Tải bản đầy đủ
Chương 4: Biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng

Chương 4: Biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng

Tải bản đầy đủ

Thực vậy,

m y (t ) = M [L{X (t )}]

(4.1.7)

Toán tử L tác dụng lên biến t, toán tử tìm kỳ vọng toán học tiến hnh lấy trung
bình tung độ của hm ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất cả các giá trị có thể của
đại lợng ngẫu nhiên X(t), cũng l toán tử tuyến tính. Vì vậy, có thể đổi chỗ trật tự tác
dụng của các toán tử M v L cho nhau, tức l my(t)= L{M[X(t)]}=L{mx(t)}, v điều đó đã
chứng minh cho đẳng thức (4.1.5).
Tiếp theo

[(

[

][

]

R y (t1 , t 2 ) = M {Y (t1 ) m y (t1 ) Y (t2 ) m y (t2 ) }=

)(

)]

= M L(t1 ) {X (t1 )} L(t1 ) {mx (t1 )} L(t2 ) {X (t2 )} L(t21 ){mx (t2 )} =

[

= M L(t1 ) L(t2 ){[ X (t1 ) mx (t1 )][X (t 2 ) mx (t 2 )]} =

= L(t1 ) L(t2 ){M [[ X (t1 ) mx (t1 )][ X (t2 ) mx (t 2 )]]} = L(t1 ) L(t 2 ){Rx (t1 , t2 )}.
Các công thức đã trình by trong chơng 2 đối với kỳ vọng toán học v hm tơng
quan của đạo hm v tích phân của hm ngẫu nhiên l các trờng hợp riêng của (4.1.5)
v (4.1.6).
Việc biết Dx(t) l cha đủ để nhận đợc phơng sai Dy(t) của quá trình ngẫu nhiên
Y(t). Trớc hết cần phải tìm hm tơng quan Ry(t1,t2) theo công thức (4.1.6), sau đó thế
vo nó t1=t2=t.
Để tìm các đặc trng của hm ngẫu nhiên, l kết quả tác dụng toán tử phi tuyến
lên hm ngẫu nhiên X(t), thì biết mx(t) v Rx(t1,t2) cũng cha đủ, vì trong trờng hợp ny
qui luật phân bố của hm X(t) đóng một vai trò quan trọng. Đối với các toán tử phi tuyến
có thể nhận đợc những kết quả tơng đối đơn giản chỉ ở trong một số trờng hợp riêng.
Trong trờng hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hm X(t) có qui luật phân bố
chuẩn, hm ngẫu nhiên Y(t) = L{X(t)} cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn, bởi vì do
tính chất tuyến tính của toán tử L, hm Y(t) có thể chỉ nhận đợc nhờ tổ hợp tuyến tính
của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tung độ của hm X(t). Nhng từ lý thuyết xác suất
ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính các đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn phụ thuộc hoặc
độc lập đều tuân theo qui luật phân bố chuẩn.
Do vậy, trong trờng hợp X(t) l hm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn,
thì Y(t) cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn v các đặc trng my(t), Ry(t1,t2) tìm đợc
hon ton xác định nó.
Nếu X(t) không phải l hm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, thì Y(t) cũng sẽ không có
cùng qui luật phân bố với X(t). Qui luật phân bố chuẩn cũng sẽ không đợc bảo ton nếu
toán tử L không tuyến tính.

4.2. Biến đổi tuyến tính dới dạng phổ
Ta hãy biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dới dạng phổ. Muốn vậy, ta sử dụng
khái niệm hm delta Dirac, một hm đợc sử dụng rộng rãi trong toán học.
Hm delta (t) l hm có các tính chất sau:

105

0 t 0
t = 0

1) (t ) =

(4.2.1)

tức l (t) bằng không với mọi giá trị t khác không, còn tại điểm t = 0 thì tăng lên vô hạn.
2) Tích phân hm delta trên ton miền vô hạn bằng đơn vị


(t )dt = 1

(4.2.2)



Hm delta không phải l hm theo
nghĩa thông thờng, m l một hm
tợng trng no đó. Theo nghĩa chính
xác, hm có các tính chất (4.2.1) v
(4.2.2) không tồn tại. Tuy nhiên có thể
xét hm (t) theo một nghĩa no đó
giống nh giới hạn của hm thông
thờng.
Ta lấy hm Gauss lm ví dụ
Hình 4.1

f (t ) =

t

2


1
2
e 2 ,
2

đối với hm ny hệ thức (4.2.2) đợc thoả mãn.
Ta sẽ giảm đại lợng xuống, khi đó đồ thị của hm sẽ nhọn hơn (trong nguyên
bản viết l đồ thị giãn ra ND) (hình 4.1), giá trị cực đại f (0 ) =

1
sẽ tăng, còn miền
2

giá trị khác không của hm thu hẹp lại. Lấy giới hạn khi 0 ta nhận đợc hm có tính
chất của hm delta.
Sử dụng khái niệm giới hạn ny, có thể biểu diễn hm delta dới dạng tích phân.
Tơng ứng với mục 1.12, mật độ phân bố của đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thể
đợc biểu diễn nh l phép biến đổi ngợc Fourier hm đặc trng của nó, theo (1.12.25)
hm ny có dạng g ( ) = e



2 2
2

. Do tính chẵn của hm ny nên ta có đẳng thức
t2

2
1
1
e 2 =
2
2



e

it

e



2 2
2

d

(4.2.3)



Lấy giới hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) khi 0 ta nhận đợc biểu diễn tích phân
hm delta

1
(t ) =
2



e

it

d

(4.2.4)



Nếu xét hm delta của đối số t, với l một số xác định, thì

0 t
t =

(t ) =

106

(4.2.5)



(t )dt = 1

(4.2.6)



Đối với mọi hm f(t) bất kỳ, liên tục tại t=, ta có đẳng thức


f ( ) (t )d = f (t )

(4.2.7)



Điều ny đợc suy ra một cách đơn giản nh sau, mặc dù không thật chặt chẽ. Vì
(t) khác 0 chỉ khi t=, nên tích phân (4.2.7) khác 0 chỉ trong khoảng [t, t+], với >0
bé tuỳ ý. Từ đó


t +

t +





t

t



f ( ) (t )d = f ( ) (t )d = f (t ) (t )d = f (t ) (t )d = f (t )

Ký hiệu g(t,) l kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L no đó lên hm delta (t)
tại điểm cố định

g (t , ) = L{ (t )} .

(4.2.8)

Nhờ hm g(t,) ny, ta sẽ biểu thị kết quả tác dụng toán tử L đã cho lên hm f(t)
bất kỳ cho trên đoạn [a,b].
Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta đợc
b

L{ f (t )} = g (t , ) f ( )d

(4.2.9)

a

Nh vậy, hm (t)=L{f(t)}, kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm f(t), có
thể đợc biểu diễn dới dạng
b

(t ) = g (t , ) f ( )d

(4.2.10)

a

Hm g(t,), kết quả tác dụng toán tử L lên hm delta (t), đợc gọi l hm trọng
lợng. (Trong kỹ thuật vô tuyến ngời ta gọi nó l hm chuyển xung).
Nếu hm f(t) đợc cho trong khoảng vô hạn (, +) thì có thể viết


(t ) = g (t , ) f ( )d

(4.2.11)



Trong trờng hợp riêng, nếu toán tử L l dừng thì hm trọng lợng chỉ phụ thuộc
vo hiệu t. Khi đó có thể viết

(t ) =



g (t ) f ( )d

(4.2.12)



Tích phân (4.2.12) đợc gọi l tích phân chập của hm f(t) v g(t).
Ký hiệu Sf() v S() l biến đổi Fourier (mật độ phổ) tơng ứng của các hm f(t)
v (t). Khi đó ta có:

f (t ) =




S ( )e d
i t

f



107

(4.2.13)



(t ) = S ( )e it d

(4.2.14)



Đặt các biểu thức trên vo (4.2.12), ta nhận đợc


i t
S ( )e d =





i
(
)
g
t


S f ( )e d d





(4.2.15)

Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân hai lớp v lm phép đổi biến t=1,
ta đợc



i 1
it
it
(
)
(
)
S

e
d

=
S

e
g ( 1 )e d 1 d

f




(4.2.16)

Ký hiệu G() l biến đổi Fourier (mật độ phổ ) của hm trọng lợng g(t)

G ( ) =

1
2



g (t )e

it

dt

(4.2.17)



Tích phân trong móc vuông (4.2.16) bằng 2G(), từ đó có thể viết



[S ( ) S ( ).2G( )]e d = 0
i t

(4.2.18)

f



Điều ny chứng tỏ rằng, biến đổi ngợc Fourier hm S ( ) S

f

( )2 G ( ) bằng

0, v do đó đẳng thức sau cần đợc thoả mãn

S ( ) = S f ( ).2G ( ) .

(4.2.19)

Hm:

L( ) = 2G ( ) =



g (t )e

it

dt

(4.2.20)



đợc gọi l hm truyền của toán tử tuyến tính L. Từ đó có thể viết (4.2.19) dới dạng

S ( ) = S f ( )L( ) (4.2.21)

Nh vậy, mật độ phổ S(), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm
f(t), bằng tích mật độ phổ Sf() của hm f(t) v hm truyền L() của toán tử.

4.3

Mật độ phổ của
ngẫu nhiên dừng

phép

biến

đổi

tuyến

tính

quá

trình

Bây giờ ta xét quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học bằng 0 v hm
tơng quan Rx() cho trớc. V giả sử một quá trình ngẫu nhiên khác Y(t) l kết quả tác
dụng toán tử tuyến tính dừng L lên quá trình ngẫu nhiên X(t)

Y (t ) = L{X (t )} .

(4.3.1)

Khi đó ta có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên Y(t) dới dạng

Y (t ) =



g (t )X ( )d



với g(t) l hm trọng lợng.

108

(4.3.2)

Thật vậy, mỗi thể hiện yi(t) của quá trình ngẫu nhiên Y(t), kết quả tác dụng toán tử
L lên hm không ngẫu nhiên xi(t) l thể hiện tơng ứng của quá trình ngẫu nhiên X(t),
v do đó đối với chúng hệ thức (4.3.2) l đúng, khi đó nó cũng đúng đối với tập tất cả các
thể hiện.
Trong trờng hợp toán tử tuyến tính L đợc cho dới hình thức một bộ biến đổi
thực no đó, thì nguyên tắc cần thoả mãn l khả năng thực hiện đợc về mặt vật lý, m
theo đó phản ứng của bộ biến đổi lên tác dụng lối vo không thể xuất hiện trớc khi bắt
đầu có tác động xảy ra, tức l hm trọng lợng g(t) cần phải đồng nhất bằng 0 khi t<.
Xuất phát từ đó, đối với bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dới dạng

Y (t ) =

t

g (t )X ( )d

(4.3.3)



Thực hiện phép đổi biến t=1, ta đợc


Y (t ) = g ( )X (t )d

(4.3.4)

0

g(t)=0

khi t <0

Ta xác định hm tơng quan quá trình ngẫu nhiên Y(t).

R y (t1 , t 2 ) = M [Y (t1 )Y (t1 )] =




= M g ( 1 )X (t1 1 )d 1 g ( 2 )X (t 2 2 )d 2 =
0
0




= g ( 1 ) g ( 2 )M [ X (t1 1 )X (t 2 2 )]d 2 d 1 =
0
0





0

0

= g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx (t 2 t1 2 + 1 )d 2

(4.3.5)

Từ đó thấy rằng, hm tơng quan Ry(t1,t2) chỉ phụ thuộc vo hiệu t2t1=, tức Y(t) l
quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng.




0

0

R x ( ) = g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx ( 2 + 1 )d 2

(4.3.6)

Ta xác định mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Y(t)

1
S y ( ) =
2
1
=
2



e

i





R ( )e
y

i

d =







0

0

d g ( 1 )d 1 g ( 2 )Rx ( 2 + 1 )d 2

(4.3.7)

Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân ba lớp v lm phép đổi biến 2+1=t,
ta nhận đợc tích của ba tích phân một lớp

S y ( ) =







1
g ( 1 )e i 1 d 1 g ( 2 )e i 2 d 2 Rx (t )e it dt .

2 0
0


109

(4.3.8)

Khi đó thừa số


Tích phân



1
2

R (t )e

dt = S x ( ) l mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t).



g ( )e
2

it

x

i 2

d 2 = L( ) l hm truyền của toán tử L. Vì hm trọng lợng

0



chỉ nhận các giá trị thực, nên tích phân


g ( )e d
i

1

1

1

= L * ( ) l đại lợng liên hợp phức

0

của hm truyền. Nh vậy, công thức (4.3.8) có thể viết dới dạng

S y ( ) = L( )L * ( )Sx ( )

(4.3.9)

S y ( ) = L( ) Sx ( )

(4.3.10)

hay
2

Do vậy, mật độ phổ của kết quả biến đổi quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) nhờ toán
tử tuyến tính dừng L bằng tích mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên v bình phơng
modul hm truyền của toán tử.

4.4.

nghiệm dừng
có hệ số hằng số

của

phơng

trình

vi

phân

tuyến

tính

Để lm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số
hằng số

an

d n y (t )
d n1 y (t )
dy (t )
+
a
+ ..... + a1
+ a0 y (t ) =
n 1
n
n 1
dt
dt
dt

= bm

d m x(t )
d m1 x(t )
dx(t )
+
b
+ ..... + b1
+ b0 x(t )
m 1
m
m 1
dt
dt
dx

(4.4.1)

Nh đã biết từ lý thuyết phơng trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng
quát của phơng trình (4.4.1) bằng tổng của nghiệm tổng quát y (t ) của phơng trình
thuần nhất tơng ứng v một nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình không thuần nhất.
Nghiệm y (t ) xác định cái gọi l dao động tự do hay dao động riêng của quá trình đang
xét, không phụ thuộc vo hm x(t). Trên thực tế thờng gặp những quá trình ổn định
trong đó dao động tự do tắt dần theo thời gian.
Nếu xét một thời điểm khá xa so với thời điểm ban đầu, khi m các dao động tự do
trên thực tế không còn tồn tại, ta có thể đặt y (t ) = 0. Khi đó, bi toán dẫn tới việc tìm
dao động cỡng bức y(t) gây nên bởi x(t). Ngời ta gọi quá trình nh vậy l ổn định để
phân biệt với quá trình chuyển tiếp m ở đó còn tồn tại dao động tự do.
Ta ký hiệu toán tử vi phân bằng chữ cái p, tức l

p=

d
d2
dn
, p 2 = 2 , ....., p n = n .
dt
dt
dt

Khi đó có thể viết phơng trình (4.4.1) dới dạng ký hiệu
(anpn+ an-1pn-1 +...+a1p+a0)y(t)=(bmpm+ bm-1pm-1 +...+b1p+b0)x(t) (4.4.3)
Đặt
anpn+ an-1pn-1 +...+a1p+a0=An(p)

110

(4.4.2)

bmpm+ bm-1pm-1 +...+b1p+b0=Bm(p)

(4.4.4)

ta có thể viết (4.4.3) dới dạng ký hiệu gọn hơn nữa

Bm ( p )
x(t )
An ( p )

y (t ) =
Biểu thức

(4.4.5)

Bm ( p)
l toán tử phơng trình vi phân (4.4.1) đợc viết dới dạng ký
An ( p)

hiệu. Có thể nói rằng hm y(t) l kết quả tác dụng toán tử đó lên hm x(t). Vì phơng
trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi thoả mãn nguyên lý chồng chất, tức nếu x(t)
l tổng của một số hm thì nghiệm y(t) bằng tổng các nghiệm của mỗi hạng tử riêng rẽ,
nên toán tử đang xét l tuyến tính. V khi đó, từ những điều đã trình by ở mục 4.2, có
thể tìm nghiệm y(t), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính (4.4.5) lên hm x(t),
theo công thức (4.2.12) dới dạng:

y (t ) =



g (t )x( )d ,

(4.4.6)



nếu nh đã biết hm trọng lợng g(t) l nghiệm của phơng trình vi phân (4.4.1), trong
đó hm delta (t) đóng vai trò l x(t).
Nh vậy, để tìm nghiệm y(t) của phơng trình (4.4.1) cần tìm nghiệm của phơng
trình

g (t ) =

Bm ( p )
(t )
An ( p )

(4.4.7)

đối với mọi giá trị t khi cố định v đặt hm g(t) tìm đợc vo (4.4.6).
Thuận tiện hơn sẽ tìm nghiệm y(t) dới dạng phổ khi sử dụng công thức liên hệ
(4.2.21) giữa mật độ phổ của các hm x(t) v y(t). Khi đó cần phải tìm hm truyền L()
của toán tử

Bm ( p)
.
An ( p)

Để tìm hm truyền L() ta xem x(t) l dao động điều ho
x(t)=eit

(4.4.8)

Khi đó, theo (4.4.6), nghiệm y(t) đợc viết dới dạng

y (t ) =



g (t )e

i

d =



=e

it





g ( )e

i (t )

d =



g ( )e

i

d = e it L( )

(4.4.9)



Ta thay (4.4.8) v (4.4.9) vo (4.4.1). Vì

d k it
k
e = (i ) eit
k
dt

[

]

d k it
k
e L( ) = (i ) L( )e it
k
dt
nên ta có
[an(i)n+ an-1(i)n-1+...+ a1(i)+a0]L()eit=
111

(4.4.10)
(4.4.11)

=[bm(i)m+ bm-1(i)m-1+...+ b1(i)+b0]eit

(4.4.12)

Từ đó ta nhận đợc biểu thức đối với hm truyền

L( ) =

bm (i ) + bm1 (i ) + ... + b1 (i ) + b0
n
n 1
an (i ) + an1 (i ) + ... + a1 (i ) + a0
m1

m

(4.4.13)

Khi sử dụng ký hiệu (4.4.4) có thể viết

Bm (i )
An (i )

L( ) =

(4.4.14)

Nh vậy, để xác định hm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vo
toán tử phơng trình vi phân đại lợng i.
Khi thay biểu thức tìm đợc của hm truyền vo (4.2.21), ta nhận đợc biểu thức
đối với mật độ phổ Sy() của nghiệm phơng trình vi phân

S y ( ) =

Bm (i )
S x ( )
An (i )

(4.4.15)

trong đó Sx() l mật độ phổ của hm x(t).
Bây giờ ta xét trờng hợp khi m x(t) trong phơng trình (4.1.4) l quá trình ngẫu
nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học bằng 0 v hm tơng quan l Rx(). Ta sẽ xác định
hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên Y(t) l nghiệm của phơng trình (4.4.1).
Vì Y(t) l kết quả tác dụng toán tử tuyến tính

Bm ( p)
lên hm ngẫu nhiên dừng
An ( p)

X(t), nên, từ những điều đã trình by trong mục 4.3, Y(t) cũng l hm ngẫu nhiên dừng.
Khi đó giữa mật độ phổ của các hm ngẫu nhiên X(t) v Y(t) xảy ra hệ thức (4.3.10).
Đặt giá trị tìm đợc của hm truyền của phơng trình vi phân (4.4.14) vo (4.3.10)
ta đợc
2

B (i )
S y ( ) = m
S x ( ) .
An (i )

(4.4.16)

Khi biết mật độ phổ Sy(), ta có thể tìm đợc hm tơng quan Ry() của hm ngẫu
nhiên Y(t) theo công thức

R y ( ) =




S ( )e d
i

y

(4.4.17)



Các ví dụ
1. Với những giả thiết nhất định, chuyển động một chiều (hình chiếu trên trục cho
trớc) trong mặt phẳng ngang của phần tử trong dòng khí có thể đợc mô tả bởi phơng
trình

m

dv(t )
+ bv(t ) = F (t )
dt

(4.4.18)

ở đây v(t) l hình chiếu của xung vận tốc phần tử trên trục đã cho, còn F(t) l hình chiếu
của lực tác động lên phần tử do ảnh hởng của rối khí quyển, thnh phần bv(t) đặc trng
cho lực ma sát.
Nếu chia (4.4.18) cho khối lợng phần tử m, thì phơng trình đợc viết dới dạng

112

dv(t )
+ v(t ) = F1 (t )
dt

(4.4.19)

Phơng trình (4.4.19) l phơng trình Lanjeven.
Ta sẽ cho rằng lực F1(t) l hm ngẫu nhiên dừng của thời gian m mật độ phổ của
nó Sf() có thể nhận giá trị hằng số, tức l "ồn trắng".
Sf()=c=const

(4.4.20)

Nh ta đã chỉ ra (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ không thể hằng số trên ton
dải tần số, vì nếu vậy phơng sai của quá trình ngẫu nhiên trở nên vô hạn. Giả thiết
rằng mật độ phổ có dạng đờng cong (hình 4.2) ít thay đổi trong một khoảng [T, T] no
đó v một cách gần đúng có thể xem nó l hằng số.
Khi tần số tiến đến vô hạn, S() tiến đến 0 rất nhanh, đảm bảo tính hội tụ của


tích phân

S ( )d .



Hình 4.2

Ta tìm hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên V(t) l nghiệm của phơng trình
(4.4.9) ở chế độ ổn định.
Muốn vậy, ta xác định hm truyền của phơng trình (4.4.9) khi viết nó dới dạng
ký hiệu

V (t ) =

1
F1 (t ) .
p +

(4.4.21)

Đối với phơng trình (4.4.21) hm truyền đợc viết dới dạng

L( ) =

1
.
i +

(4.4.22)

Từ đó ta nhận đợc mật độ phổ Sv() của nghiệm V(t) dới dạng

S v ( ) =

2

1
S f ( )
i +

(4.4.23)

c
.
+2

(4.4.24)

hay

S v ( ) =

2

Từ công thức (4.4.24) thấy rằng, Sv() giảm khi tăng, v dải tần số lớn, ở đó trị số
Sf() khác giá trị c m ta đã thừa nhận, không quan trọng.
Khi biết mật độ phổ Sv() ta có thể tìm đợc hm tơng quan Rv().
Trong ví dụ 1 mục 3.2 ta đã thấy rằng mật độ phổ

113

S ( ) =

2
( 2 + 2 )

tơng ứng với hm tơng quan

R ( ) = 2 e



2
c
, ta nhận đợc hm tơng
So sánh với (4.4.24) ta thấy = c , từ đó 2 =


quan của nghiệm phơng trình (4.4.19) dới dạng

Rv ( ) =

c
e


(4.4.25)

Trong mục 2.9 ta đã chứng tỏ rằng, quá trình ngẫu nhiên có hm tơng quan dạng
(4.4.25) l không khả vi. Cho nên cần lm chính xác ý nghĩa của phơng trình (4.4.19).
Tính không khả vi của quá trình V(t) l hệ quả của việc do ta nhận F(t) l "ồn trắng" có
mật độ phổ không đổi.
Trong trờng hợp ny, cách giải chính xác hơn l xét nghiệm phơng trình (4.4.19)
nh giới hạn của một dãy nghiệm no đó của phơng trình ny với vế phải dừng m mật
độ phổ của chúng tiến đến một hằng số.
2. Ta xét nghiệm dừng của phơng trình vi phân

d 2 y (t )
dy (t )
+ 2
+ k 2 y (t ) = F (t )
2
dt
dt

(4.4.26)

Phơng trình dạng (4.4.26) mô tả nhiều quá trình dao động vật lý. Đặc biệt, phơng
trình (4.4.26) mô tả chuyển động Brown của các phần tử. Trong trờng hợp ny y(t) l
toạ độ phần tử tại thời điểm t; 2

dy
l ma sát nhớt, gây nên sự cản trở chuyển động của
dt

phần tử, >0; k2y lực đn hồi; F(t) lực xáo trộn đợc xác định bởi sự dao động của số
lợng các va chạm phân tử.
Giả sử rằng, lực F(t) l quá trình ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ không đổi Sf() =
c. Theo (4.4.14), hm truyền của phơng trình (4.4.26) có dạng

L( ) =

1
1
= 2
2
2
(i ) + 2i + k k + 2i
2

(4.4.27)

Theo (4.4.16), mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên dừng Y(t), nghiệm của phơng
trình (4.4.26), đợc xác định dới dạng

S y ( ) =

2

1
c
c=
2
2
2
2
2
2
k + 2i
k + (2i )

(

)

(4.4.28)

Bằng cách ký hiệu

k 2 = 2 + 2, c =

2 2 k 2



(4.4.29)

có thể viết biểu thức (4.4.28) dới dạng

S y ( ) =

2 2



(

2 + 2
2

2 2

114

)

2

+ 4 2 2

(4.4.30)

Mật độ phổ ny (nh đã chỉ ra trong mục 3.2, ví dụ 5) tơng ứng với hm tơng
quan

R y ( ) = 2 e





cos + sin




.


(4.4.31)

Từ (4.4.29), biểu diễn v qua các hệ số của phơng trình
=

k2 2 ,

2 =

c
,
2k 2

(4.4.32)

ta viết hm tơng quan (4.4.31) dới dạng
Ry() =

c
2k

2

e





cos k 2 2 +
sin k 2 2

2
2
k







(4.4.33)

Quá trình ngẫu nhiên Y(t) có hm tơng quan dạng (4.4.31) l khả vi, tuy nhiên có
thể chỉ ra rằng nó không tồn tại đạo hm bậc hai. Vì vậy, cần xét nghiệm của phơng
trình (4.4.26) theo nghĩa nh đã chỉ ra đối với phơng trình (4.4.19).

Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên
5.1. Đặt bi toán
Ta hãy xét một vi bi toán thờng gặp trong khí tợng thuỷ văn.
1. Ngoại suy
Giả sử có một thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) trên khoảng biến đổi no
đó của tham số [a,t] xảy ra trớc thời điểm t. Giả thiết rằng các đặc trng của quá trình
ngẫu nhiên X(t) kỳ vọng toán học v hm tơng quan của nó, đã biết. Yêu cầu dự báo
giá trị x(t+T) của thể hiện ny tại thời điểm tiếp theo t+T no đó, T>0. Ngời ta gọi đại
lợng T l lợng ngắm đón.
Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên. Do giả thiết rằng
thể hiện x(t) đợc xác định chính xác, không có sai số đo, nên bi toán ny đợc gọi l bi
toán ngoại suy thuần tuý.
2. Lm trơn
Giả sử thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định nhờ kết quả thực
nghiệm, trên khoảng biến đổi [a,t] của tham số t, với sai số y(t) l thể hiện của quá trình
ngẫu nhiên Y(t), tức l do thực nghiệm ta nhận đợc thể hiện z(t) = x(t) + y(t), với x(t) l
giá trị thực của thể hiện, y(t) l sai số đo. Giả thiết rằng đã biết các đặc trng của các
quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t), nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng
quan quan hệ. Yêu cầu xác định giá trị thực của thể hiện x(t) tại thời điểm t no đó, có
nghĩa l tách nó ra khỏi sai số đo.
Bi toán ny gọi l bi toán lm trơn (lọc) quá trình ngẫu nhiên. Nó xuất hiện,
chẳng hạn, khi tách các tín hiệu hữu ích trên nền nhiễu trong kỹ thuật vô tuyến, trong
đó ngời ta gọi giá trị thực l các tín hiệu hữu ích, còn sai số lm méo tín hiệu đợc gọi l

115