Tải bản đầy đủ
2 Các phương pháp phân tích ống dẫn sóng

2 Các phương pháp phân tích ống dẫn sóng

Tải bản đầy đủ

1.2.2 Phương pháp hệ số hiệu dụng
Tuy phương pháp Marcatili xấp xỉ từ 3D về 2D khá hiệu quả song các tính toán còn
khá phức tạp. Để đơn giản cho việc phân tích cấu trúc ống dẫn sóng trong không gian ba
chiều, một phương pháp khác được đề xuất. Đó là: phương pháp hệ số hiệu dụng EIM
(effective refractive index) [27]. Bằng cách sử dụng phương pháp EIM, một mô hình 3D có
thể được đơn giản chuyển đổi về mô hình 2D. Điện trường trong phương pháp EIM giả sử
được tách riêng thành hai trường theo hai hướng x và y độc lập với nhau:
E ( x, y ) = X ( x ).Y ( y )

\* MERGEFORMAT (.)

Thế vào phương trình Helmholtz , thực hiện các phép tính vi phân ta được:
1 ∂ 2 X 1 ∂ 2Y
+
+  n 2 ( x, y )k02 − β 2  = 0
X ∂x 2 Y ∂y 2 

\* MERGEFORMAT

(.)
Ta giải phương trình này bằng cách thế hệ số gọi là hệ số hiệu dụng thành hai phương
trình riêng rẽ sau đây:
1 ∂2 X
2
+  n 2 ( x, y ) k02 − neff
( x)  = 0
2
X ∂x

\* MERGEFORMAT (.)

1 ∂ 2Y
2
+  neff
( x)k02 − β 2  = 0
Y ∂y 2 

\* MERGEFORMAT (.)

Bằng cách giải phương trình ta nhận được nghiệm

neff ( x )

gọi là hệ số (chiết suất) hiệu

dụng. Sau đó giải tiếp phương trình ta tìm ra được hằng số truyền β .
Thủ tục tính toán hệ số hiệu dụng được tóm lược lại như sau:
-Thay thế các ống dẫn sóng quang 2D bằng một sự kết hợp của ống dẫn sóng một
chiều (1D).
-Với mỗi ống dẫn sóng 1D, tính toán hệ số hiệu dụng theo trục y.
-Mô hình theo ống dẫn sóng phiến vuông mỏng (slab waveguide) bằng cách thay thế
các hệ số hiệu dụng như theo trục y vào trục x.
-Nhận được hệ số hiệu dụng bằng cách giải theo mô hình ở bước vừa trên.
Hình 1. mô tả sơ đồ phân tích bằng phương pháp hệ số hiệu dụng cho ống dẫn sóng

dạng sườn (rib/ridge) từ mô hình 3D chuyển về dạng tương đương 2D. Trong đó:
ns

n0 n1
, và

tương ứng lần lượt là hệ số chiết suất lớp vỏ trên, lớp lõi và lớp vỏ dưới (lớp đế) của
ống dẫn sóng trong không gian 3D, h và H lần lượt là chiều cao sườn (rib) và chiều cao
29

tổng của ống dẫn sóng, W là độ rộng sườn của ống dẫn sóng.

Hình 1.. Mô tả sơ đồ phân tích bằng phương pháp hệ số hiệu dụng.

1.2.3

Phương pháp hệ số hiệu dụng hiệu chỉnh

Phương pháp hệ số hiệu dụng sử dụng rất hiệu quả trong việc phân tích cấu trúc ống
dẫn sóng bằng cách xấp xỉ từ không gian ba chiều rút gọn về không gian hai chiều, làm
giảm độ phức tạp tính toán các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Từ đó, rút ngắn thời
gian thực hiện tính toán mô phỏng số cho cấu trúc. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cụ
thể với cấu trúc ống dẫn sóng thích hợp ta có thể cải tiến phương pháp hệ số hiệu dụng
bằng một phương pháp mới có tên gọi là phương pháp hệ số hiệu dụng được biến đổi
MEIM (Modified effective index method) [66]. Cụ thể sẽ được trình bày ngay sau đây.
Bằng cách tích phân phương trình trong một đoạn đóng [-Y/2, Y/2], ta được:
2
Y /2 ∂ E
Y /2
∂2 E
2 2
2
dy
+
∫−Y / 2 ∂x 2
∫−Y / 2 ∂y 2 dy + ∫−Y /2 k0 n ( x, y ) − β  Edy = 0
Y /2

\*

MERGEFORMAT (.)
∂2 E
∂E
dy =

−Y / 2 ∂y 2
∂y
Khi Y đủ lớn, đại lượng
qua. Bằng cách đặt:
Y /2

u ( x) = ∫

Y /2

−Y /2

30

Y /2
−Y /2

là xấp xỉ bằng không và có thể được bỏ

E ( x, y )dy

\* MERGEFORMAT (.)

N ( x) =



Y /2

− Y /2

n 2 ( x, y ) E ( x, y )dy



Y /2

−Y /2

E ( x, y) dy

\* MERGEFORMAT (.)

Ta có:
∂ 2u
+  N 2 ( x)k02 − β 2  u = 0
∂x 2 

\* MERGEFORMAT (.)

Phương trình là phương trình sóng với hệ số hiệu dụng N ( x) , u ( x) tương đương với
phân bố mode trong không gian 1D. Lưu ý rằng hằng số truyền β giữ giá trị không đổi
trong không gian 2D.

1.3

Các phương pháp mô phỏng số học

Mô phỏng số để mô hình hóa và phân tích các đặc tính ảnh tự chụp về biên độ, pha
phức cũng như giải mode cho các ống dẫn sóng nói chung và các ống dẫn sóng đa mode
nói riêng. Nói như thế là bởi không có phương pháp phân tích để giải các phương trình giá
trị riêng một cách tổng quát cho mọi cấu trúc ống dẫn sóng nhất là trong không gian ba
chiều, ngoại trừ trường hợp ống dẫn sóng được xét trong không gian hai chiều với hình
dạng hình học tuyến tính chẳng hạn ống dẫn sóng phiến vuông mỏng (slab waveguide).
Với ống dẫn sóng giao thoa đa mode, phương pháp phân tích truyền mode không thể phân
tích quan hệ giữa các đặc tính trường điện từ như quan hệ biên độ và pha giữa các đầu vào
và các đầu ra, sự phân bố trường mode… Khi đó, muốn phân tích hiệu quả các đặc tính
quang học và phân bố trường mode thì phải sử dụng các công cụ mô phỏng số hiệu quả
hơn như: BPM, FDTD. Chúng ta đều biết rằng: lời giải mode giá trị riêng – EMS
(eigenvalue mode solver) đóng vai trò quan trọng trong phân tích và thiết kế của cấu trúc
ống dẫn sóng nhất là với ống dẫn sóng giao thoa đa mode. Việc giải quyết các phương trình
vi phân đạo hàm riêng nhiều biến và bậc hai là rất khó khăn và phức tạp về mặt toán giải
tích. Do vậy, cần xem xét các điều kiện để giải hệ các phương trình này dựa trên các điều
kiện đặc thù để rút gọn độ phức tạp hay sử dụng các phương pháp xấp xỉ, các điều kiện
biên thích hợp. Có nhiều phương pháp hiệu quả để giải các phương trình vi phân đạo hàm
riêng cho các cấu trúc ống dẫn sóng, quan trọng nhất là các phương pháp dựa trên phương
pháp phần tử hữu hạn FEM và phương pháp sai phân hữu hạn FDM. Chúng ta xem xét
phương pháp quan trọng hay được sử dụng nhất để giải hệ các phương trình vi phân đạo
hàm riêng là phương pháp FDM. Phương pháp này dựa trên ma trận cho phương trình vi
phân bằng phép thế để giải phương trình Helmholtz. Ta xét lời giải bằng phép thế ma trận
cho phương trình đối với điện trường E như sau:

31

 Pxx

 Pyx

Pxy   Ex 
∂ 2  Ex 
=

 ÷
÷ ÷
Pyy   E y 
∂z 2  E y 

\* MERGEFORMAT (.)

P
P
P
Trong đó: ij ( i, j = ( x, y ) ) là các toán tử vi phân phức. Các toán tử xx và yy được tính cho
các thành phần phụ thuộc phân cực bởi điều kiện biên khác nhau tại các giao diện, chẳng
hạn như: sự khác nhau của hằng số truyền, của hình dạng trường, suy hao uốn cong…với
P
P
các mode TE, TM. Trong khi đó, các toán tử xy và yx được tính cho các thành phần ghép
phân cực (polarization coupling) hoặc các mode lai ghép (hybrid modes) do bởi các hiệu
ứng hình học, chẳng hạn: do sự bẻ góc, độ dốc của các cạnh, độ nhám bề mặt của các mặt
của ống dẫn sóng trong các phần chéo của ống dẫn sóng hoặc do sự bất đồng nhất trong
phân bố vật liệu (anisotropy materials).
Giả sử rằng ánh sáng dao động điều hòa và truyền theo trục z nên trường điện từ có thể
biểu diễn dưới dạng tích của một thành phần chỉ phụ thuộc vào mặt phẳng (xy):
ur ur
E = E ( x, y ) exp(− j β z )
\* MERGEFORMAT (.)
ur
Với: β là hằng số truyền và E là véc tơ trường điện từ truyền trong ống dẫn sóng.

∂2 E
∂E
= −β 2
= − jβ
2
2
Chú ý rằng E∂z
và E ∂z
nên ta có phương trình vi phân sau :

 Pxx

 Pyx

Pxy   Ex 
 2
∂ ∂ 2   Ex 
÷ ÷ = −  − β + 2 j β + 2 ÷ ÷
Pyy   E y 
∂z ∂ z   E y 


\*

MERGEFORMAT (.)

=0
Với phương pháp FDM, mode riêng được xem như dẫn không đổi theo trục z, nên ∂z

∂2
= −β 2
2

z

. Cuối cùng ta thu được phương trình giá trị riêng tuyến tính:

 Pxx

 Pyx

Pxy   Ex 
 Ex 
2
÷ ÷ = β  ÷
Pyy   E y 
 Ey 

\* MERGEFORMAT (.)

Phương trình là phương trình giá trị riêng véc tơ đầy đủ - FVEE (full vectorial eigenvalue
equation), dùng để mô tả các mode của ống dẫn sóng quang. Hai trường trực giao
Ey

Ex



được ghép trong khi hằng số truyền β là giá trị riêng. Khi giải được các thành phần

điện trường

Ex



Ey

thì dựa vào hệ phương trình Maxwell ta cũng tìm ra lời giải cho từ
32