Tải bản đầy đủ
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

Tải bản đầy đủ

x1x2x3...xn
p1p2p3...pn
Khi đó số lợng các giá trị có thể của đại lợng ngẫu nhiên có thể l hữu hạn hoặc
vô hạn, còn tổng các xác suất ở hng thứ hai của bảng, giống nh tổng các xác suất của
nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc, bằng 1.
pi = 1.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục không thể lập bảng tơng tự nh vậy, vì
không thể liệt kê đợc các giá trị của nó. Ngoi ra, nh chúng ta có thể thấy sau ny, xác
suất để cho đại lợng ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị cụ thể bằng không, mặc dù
khi đó xác suất m nó nhận một giá trị bất kỳ trong khoảng vô cùng bé xung quanh giá
trị đó khác không.
Để đặc trng đầy đủ cho đại lợng ngẫu nhiên, cả loại rời rạc lẫn loại liên tục,
ngời ta sử dụng luật phân bố tích phân, cũng còn gọi l hm phân bố.
Luật phân bố tích phân F(x) của đại lợng ngẫu nhiên X đợc định nghĩa l xác
suất để cho đại lợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn một số x no đó:
F(x) = P(X
(1.1.1)

ở đây P(XNếu xem đại lợng ngẫu nhiên X nh l vị trí của điểm trên trục số, thì giá trị của
hm F(x) có nghĩa l xác suất để điểm ny nằm bên trái điểm x. Sự lý giải hình học nh
vậy lm rõ các tính chất sau đây của hm phân bố:
1) F(x) l hm không giảm theo đối số, có nghĩa với x2>x1 thì F(x2)F(x1);
2) F() = 0 nh l xác suất của sự kiện bất khả;
3) F(+) = 1 nh l xác suất của sự kiện tất yếu.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc giá trị hm phân bố F(x) l tổng xác suất pi của
mọi giá trị có thể xi nhỏ hơn x, tức l:

F ( x) =

P( X = x )

(1.1.2)

i

xi < x

F(x)

0
Hình 1.1





x

Hình 1.2

Từ đó thấy rằng, đồ thị hm phân bố của đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l đờng bậc
thang có các điểm gián đoạn tại xi, v giá trị đột biến ở các điểm đó bằng pi = P(X=xi).
Trên hình 1.1 dẫn đồ thị hm phân bố đại lợng ngẫu nhiên l số điểm xuất hiện
khi gieo con xúc xắc. Trong trờng hợp ny mỗi một giá trị trong số các giá trị từ 1 đến 6
9

tơng ứng với cùng xác suất p=1/6.
Đồ thị hm phân bố đại lợng ngẫu nhiên liên tục m các giá trị có thể của nó lấp
đầy một khoảng [a, b] no đó thờng l một đờng cong liên tục tăng từ 0 đến 1 (hình
1.2).
Tuy nhiên, có thể đa ra những ví dụ về đại lợng ngẫu nhiên m giá trị có thể của
nó lấp đầy hon ton một khoảng no đó, nhng đồ thị hm phân bố lại có điểm gián
đoạn. Đại lợng ngẫu nhiên nh vậy gọi l đại lợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp. Đại
lợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp trên thực tế hiếm khi gặp.
Sau ny ta sẽ gọi đại lợng ngẫu nhiên m hm phân bố của nó liên tục v khả vi
l đại lợng ngẫu nhiên liên tục.
Khi đã biết hm phân bố có thể xác định đợc xác suất để đại lợng ngẫu nhiên
nhận giá trị trong khoảng cho trớc.
Ta hãy xác định xác suất P(a X giá trị lớn hơn hoặc bằng a v nhỏ hơn b.
Xác suất P(Xtổng xác suất của hai sự kiện xung khắc
P(X
(1.1.3

P(a X b) = P(X
(1.1.4)

Từ đó:
Nh vậy, xác suất m đại lợng ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng cho trớc,
hoặc nh ngời ta thờng nói l đại lợng ngẫu nhiên rơi vo khoảng cho trớc, bằng số
gia hm phân bố trên khoảng đó.
Bây giờ ta xét đại lợng ngẫu nhiên liên tục X v thu hẹp khoảng, cho b tiến đến a.
Khi đó do tính liên tục của hm phân bố, F(b) sẽ tiến đến F(a). Nh vậy, khi lấy giới hạn
đẳng thức (1.1.4) vế trái cho xác suất đại lợng ngẫu nhiên X nhận giá trị a, còn vế phải
dần đến 0. Rõ rng, đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục xác suất nhận một giá trị cụ thể
bất kỳ no đó bằng 0.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục có thể viết công thức (1.1.4) để tính xác suất
rơi vo một khoảng của đại lợng ngẫu nhiên dới dạng
P(a < X
(1.1.5)

Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục, hm phân bố của nó liên tục v khả vi, nên
có thể sử dụng đạo hm của hm phân bố với t cách l luật phân bố, đợc ký hiệu bằng
f(x)

F( x + x ) F( x )
x 0
x

f ( x ) = F' ( x ) = lim

(1.1.6)

v gọi đợc l luật phân bố vi phân hay l mật độ phân bố.
Mật độ phân bố l đạo hm của hm không giảm F(x) nên nó l hm không âm, tức
l f(x) 0 với mọi x.
Biểu diễn hm phân bố F(x) qua mật độ phân bố f(x) rồi lấy tích phân đẳng thức
(1.1.6) trong khoảng từ đến x, ta nhận đợc

10

x

f ( x )dx

= F(x) F()

(1.1.7)



Vì F()= 0, nên:

F( x ) =

x

f ( x )dx

(1.1.8)



Từ các công thức (1.1.6) v (1.1.8) ta thấy rằng hm phân bố v mật độ phân bố
biểu diễn đợc qua nhau v do đó đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục chỉ cần một trong
hai hm phân bố hoặc hm mật độ l đủ để đặc trng cho nó.
Ta hãy biểu diễn xác suất rơi của đại lợng ngẫu nhiên vo khoảng cho trớc (a,b)
qua mật độ phân bố.
Sử dụng (1.1.5) v (1.1.8), ta đợc:

P(a < X < b) = F(b) F(a ) =

b



f ( x )dx



a





b

f ( x )dx = f ( x )dx .

(1.1.9)

a

Từ đó thấy rằng, xác suất rơi của đại lợng ngẫu nhiên trong khoảng (a,b) cho trớc
bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hm f(x) (đợc gọi l đờng cong phân
bố), trục 0x v các đờng thẳng x=a, x=b (hình 1.3).
Giả sử trong (1.1.9) đặt a = v b = +, ta nhận đợc:

P( < X < +) = 1 =



f ( x )dx ,

(1.1.10)



tức l tổng diện tích nằm dới đờng cong phân bố bằng 1.

Hình 1.3

Để tích phân xác định trong (1.1.10) hội tụ, điều kiện cần l

lim

x

v

lim

x+

f(x) = 0

f(x) = 0, có nghĩa l trong trờng hợp đại lợng ngẫu nhiên X có thể nhận các

giá trị trong khoảng vô hạn thì trục 0x phải l tiệm cận của đờng cong phân bố về cả hai
hớng.

11

Ta lấy một điểm x tuỳ ý v một đoạn phần tử dx kế cận nó (xem hình 1.3). Đại
lợng f(x)dx gọi l xác suất phần tử, với độ chính xác đến vô cùng bé bậc cao hơn, nó xác
định xác suất rơi của đại lợng ngẫu nhiên trên đoạn phần tử đó.

1.2. Các đặc trng số của đại lợng ngẫu nhiên
Luật phân bố của đại lợng ngẫu nhiên l đặc trng đầy đủ nhất của nó. Tuy
nhiên, không phải lúc no cũng có thể xác định đợc luật phân bố, thông thờng ngời
ta chỉ sử dụng một số đặc trng số biểu thị những nét cơ bản của đờng cong phân bố của
đại lợng ngẫu nhiên. Đó l các mômen phân bố với bậc khác nhau.
Mômen gốc bậc k mk[X] của đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X l tổng dạng:

m k [X] = x ik p i

(1.2.1)

i

với xi l các giá trị có thể của đại lợng ngẫu nhiên, còn pi l xác suất tơng ứng của
chúng.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục phép lấy tổng theo các giá trị rời rạc xi đợc
thay bằng phép lấy tích phân theo ton bộ các giá trị của đối số liên tục x. Khi đó xác
suất pi đợc thay bằng xác suất phần tử f(x)dx.
Nh vậy, đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục:

m k [X] =



x

k

f ( x )dx

(1.2.2)



Mômen gốc bậc nhất m1[X] l kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu nhiên X v đợc
ký hiệu l M[X] hoặc mx.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc:

M[X] = x i p i

(1.2.3)

i

Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục:

M[X] =



xf ( x )dx

(1.2.4)



Mômen gốc bậc k l kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu nhiên luỹ thừa k, tức l:
mk[X] = M[Xk]

(1.2.5)

Độ lệch của đại lợng ngẫu nhiên X khỏi kỳ vọng toán học của nó đợc gọi l đại
o

lợng ngẫu nhiên qui tâm v ký hiệu bởi

X
o

X =Xmx

(1.2.6)

Mômen trung tâm bậc k k[X] của đại lợng ngẫu nhiên X l mômen gốc bậc k của
đại lợng ngẫu nhiên qui tâm:
o

o

k[X] = mk[ X ] = M[ X k] = M[(Xmx)k].

(1.2.7)

Mômen trung tâm bậc k l kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu nhiên qui tâm luỹ

12

thừa k.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc:

M[X] = ( x i m x ) k p i

(1.2.8)

i

Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục:


(x m x )

k [X] =

k

f ( x )dx

(1.2.9)



Mômen trung tâm bậc nhất luôn luôn bằng không. Thật vậy, đối với đại lợng ngẫu
nhiên liên tục:

1[X] = M[X m x ] =
=



( x m x )f ( x )dx =











xf ( x )dx m x f ( x )dx = m x m x = 0

Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc:

1[X] = ( x i m x )p i = x i p i m x p i = m x m x = 0
i

i

i

Các mômen gốc l các mômen của đờng cong phân bố so với trục tung. Mômen
trung tâm l mômen của đờng cong phân bố so với trục đi qua trọng tâm của đờng
cong đó.
Mômen trung tâm bậc hai đợc gọi l phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên v ký
hiệu l D[X] hay Dx.
Dx = 2[X] = M[(Xmx)2]

(1.2.10)

Phơng sai l kỳ vọng toán học của bình phơng độ lệch của đại lợng ngẫu nhiên
khỏi kỳ vọng toán học của nó.
Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc:

D[X] = ( x i m x ) 2 p i

(1.2.11)

i

Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục:


D[X] = ( x m x ) 2 f ( x )dx

(1.2.12)



Phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên l đặc trng cho sự phân tán, tản mạn của
đại lợng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học. Phơng sai có thứ nguyên l bình
phơng thứ nguyên của đại lợng ngẫu nhiên. Để có đợc đặc trng phân tán cùng thứ
nguyên với đại lợng ngẫu nhiên ngời ta sử dụng độ lệch bình phơng trung bình, bằng
căn bậc hai của phơng sai v đợc ký hiệu l

[ X] hoặc x, x = D x

.

Mômen trung tâm bậc ba dùng để đặc trng cho tính bất đối xứng của phân bố.
Nếu đờng cong phân bố l đối xứng đối với kỳ vọng toán học thì mọi mômen trung tâm

13

bậc lẻ bằng không. Thực vậy, ví dụ đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục, từ (1.2.9) ta có:

2 k +1 [ X ] =



(x m x )

2 k +1

f ( x )dx .



Thay biến y = x mx trong tích phân, khi đó:

2 k + 1[ X ] =



yf ( y + m x )dy =



0





0

yf ( y + m x )dy + yf ( y + m x )dy .

Trong tích phân đầu tiên, khi thay y = z, ta đợc:




0

0

2 k +1[X] = zf (m x z)dz + yf ( y + m x )dy =




0

0

= xf (m x x )dx + xf ( x + m x )dx = 0
vì hm f(x) đối xứng đối với mx:
f(mx+x) = f(mxx)
Để đặc trng cho tính bất đối xứng, ngời ta chọn một mômen đầu tiên trong số
những mômen trung tâm bậc lẻ khác không, tức l 3. Ngoi ra, để có một đại lợng vô
thứ nguyên đặc trng cho tính bất đối xứng của phân bố, ngời ta dùng đại lợng:

S=

3

,

3

(1.2.13)

gọi l hệ số bất đối xứng.
Mômen trung tâm bậc bốn đặc trng cho sự nhọn của đỉnh, sự dốc đứng của đờng
cong phân bố, đặc trng đó gọi l độ nhọn v đợc xác định theo công thức:

E=

4


4

3.

(1.2.14)

Đối với loại phân bố thờng gặp l phân bố chuẩn, nh sẽ thấy trong mục 1.5, 4/4
= 3, có nghĩa l E=0.
Đối với các đờng cong phân bố nhọn hơn đờng cong phân bố chuẩn thì E > 0; còn
tù hơn thì E < 0 (hình 1.4).

Hình 1.4

Giữa mômen gốc v mômen trung tâm có quan hệ sau:

14

2 = m2 m12,
3 = m3 3m1m2 + 2m13,
4 = m4 4m3m1 + 6m2m12 3m14.

(1.2.15)

Biểu thức thứ nhất thuận tiện cho việc tính phơng sai, các biểu thức thứ hai v ba
thuận tiện khi tính độ bất đối xứng v độ nhọn của phân bố.
Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh đẳng thức thứ nhất trong (1.2.15) đối với đại lợng
ngẫu nhiên liên tục:
+

2

2 = ( x m x ) f ( x )dx =




x



2



f ( x )dx 2m x xf ( x )dx +




+ m 2x f ( x )dx = m 2 2m 2x + m 2x = m 2 m12 .


Ta hãy xét các luật phân bố v các đặc trng số của chúng thờng gặp nhất trong
thực tế.

1.3. Luật phân bố Poatxông
Một trong những luật phân bố phổ biến nhất của đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l
luật phân bố Poatxông.
Về phơng diện toán học luật Poatxông đợc biểu diễn bởi:

P(X = m) = e

a

am
,
m!

(1.3.1)

ở đây P(X=m) l xác suất m đại lợng ngẫu nhiên X nhận giá trị bằng số nguyên m. Có
thể diễn giải về đại lợng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố Poatxông nh sau:
Giả sử theo thời gian một sự kiện A no đó xảy ra nhiều lần. Ta sẽ xem số lần xuất
hiện sự kiện ny trong suốt khoảng thời gian cho trớc [t0,t0+T] nh l một đại lợng
ngẫu nhiên.
Đại lợng ngẫu nhiên ny sẽ tuân theo luật phân bố Poatxông khi các điều kiện sau
đây đợc thực hiện:
1. Xác suất rơi của số sự kiện cho trớc vo khoảng thời gian đang xét phụ thuộc
vo số sự kiện v độ di của khoảng thời gian T, nhng không phụ thuộc vo điểm đầu to
của nó. Điều đó có nghĩa l các sự kiện phân bố theo thời gian với mật độ trung bình nh
nhau, tức l kỳ vọng toán học của số sự kiện trong một đơn vị thời gian bằng hằng số.
2. Xác suất của số lần xuất hiện sự kiện đã cho trong khoảng [to, to+T] không phụ
thuộc vo số lần v thời điểm xuất hiện sự kiện trớc thời điểm to, điều đó có nghĩa l có
sự độc lập tơng hỗ giữa số lần xuất hiện sự kiện trong các khoảng thời gian không giao
nhau.
3. Xác suất xuất hiện hai hay nhiều sự kiện trong khoảng thời gian yếu tố [t, t+t]
rất bé so với xác suất xuất hiện một sự kiện trong đó.
Ta xác định kỳ vọng toán học v phơng sai đại lợng ngẫu nhiên X phân bố theo
luật Poatxông.

15

Theo (1.2.3) kỳ vọng toán học đợc xác định dới dạng:

mx =





m =0

m=0

mp m = me


a m 1
am
a
= ae
m!
m =1 ( m 1)!

a

(1.3.2)

Chuỗi số trong (1.3.2) l chuỗi Macloren đối với hm ea, do đó:
mx = ae-aea = a.

(1.3.3)

Nh vậy, tham số a trong công thức (1.3.1) l kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu
nhiên tuân theo luật Poatxông.
Theo (1.2.15), phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên X đợc xác định dới dạng:

Dx =
= ae

a



m

m=0

2



2

p m a =

m

am
a2 =
m!

2 a

e

m =0


a m 1
a m 1
a
2
m (m 1)! a = ae [(m 1) + 1] (m 1)! a 2 =
m =1
m =1




= ae a [ (m 1)
m =1


a m1
a m1
+
] a2
(m 1)! m=1 (m 1)!

(1.3.4)

Mỗi thnh phần trong tổng vô hạn (1.3.4) l chuỗi Macloren đối với hm ea, nó có


thể đợc viết dới dạng



k =0

ak
, từ đó (1.3.4) trở thnh:
k!
Dx = ae-a (aea + ea ) a2 =a.

(1.3.5)

Do đó, phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên phân bố theo luật Poatxông bằng chính
kỳ vọng toán học của nó.

1.4. Luật phân bố đều
Đại lợng ngẫu nhiên liên tục đợc gọi l có phân bố đều nếu mọi giá trị có thể của
nó nằm trong một khoảng no đó v mật độ phân bố trên khoảng ấy không đổi.
Mật độ phân bố đều đợc cho bởi công thức:

1

f ( x) = b a
0

khi a < x < b

(1.4.1)

khi x < a hoặc x > b

Đờng cong phân bố có dạng nh trên hình 1.5.
Hm f(x) có các tính chất của mật
độ phân bố. Thật vậy, f(x) 0 với mọi x,
v:


f(x)

1
ba

b

dx
f ( x )dx = b a = 1 .

a
a

0
Hình 1.5

16

b

x

Ta xác định hm phân bố F(x):


0 khi x < a
x a
F( x) = f ( x)dx =
khi a < x < b
b

a


1 khi x > b

x

(1.4.2)

Đồ thị hm phân bố đợc dẫn trên hình 1.6.
Ta xác định các đặc trng số của phân bố đều. Kỳ vọng toán học bằng


1 b
a+b
m x = xf ( x )dx =
xdx =
.

b
a
2


a

(1.4.3)

Mômen trung tâm bậc k bằng:

1 b
a+b k
(x
) dx .
k =

baa
2
Thay biến

x

a+b
=t
2

(1.4.4)

trong tích phân (1.4.4) ta nhận đợc:

k =

1
ba

b a
2





t k dt

(1.4.5)

b a
2

Từ đó nhận thấy rằng, tất cả các
mômen trung tâm bậc lẻ bằng không: 2l1=0, l=1,2,... giống nh tích phân của hm
lẻ trong khoảng đối xứng.

F(x)

Mômen trung tâm bậc chẵn bằng:
b

a

x

Hình 1.6

2
2l =
ba

b a
2

t

0

2l

dt =

(b a ) 2l
2 2l (2l 1)

, l = 1, 2,...

(1.4.6)

Với l = 1, ta nhận đợc giá trị của phơng sai:

( b a)2
Dx = 2 =
.
12

(1.4.7)

Từ đó độ lệch bình phơng trung bình l:

x = Dx =

ba
.
2 3

Độ bất đối xứng của phân bố S=0, vì 3=0. Độ nhọn của phân bố bằng

17

(1.4.8)

4
( b a ) 4 .144
E = 4 3=
3 = 1,2

80( b a ) 4

(1.4.9)

1.5. Luật phân bố chuẩn
Trên thực tế thờng gặp nhất l các đại lợng ngẫu nhiên m mật độ phân bố của
chúng có dạng:

1
f ( x) =
e
2

( xa )2
2 2 .

(1.5.1)

Luật phân bố đặc trng bởi (1.5.1) rất phổ biến, nên đợc gọi l luật phân bố chuẩn,
còn đại lợng ngẫu nhiên có mật độ phân bố đó đợc gọi l đại lợng ngẫu nhiên phân bố
chuẩn.
Trong nhiều hiện tợng tự nhiên v kỹ thuật, một quá trình đang xét l kết quả
tác động tổng hợp của hng loạt các nhân tố ngẫu nhiên. Khi đó đại lợng ngẫu nhiên
đặc trng bằng số của quá trình đang xét l tổng của một chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên
m mỗi một trong chúng tuân theo một luật phân bố no đó. Nếu đại lợng ngẫu nhiên
l tổng của một số lớn các đại lợng ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc yếu, v mỗi một
trong các đại lợng ngẫu nhiên thnh phần có tỷ trọng đóng góp không lớn lắm so với
tổng chung, thì luật phân bố của đại lợng ngẫu nhiên tổng l chuẩn hoặc gần chuẩn,
không phụ thuộc vo phân bố của các đại lợng ngẫu nhiên thnh phần.
Điều ny rút ra từ định lý nổi
tiếng của Liapunov: nếu đại lợng
ngẫu nhiên X l tổng của các đại lợng
ngẫu nhiên độc lập X1, X2,..., Xn,
n

X = Xi

v thoả mãn điều kiện:

i =1

Hình 1.7

lim

n



n i =1

3[ X i ]
3[X]

= 0,

(1.5.2)

thì khi n luật phân bố của đại lợng ngẫu nhiên X tiến vô hạn đến luật chuẩn.
Điều kiện (1.5.2) phản ánh sự tiến dần đến không của tỷ số giữa tổng các mômen
trung tâm tuyệt đối bậc ba 3[Xi] của các đại lợng ngẫu nhiên Xi v lập phơng độ lệch
bình phơng trung bình của đại lợng ngẫu nhiên tổng cộng X khi tăng dần số các số
hạng, v đặc trng cho sự nhỏ tơng đối của từng số hạng ngẫu nhiên trong tổng chung.
Đờng cong phân bố của luật phân bố chuẩn dẫn ra trên hình 1.7 có tên l lát cắt
Ơle, hay đờng cong Gauxơ.
Đờng cong phân bố đối xứng qua đờng thẳng x=a v có cực đại bằng

18

1
2

tại

điểm x=a.
Để xác định ý nghĩa của các tham số a v , ta tính kỳ vọng toán học v phơng sai
của đại lợng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn:

1
mx =
2



xe



( xa )2
2 2

dx .

(1.5.3)



Thay biến trong tích phân (1.5.3):

xa
=t
2

(1.5.4)

ta đợc:
2
1 +
mx =
( 2t + a )e t dt

2

2 + t 2
a + t 2
te dt + e dt .



=

(1.5.5)

Tích phân thứ nhất trong (1.5.5) bằng không vì đó l tích phân của hm lẻ trên
miền giới hạn đối xứng, tích phân thứ hai l tích phân Poatxông đã biết, bằng

. Từ

đó mx=a, tức l tham số a trong hm (1.5.1) l kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu
nhiên.
Tiếp theo:
+

Dx =

1
(x a )2 e

2



(x a )2
2 2

dx ,

(1.5.6)

Thực hiện việc đổi biến (1.5.4) trong tích phân (1.5.6) ta đợc:
Dx =

2 2 + 2 t 2
t e dt .


(1.5.7)

Lấy tích phân từng phần (1.5.7) ta đợc:
Dx = 2

(1.5.8)

Do đó, tham số l độ lệch bình phơng trung bình của đại lợng ngẫu nhiên.
Tham số a chỉ vị trí tâm đối xứng của đờng cong phân bố, thay đổi a có nghĩa l dịch
chuyển tâm ny dọc theo trục 0x. Tham số xác định tung độ đỉnh đờng cong phân bố,
bằng

1
. Trị số cng nhỏ thì đỉnh cng cao, tức l đờng cong phân bố cng nhọn.
2

Nh vậy, mật độ xác suất của luật phân bố chuẩn đợc xác định bởi hai tham số l
kỳ vọng toán học của đại lợng ngẫu nhiên v độ lệch bình phơng trung bình hoặc
phơng sai của nó.
Ta tính mômen trung tâm của phân bố chuẩn:

1
k=
2

+

(x a ) e
k



( x a )2
2 2

dx ,



Sử dụng phép thay biến (1.5.4) vo tích phân ta nhận đợc:

19

(1.5.9)