ) + S yx ( ) + S y ( )

(5.3.23)

Tơng tự, theo (5.3.4), mật độ phổ quan hệ Sxz đợc biểu diễn dới dạng

S xz = S x ( ) + S xy ( )

(5.3.24)

Các phơng pháp giải phơng trình WinerHopf (5.3.11) đợc trình by trong các
mục 5.4, 5.5, 5.6.

125

Đơn giản nhất, phơng trình ny đợc giải cho trờng hợp thể hiện của quá trình
ngẫu nhiên z(t) đợc cho tại mọi giá trị t, tức l cho trên ton khoảng vô hạn (, +).
Nghiệm phơng trình (5.3.11) đối với trờng hợp ny đợc dẫn ra trong mục 5.4.
Trờng hợp ngoại suy hay lm trơn thể hiện z(t) chỉ với các giá trị của đối số t xảy
ra trớc thời điểm t dẫn tới phơng trình (5.3.11) chỉ đợc thoả mãn với các giá trị không
âm của đối số, khi t<0 hm trọng lợng g(t) nhất thiết phải bằng 0.
Ta xét hai phơng pháp giải phơng trình (5.3.11) đối với trờng hợp thờng gặp
nhất trong thực tế, khi các hm tơng quan Rx(), Ry() v hm tơng quan quan hệ Rxy()
có mật độ phổ hữu tỷ.
Phơng pháp thứ nhất dựa trên cơ sở sử dụng lý thuyết hm biến phức đợc trình
by ở mục 5.5. Phơng pháp giải thứ hai (xem 5.6) dựa trên cơ sở biểu diễn hm tơng
quan có phổ hữu tỷ dới dạng tổng các số mũ.
Trong trờng hợp tổng quát, khi m mật độ phổ không phải l các hm hữu tỷ của
tần số , lời giải sẽ rất phức tạp v ta sẽ không xét nó.
Trên thực tế, ngời ta xấp xỉ hm tơng quan nhận đợc theo các số liệu thực
nghiệm bằng các biểu thức giải tích. Khi đó, nếu sử dụng chúng vo mục đích ngoại suy
tối u hay lm trơn thì nên chọn biểu thức xấp xỉ hm có phổ hữu tỷ hoặc hm tơng
quan đợc xấp xỉ gần đúng với hm có phổ hữu tỷ, chẳng hạn, biểu diễn chúng dới dạng
tổng các số mũ.

5.4.

Lm trơn quá
vô hạn (,+)

trình

ngẫu

nhiên

cho

trên

khoảng

Khi lm trơn quá trình ngẫu nhiên m thể hiện của nó đợc cho trên khoảng
(,+), thì giá trị lm trơn đợc tìm dới dạng
+

x(t) =

g ( ) z (t )d .

(5.4.1)



Trong trờng hợp ny, tích phân ở biểu thức dới dấu tích phân trong (5.3.10) đợc
lấy trên ton khoảng (,+), v do đó, phơng trình (5.3.11) cần thoả mãn với mọi giá
trị của đối số t. Khi đó T=0 v phơng trình (5.3.11) đợc viết dới dạng
+

g ( ) R (t )d = R
z

xz

(t )

(5.4.2)



Ta biểu diễn Rz(t) v Rxz(t) qua mật độ phổ Sz() v mật độ phổ quan hệ Sxz():

Rz (t ) =

+

e

i ( t )

S z ( )d

(5.4.3)


+

Rxz (t ) =

e

it

S xz ( )d

(5.4.4)



Thay (5.4.3) v (5.4.4) vo (5.4.2) ta nhận đợc
+

+ i ( t )
it
g ( )e S z ( )d d = e S xz ( )d
+

126

(5.4.5)