Tải bản đầy đủ
Giao thoa đa mode và mô phỏng BPM

Giao thoa đa mode và mô phỏng BPM

Tải bản đầy đủ

Maxwell xét theo phương diện quang sóng hoặc mô tả theo phương pháp quang hình (ray
optic). Phương pháp quang hình có thể mô tả đơn giản, tường minh và trực tiếp để hiểu các
mode trong ống dẫn sóng. Tuy nhiên, phương pháp mô tả quang lý (về tính sóng của ánh
sáng) bởi hệ phương trình Maxwell mà trực tiếp dẫn xuất là phương trình Helmholtz kinh
điển đạt được nhiều thông tin một cách tường minh theo quan điểm trường điện từ của
sóng ánh sáng.
Nghiên cứu về ống dẫn sóng quang về sự truyền sóng và phân bố mode của các thành
phần điện trường, từ trường trong ống dẫn sóng bằng phương trình Helmholtz (là những
phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai - còn được gọi là các phương trình vi phân
parabol) dẫn đến sự cần thiết phải giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng
phương pháp toán giải tích là rất khó khăn. Việc xác định chính xác các biểu thức giải tích
của trường điện từ của sóng quang truyền trong ống dẫn sóng chỉ có thể giải được bằng các
biểu thức giải tích một cách tường minh trong những điều kiện ống dẫn sóng với dạng hình
học đơn giản. Nói chung, việc giải phương trình Helmholtz [39] để nghiên cứu về các ống
dẫn sóng và sự truyền sóng để tìm hiểu chi tiết về các đặc trưng vật lý của sóng điện từ cần
phải giải quyết bằng các phương pháp xấp xỉ như: xấp xỉ bằng biến đổi Fourier [111] hoặc
các phương pháp phần tử hữu hạn FEM (finite element method) [28] [104], phương pháp
sai phân hữu hạn FDM (finite difference method) [48]…Các phương pháp đó gọi chung là
các phương pháp mô phỏng số học (numerics simulation).
Chương này của luận án sẽ trình bày cơ sở lý thuyết về các ống dẫn sóng giao thoa đa
mode, các cơ chế giao thoa và các phương pháp phân tích ống dẫn sóng, nhất là phương
pháp truyền chùm BPM – một phương pháp mô phỏng rất thích hợp và được sử dụng rộng
rãi trong các nghiên cứu về ống dẫn sóng quang giao thoa đa mode.

1.1 Giao thoa đa mode
Giao thoa đa mode là hiện tượng ảnh tự chụp, một đặc tính của các ống dẫn sóng đa
mode. Theo đó một trường đầu vào được tái tạo trong một hoặc nhiều ảnh tại các khoảng
cách có tính chất chu kỳ dọc theo hướng truyền của ống dẫn sóng. Hiện tượng vật lý tự
chụp ảnh theo chu kỳ của một đối tượng bằng sự giao thoa kết hợp của sóng ánh sáng được
mô tả lần đầu tiên bởi Talbot et.al [126] vào năm 1836. Các ống dẫn sóng tự hội tụ với hệ
số chiết suất biến đổi đều có thể tạo ra các ảnh thực theo chu kỳ của một đối tượng. Tuy
nhiên, lần đầu tiên khả năng thu được ảnh tự chụp trong các ống dẫn sóng vuông nhỏ hệ số
đồng nhất được tìm ra trong thí nghiệm của Bryngdahl [21] vào năm 1973 bằng cách sử
dụng phương pháp quang hình (ray optics). Sau này Ulrich [103] giải thích chi tiết sâu hơn
về mặt lý thuyết và trình bày ứng dụng thực tế của nó trong quang tích hợp.

1.1.1 Cơ sở truyền sóng trong ống dẫn sóng
Chúng ta biết rằng về mặt quang sóng thì ánh sáng là một loại sóng điện từ, do vậy
truyền sóng ánh sáng trong môi trường truyền sóng tuân theo hệ phương trình Maxwell nổi
16

tiếng [75]:
ur
ur
∂ B uur
∇× E = −
− Jm
∂t
Equation Chapter (Next) Section 1

\* MERGEFORMAT (.)

ur
uur ∂ D uur
∇× H =
+ Je
∂t

\* MERGEFORMAT (.)

ur uur
∇.D = ρe

\* MERGEFORMAT (.)

ur uur
∇.B = ρm

\* MERGEFORMAT (.)

ur

uur

ur

Ở đây, E là véc tơ cường độ điện trường, H là véc tơ cường độ từ trường, D là véc tơ
uur
uur
ur
Jm
B
cảm ứng điện và là véc tơ cảm ứng từ,
là véc tơ mật độ dòng từ, J e là véc tơ mật độ
uur
uur
ρ
e
dòng điện, và ρm lần lượt là các véc tơ mật độ điện tích và mật độ từ tích.

Theo nguyên lý toán học về toán tử, chúng ta có đẳng thức:
uur
∇.(∇ × A) = 0

\* MERGEFORMAT (.)

Véc tơ Pointing được định nghĩa là một tích có hướng sau:
ur ur uur
P = E×H

-

\* MERGEFORMAT (.)

Để ý rằng, các tính chất quang học và vật liệu truyền sóng trong môi trường đẳng
hướng, chúng ta có các giả thiết như sau:
uur r uur r
ρ
=
0
ρ
=
0
J = 0 Jm = 0
Không có điện tích tự do hoặc các nguồn dòng: e
, m
, e
,
;
Vật liệu không có từ tính: hệ số từ thẩm tương đối bằng 1.
Cường độ trường là đủ nhỏ để quan hệ giữa cảm ứng điện D và cường độ điện trường E là
tuyến tính.
Ta lại có các quan hệ giữa các đại lượng sau:
ur
ur
D = ε rε 0 E

\* MERGEFORMAT (.)

ur
uur
B = µ r µ0 H

\* MERGEFORMAT (.)

ur
ur
J =σ E

\* MERGEFORMAT (.)

Ở đây, εr và µr lần lượt là hằng số điện môi và hệ số từ thẩm tương đối; ε0 và µ0 tương
ứng là các hằng số độ điện thẩm tuyệt đối và độ từ thẩm tuyệt đối (trong chân không) có
−12
−7
giá trị: ε 0 = 8.854187817 × 10 F/m và: µ0 = 4π ×10 H/m, σ là điện dẫn suất.

Sử dụng các phép biến đổi toán học cho các toán tử véc tơ, từ năm phương trình đầu
17

ur
uur
ur
2
∇×

×
A
=

.(

.
A
)


A và do không có điện trường ngoài
tiên kết hợp với đẳng thức:
và môi trường truyền sóng không dẫn điện cũng như không có từ tính, chúng ta có thể thu
gọn được các phương trình của hệ Maxwell là:
ur
ur ε ε µ µ ∂ 2 E
2
r 0 r 0
∇ E−
=0
∂ 2t
\* MERGEFORMAT (.)
uur
uur ε ε µ µ ∂ 2 H
r 0 r 0
∇ H−
=0
∂ 2t
2

\* MERGEFORMAT (.)

µ = 1 . Với trường điện từ là những sóng dao động điều hòa phụ
Chú ý rằng ta có: r
thuộc thời gian, chúng ta có thể viết trong hệ tọa độ Decartes:
ur ur
E = E ( x, y, z )e jωt
\* MERGEFORMAT (.)
uur uur
H = H ( x, y , z )e jωt
Thế vào các phương trình và , chúng ta thu được:
ur
ur
∇ 2 E + ( k 2 − jωµ0 ) E = 0
uur
uur
∇ 2 H + ( k 2 − jωε r ε 0 ) H = 0

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)
\* MERGEFORMAT (.)



εr =
n
2
n = εr
λ
λ
0
0
Với
là biên độ véc tơ sóng,
n là hệ số chiết suất, ∇ và ∇
lần lượt là các toán tử nabla (Hamilton) và toán tử Laplace, xác định như sau:
k=

 ∂

∂ 
∇ =  ix , i y , iz ÷
 ∂x ∂y ∂z 
∇2 =

∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

Với: ix, iy, iz lần lượt là các véc tơ đơn vị trên các trục x, y, z của hệ trục tọa độ
Decartes.
Trong không gian hai chiều, xét mặt phẳng xy thì phương trình điện trường viết là:
∂2 E ∂2 E
+ 2 + ( n 2 ( x, y )k02 − β 2 ) E = 0
2
∂x
∂y
\* MERGEFORMAT (.)
Phương trình chính là phương trình Helmholtz nổi tiếng [64].

1.1.2 Ống dẫn sóng đa mode và phân tích truyền mode
Phương pháp phân tích truyền mode –MPA (mode propagation method) hiểu theo
18

nghĩa đầy đủ về mặt lý thuyết là để mô tả hiện tượng giao thoa đa mode trong ống dẫn
sóng. Phương pháp này không chỉ hỗ trợ những yêu cầu cơ bản cho mô hình phân tích về
mặt số học mà còn phân tích cơ chế giao thoa bên trong ống dẫn sóng. Ở đây, ta sử dụng
phân tích truyền mode để công thức hóa ảnh có tính chu kỳ. Phương pháp này đầu tiên đưa
vào một trường đầu vào, sau đó nó sẽ kích thích cơ chế giao thoa và tự chụp ảnh trong
miền ống dẫn sóng đa mode, truyền các mode được dẫn, tính toán trường đầu ra bằng tái
kết hợp các trường được truyền.
Cấu trúc trọng tâm của một cấu kiện giao thoa đa mode (MMI) là một ống dẫn sóng
được thiết kế để hỗ trợ một số lượng lớn các mode sóng (thông thường: số lượng mode
được dẫn ≥3). Để phát ánh sáng vào trong và phục hồi ánh sáng từ ống dẫn sóng đa mode,
một số các ống dẫn sóng truy nhập (access waveguides) được bố trí tại điểm đầu vào và kết
thúc của ống dẫn sóng đa mode (các ống dẫn sóng truy nhập thường là đơn mode). Những
cấu trúc như vậy được gọi là bộ ghép giao thoa đa mode N × M (xem Hình 1.). Ở dây: N
và M là số lượng đầu vào và ra một cách tương ứng. Ống dẫn sóng ba chiều với phương
pháp phân tích truyền mode được kết hợp với tính toán phần chéo hai chiều bằng các
phương pháp phần tử hữu hạn hoặc là sai phân hữu hạn. Tuy nhiên, thường các ống dẫn
sóng đa mode có chiều theo trục ngang (transverse) lớn hơn nhiều so với chiều dày
(lateral), có thể giả thiết các mode có dạng thể hiện theo chiều trục ngang ở mọi nơi trong
ống dẫn sóng.

Hình 1. Sơ đồ của một ống dẫn sóng đa mode N×M theo hình chiếu bằng.

W
Hình 1. thể hiện một ống dẫn sóng hai chiều chiều với độ rộng MMI , hệ số chiết suất
(hiệu dụng) lõi nr và hệ số chiết suất vỏ (hiệu dụng) là nc. Ống dẫn sóng ỗ trợ m mode
ngang với số mode tại bước sóng không gian tự do λ . Quan hệ giữa số sóng ngang

k xν



β

hằng số truyền ν của mode thứ ν có quan hệ với hệ số chiết suất lõi của ống dẫn sóng
dạng sườn (rib/ridge waveguide) bởi phương trình tán sắc [71]:
k x2ν + βν2 = k02 nr2
19

\* MERGEFORMAT (.)

Với

k0

là số sóng trong không gian tự do và được xác định bởi:
k0 =


λ

\*
MERGEFORMAT (.)

Điều kiện hình thành sóng đứng:
Weν k xν = ( ν + 1) π

\* MERGEFORMAT (.)

Ở đây, độ rộng hiệu dụng mode tính theo độ sâu thẩm thấu của mỗi trường mode kết
hợp với dịch Goos-Hanchen tại biên. Với các ống dẫn sóng tương sai khác hệ số chiết suất
giữa lớp lõi và vỏ cao thì độ sâu thẩm thấu là rất nhỏ nên độ rộng mode hiệu dụng xấp xỉ
với độ rộng hiệu dụng, được cho bởi [103]:


Weν ≈ We =WMMI

 λ  n 
+  ÷ c ÷
 π   nr 

1
nr2 − nc2

\* MERGEFORMAT

(.)

Hình 1.. Biểu diễn hai chiều của một ống dẫn sóng hệ số chiết suất bậc hai chiều.

Ở đây σ = 0 cho mode phân cực TE và σ = 1 cho mode phân cực TM.
2
2 2
Bằng cách sử dụng xấp xỉ hàm Taylor bậc hai với với điều kiện: k xν = k0 nr , hằng số

truyền

βν có thể được rút gọn từ các phương trình và là :
βν ≈ k0 nr −

( ν + 1)

2

πλ

4nrWe2

\* MERGEFORMAT (.)

Do đó, hằng số truyền trong một ống dẫn sóng đa mode chiết suất bậc cho thấy sự phụ
thuộc bình phương với số mode ν .
Bằng cách định nghĩa
nhất:



là nửa chiều dài phách (half-beat length) của hai mode bậc thấp

20

Lπ =

4n W 2
π
≈ r e
β 0 − β1


\* MERGEFORMAT (.)

Khoảng cách các hằng số truyền được viết lại là :

( β0 − βν ) ≈

ν (ν + 2)π
3Lπ

\* MERGEFORMAT (.)

Bằng cách giả thiết rằng MMI có ít nhất một số ít mode được dẫn và các mode phát xạ của
phần MMI không được kích thích, trường đầu vào ψ ( x, 0) là phổ hẹp đủ để không kích
thích các mode không được dẫn, ta có thể được khai triển theo các thành phần của các
mode được dẫn trong vùng đa mode:

ψ ( x, 0) = ∑ cvϕν ( x )
ν

\* MERGEFORMAT (.)

ϕ ( x ) là phân bố mode bậc thứ ν và cv là hệ số kích thích mode bậc thứν , cho
Trong đó, ν
bởi tích phân xếp chồng sau :
cv =

∫ψ ( x, 0)ϕ ( x)dx
∫ ϕ ( x)dx
ν

2
ν

\* MERGEFORMAT (.)

Trường ψ ( x, z ) truyền dọc theo trục z có thể được xem như là sự siêu xếp chồng của tất cả
các mode được dẫn, nghĩa là:
m −1

ψ ( x, z ) = ∑ cν ϕν ( x) exp [ j (ωt − βν z )]
ν =0

\* MERGEFORMAT (.)

Lấy pha của mode cơ sở (bậc 0) là nhân tử chung ra bên ngoài của tổng, tách nó và giả
thiết rằng thành phần phụ thuộc thời gian ẩn, trường ψ ( x, z ) trở thành:
m −1

ψ ( x, z ) = ∑ cν ϕν ( x) exp [ j ( β 0 − βν ) z ]
ν =0

\* MERGEFORMAT (.)

Bằng cách thế hằng số truyền từ phương trình vào phương trình trên ta được:
m −1
 ν (ν + 2)π
ψ ( x, z ) = ∑ cν ϕν ( x) exp  j
3Lπ
ν =0



z


\* MERGEFORMAT

(.)
Dạng của trường sóng ψ ( x, z = L) và cuối cùng kiểu của ảnh được tạo sẽ được xác định
bởi hệ số kích thích



và đặc tính của nhân tử pha mode:
21

 ν (ν + 2)π 
exp  j
L
3Lπ



\* MERGEFORMAT (.)

Có thể thẩy rằng: dưới một khoảng cách chu kỳ, trường ψ ( x, L) sẽ được tái tạo (selfimaging) của trường đầu vào ψ ( x, 0) . Chúng ta gọi giao thoa tổng quát (General
interference–GI) là giao thoa độc lập với sự kích thích mode; giao thoa hạn chế (Restricted
interference – RI) là do sự kích thích mode chắc chắn tại một số vị trí xác định đơn lẻ.
Các tính chất sau đây sẽ được sử dụng trong việc đối chiếu:

ν (ν + 2) chẵn với ν chẵn, ν (ν + 2) lẻ với ν lẻ

\*

ψ ν (− x) = ψ ν ( x) khi ν chẵn, ψ ν (− x) = −ψ ν ( x) khi ν lẻ

\*

MERGEFORMAT (.)

MERGEFORMAT (.)
Dễ dàng kiểm tra các tính chất này về mặt toán học.

1.1.3 Giao thoa tổng quát – GI
Cơ chế giao thoa tổng quát là độc lập với sự kích thích mode, tức là không giới hạn vào
hệ số kích thích mode



. Chúng ta xem xét các trường hợp sau đây:

a) Các đơn ảnh
Từ phương trình ta thấy rằng trường

ψ ν ( x, L) sẽ là một ảnh của ψ ν ( x, 0) nếu:

 ν (ν + 2)π
exp  j
3Lπ

Điều kiện này cho kết quả:

L = p (3Lπ )


L = 1
ν

hoặc (−1)

với p = 0,1, 2 …

\* MERGEFORMAT (.)
\* MERGEFORMAT (.)

Hệ số p biểu thị chu kỳ tự nhiên của ảnh theo ống dẫn sóng đa mode.
b) Các đa ảnh
Ngoài các ảnh đơn thì các đa ảnh nhận được tại các vị trí có khoảng cách là nửa độ dài
của các khoảng ảnh đơn, do có sự chụp ảnh đối xứng gương (mirrored images). Đa ảnh do
vậy chụp được tại các khoảng cách:
L=

p
(3Lπ )
2
với p = 1,3,5, 7 …

\*
MERGEFORMAT (.)

Trường tổng tại các chiều dài này tìm thấy bằng cách thay phương trình vào phương trình
với điều kiện đối xứng của trường mode, ta thu được:
22

m −1
p

 π 
ψ ( x, 3Lπ ) = ∑ cν ϕν ( x) exp  jν (ν + 2) p  ÷
2
 2 
ν =0


\*

MERGEFORMAT (.)

p
p
ψ ( x, 3Lπ ) = ∑ cν ϕν ( x) + ∑ ( − j ) cν ϕν ( x)
2
ν even
ν odd
1+ ( − j )
1− ( − j )
p
ψ ( x, 3Lπ ) =
ψ ( x, 0) +
ψ (− x, 0)
2
2
2
p

p

\*

MERGEFORMAT (.)
Phương trình cuối biểu thị cho cặp ảnh của ψ ( x, 0) trong sự cầu phương với biên độ 1/ 2
1
3
5
( 3Lπ )
( 3Lπ ) ( 3Lπ )
2
tại khoảng cách
, 2
,2
…Hai ảnh đứng này có thể được ứng dụng
để tạo ra các bộ ghép 2×2 –3dB.
z=

Tóm lược lại, giao thoa tổng quát cho cấu trúc N đầu vào sẽ được tạo dạng ở khoảng cách:
L=

p
(3Lπ )
N

\* MERGEFORMAT (.)

N-ảnh đứng được định vị tại vị trí
Bachmann et.al [9] là:

xi

với pha

φi được tính bởi L.B.Soldano et.al [71] và M.

We
N
π
φi = p ( N − i )
N
, i = 1, 2,3...N
xi = p (2i − N )

\* MERGEFORMAT (.)

Trường được dẫn ở phương trình lúc này được viết dưới dạng:

ψ ( x, L) =

1 N −1
∑ψ ( x − xi ) exp [ jϕi ]
C i =0

\* MERGEFORMAT (.)

C = N
Trong đó, C là một hằng số phức được chuẩn hóa và
, i là chu kỳ theo dọc theo
trục z, p là số nguyên dương trong đó p và N là nguyên tố cùng nhau.
Phương trình trên chứng tỏ N ảnh đứng được tạo tại vị trí xi, góc pha φi, biên độ 1/ N . Cơ
chế giao thoa cho phép nhận ra một bộ ghép quang N×N hoặc N×M. Trường hợp ngắn nhất
là p=1. Khi đó, quan hệ về pha liên kết
bộ ghép N×N là [71]:

φrs của ảnh giữa đầu ra thứ r và đầu vào thứ s của

23

ϕ rs =

π
( s − 1)(2 N + r − s ) + π
4N
với r + s chẵn

ϕrs =

Và:

\* MERGEFORMAT (.)

π
( r + s − 1)(2 N − r − s + 1)
4N
với r + s lẻ
\*
MERGEFORMAT (.)

1.1.4 Giao thoa hạn chế -RI
Cơ chế giao thoa phụ thuộc vào sự kích thích mode trong ống dẫn sóng. Trong phần
này, luận án trình bày khả năng và cách thức để tạo ra các bộ ghép MMI mà chỉ vài mode
được kích thích trong vùng MMI bởi trường đầu vào. Cơ chế giao thoa như vậy được gọi là
giao thoa hạn chế. Sự kích thích có chọn lọc này có liên quan đến nhân tử pha mode

ν (ν + 2) . Đại lượng này cho phép cơ chế giao thoa mới với chu kỳ ngắn hơn. Có hai
trường hợp được xét đến sau đây:
Giao thoa theo cặp

ν (ν + 2) ≡ 0 mod(3) với ν ≠ 2,5,8,11,...
\* MERGEFORMAT (.)

Để ý rằng:

Rõ rằng chiều dài chu kỳ của nhân tử pha mode sẽ giảm đi 3 lần nếu:

cν = 0

, với ν = 2,5,8,11,...

\* MERGEFORMAT (.)

Do đó, các đơn ảnh (trực tiếp và đảo ngược) của trường đầu vào ψ ( x, 0) sẽ nhận được tại
khoảng cách:

L = p( Lπ )

với p = 0,1, 2 …

\* MERGEFORMAT (.)

Điều đó chứng tỏ rằng: các mode ν = 2,5,8,11,... không được kích thích trong ống dẫn
sóng đa mode. Bằng cách tương tự ta thu được hai ảnh đứng sẽ được tìm thấy tại
p
L = ( Lπ )
2
với p lẻ.
Tổng quát cho hệ thống N ảnh đứng sẽ được tạo ra tại khoảng cách:
L=

p
( Lπ )
N
với p = 0,1, 2 …

\* MERGEFORMAT (.)

Ở đây: p ≥ 0, N ≥ 1 là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau.
Pha liên kết

φik của ảnh giữa đầu ra thứ k và đầu vào thứ i được tính theo [71] công thức:

24

π (i 2 + k 2 )
π π
φik = −
−k −
3N
2 2 nếu Aik > 0

\* MERGEFORMAT

π (i 2 + k 2 )
π 3π
φik = −
−k −
3N
2 2 nếu Aik < 0

\* MERGEFORMAT

(.)

(.)
i ( N − k ) 
2
sin 

N
 2 N  là biên độ ảnh kết hợp từ đầu vào thứ i và đầu ra thứ k. Một
Với:
cách để nhận được các kích thích chọn lọc này bằng cách phát một trường đầu vào đối
Aik =

xứng chẵnψ ( x, 0) (ví dụ chùm Gaussian) tại vị trí

x=±

We
6 . Tại các vị trí này, các mode

ν = 2,5,8,11,... sẽ là không với đối xứng lẻ.
Giao thoa đối xứng
Một bộ chia quang N đường cũng có thể được tạo ra bằng phương pháp giao thoa tổng
quát N ảnh đứng ở trên. Tuy nhiên, bằng cách chỉ các mode đối xứng chẵn, bộ chia 1 đến N
có thể được chế tạo với ống dẫn sóng bốn lần ngắn hơn.
Thật vậy, chú ý rằng:

ν (ν + 2) ≡ 0 mod(4) với ν chẵn

\* MERGEFORMAT (.)

Rõ ràng là chiều dài chu kỳ của pha mode sẽ giảm 4 lần nếu:

cν = 0

với ν = 1,3,5,... (tức ν lẻ)

\* MERGEFORMAT (.)

Do đó, ảnh đơn của trường đầu vàoψ ( x, 0) sẽ được nhận tại:

Hình 1.. Sơ đồ của một bộ chia hoặc kết hợp quang 1:N dựa trên cấu trúc giao thoa đối xứng.

25

L = p(

3Lπ
)
4 với p = 0,1, 2 …

\* MERGEFORMAT (.)

Ta xét điều kiện các mode lẻ không được kích thích trong ống dẫn sóng đa mode. Điều
kiện này có thể đạt được khi đầu vào của trường được bố trí tại ví trí trục đối xứng trung
tâm của ống dẫn sóng đối xứng (như được thấy ở Hình 1.).
Tổng quát, N ảnh đứng sẽ được nhận tại khoảng cách:
L=

p 3Lπ
(
)
N 4 với p = 0,1, 2 …

\* MERGEFORMAT (.)

ở đây p ≥ 0, N ≥ 1 là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau.
Vị trí

xi

và pha

φi của ảnh đầu ra được tính theo công thức [71]:
We
2N
π ( N − 1 − 2i) 2
φi = −
4N
xi = ( N − 1 − 2i )

\* MERGEFORMAT (.)

1.1.5 Ống dẫn sóng hình búp măng
Để giảm phản xạ tại mặt cuối của cấu trúc giao thoa đa mode, hoặc để cải thiện khả
năng bắt giữ của ánh sáng và làm tăng chất lượng ảnh giao thoa, một cấu trúc ống dẫn sóng
hình búp măng (taper waveguide) hay còn được gọi là ống dẫn sóng côn cũng được sử
dụng trong nhiều ứng dụng (như được thể hiện trên Hình 1. ). Một bộ ghép đa mode hình
búp măng đối xứng trục cũng được đề xuất trong một vài nghiên cứu để sử dụng làm các
bộ kết hợp công suất.

(a)
Hình 1..

(b)

Các ống dẫn sóng có chiều rộng biến đổi
tuyến tính:
(a) ống dẫn sóng hình búp măng và (b) ống dẫn sóng hình cánh bướm.

Trong ống dẫn sóng hình chữ nhật truyền thống, ta có quan hệ hằng số truyền như sau:

βν − β 0 ≈

ν ( ν + 1) πλ
4nrWe2

\* MERGEFORMAT (.)

Ở đây: We, nr lần lượt là độ rộng hiệu dụng của vùng đa mode và chiết suất hiệu dụng của
26