Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG 2: NGUYÊN LÝ HOẠT ĐỘNG

CHƯƠNG 2: NGUYÊN LÝ HOẠT ĐỘNG

Tải bản đầy đủ

 2 1 1 
ω  −  if
   c12 c 02 
Ο( r ) = 

0 if r > R



r ≤R

(2.1)

Với và là tốc độ truyền sóng trong đối tượng và tốc độ truyền trong nước, f là
tần số sóng siêu âm, ω là tần số góc (),R là bán kính của đối tượng.
Phương trình truyền sóng được mô tả:
(2.2)

Với

k0 =

ω

c 0 là số sóng tính trong môi trường B , ω là tần số góc, p( r ) tín hiệu
1


áp suất tổng (là tổng của áp suất tới và áp suất gây bởi tán xạ), và Ο ( r ) là hàm mục
tiêu.
Giải phương trình (2.2) sẽ có nghiệm dạng tích phân tính theo hàm Green như
sau:




p sc ( r ) = p ( r ) − p inc ( r )

()()(

)

= ∫∫ Ο r ' p r ' G r − r ' d r '

(2.3)

sc 
inc 
p
(
r
)
p
( r ) là sóng tới và G(.) là hàm Green.
Ở đó
là sóng tán xạ,

Chúng ta sử dụng phương pháp mômen để rời rạc hóa phương trình (2.3) [13]
bằng cách chia lưới vùng diện tích chứa đối tượng (xem Hình 2.1). Sóng tới được biểu
diễn dạng vecto kích thước N2×1 như sau:

p= p

inc

( )

+ C.D Ο p

(2.4)

Và áp suất tán xạ thu được có kích thước NtNr×1:
sc

( )

p = B.D Ο . p

(2.5)

Ở đó B là ma trận ứng với hệ số G0(r,r’) tư các pixel tới máy thu, C là ma trận
ứng với hệ số G0(r,r’) giữa các pixel, I là ma trận đơn vị, và D(.) là toán tử chéo hóa
[13].
Nếu có máy phát và máy thu thì tín hiệu áp suất tán xạ là vector được viết lại:
12

(2.6)
Với là ma trận kích cỡ .
Những dữ liệu được xử lý sử dụng BIM để khôi phục lại mức độ tương phản
tốc độ âm thanh. Bằng cách này chúng ta có thể xác định được có khối u tồn tại trong
môi trường. BIM sử dụng xấp xỉ Born để tính toán trong các vòng lặp của bài toán phi
tuyến tán xạ ngược. Nếu chúng ta sử dụng nhiều máy phát và máy thu hàm mục tiêu
có thể được ước lượng bằng cách sử dụng quy tắc Tikhonov.
(2.7)
Với là tham số của quy tắc, tham số này cần được lựa chọn một cách cẩn thận
vì nó ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống [16]. Nếu mà lớn thì ảnh tái tạo sẽ khó
nhưng nếu mà nhỏ thì việc tính toán sẽ phức tạp.

p

Nhận xét rằng trong 2 phương trình (2.4) và (2.5) thì cả
và Ο đều chưa biết.
Để giải quyết ta phải áp dụng xấp xỉ Born loại 1 cho điều kiện ban đầu trước khi bắt
đầu vòng lặp: p

( 0)

inc

= p . Bên cạnh đo, tin hiệu sóng tới được cho là:

() (

p inc r = J 0 k 0 r − rk

Với J0 là hàm Bessel bậc 0,
thứ k trong vùng chia lưới.

r − rk

)

(2.8)

là khoảng cách giữa máy phát và các điểm

sc

Tín hiệu p trong thực tế có thể đo được bằng cách lấy hiệu số của tín hiệu tại
sc

p lại
máy thu khi có đối tượng và khi không có đối tượng. Còn trong mô phỏng thì
có thể được tính bằng phương trình (2.5) sử dụng hàm mục tiêu lý tưởng. Sau đó
chúng ta sẽ sử dụng phương pháp BIM để khôi phục hàm mục tiêu bằng cách lặp hai
phương trình (2.4) và (2.5) theo thuật toán BIM như sau:
Thuật toán 1 The Born iterative method
1: Thiết lập Ο

( 0)

và p

( 0)

= p

inc

2: Tính toán hai ma trận B và C
3: Lặp cho đến khi RRE < ε
13

{
4: Tính p sử dụng Ο

( n)

5: Tính RRE ứng với Ο

trong phương trình (2.4)
( n)

sử dụng (2.9)

6: Cập nhật hàm mục tiêu Ο

( n + 1)

bằng cách giải (2.5).

7: n=n+1;
}
Ở đó

ε sai ngưỡng sai số cho trước và RRE được định nghĩa như sau:
RRE =

2.2.

( ). p − p

B.D Ο

( n)

p sc

sc

đo

đo

(2.9)

Distorted Born Iterative Method (DBIM)

Sử dụng sơ đồ cấu hình hệ đo như trong Hình 2.1 phần BIM, bằng cách sử dụng
DBIM để tái tạo lại độ tương phản âm thanh tán xạ để xác định khối u trong môi
trường.
Giải sử rằng có một không gian vô hạn chứa môi trường đồng nhất chẳng hạn là
nước, số sóng là . Trong môi trường đó có vật với số sóng là phụ thuộc vào không
gian trong vật. Phương trình truyền sóng của hệ thống có thể được cho như phương
trình (2.2).
Viết lại dưới dạng tích phân ta có:
(2.10)
(2.11)
sc 
inc 
(
)
( r ) là sóng tới và G(.) là hàm Green.
p
r
p
Ở đó
là sóng tán xạ,

(2.12)
là hàm mục tiêu cần dược khôi phục tư dữ liệu tán xạ.
Bằng phương pháp moment (MoM) áp suất tổng có thể được tính:
(2.13)
Áp suất tán xạ:
(2.14)

14

Hai biến chưa biết là và trong công thức (2.13) và (2.14), trong trường hợp
này áp dụng xấp xỉ Born loại 1 và theo (2.13), (2.14) ta có:
(2.15)
Với
Với mỗi bộ phát và bộ thu, chúng ta có một ma trận và một giá trị vô hướng .
Thấy rằng vector chưa biết có giá trị bằng với số pixel của RIO. Hàm mục tiêu
(Object function) có thể được tính bằng cách lặp:
(2.16)
Với và là giá trị của hàm mục tiêu ở bước hiện tại và bước trước đó. có thể
được tìm bằng quy tắc Tikhonov:
(2.17)
Trong đó là ( vector chứa giá trị sai khác giữa kết quả đo và kết quả tiên đoán
tín hiệu siêu âm tán xạ; là ma trận được tạo bởi phép đo
Thuật toán 2: The distorted Born iterative method
1: Chọn giá trị khởi tạo
2: while( ) or( RRE <

ε ), do

{
3:

Tính , , ,và tương ứng sử dụng (2.13) và (2.14)

4:

Tính tư giá trị đo được và giá trị tiên đoán

5:

Tính RRE tương ứng sử dụng công thức (2.18)

6:

Tính giá trị mới sử dụng (2.16)

7:

;}
(2.18) [13].

2.3.

Bài toán ngược

Để giải bài toán ngược khi có nhiễu ta phải sử dụng phương pháp “Nonlinear
conjugate gradient method” (NCG) [13][14]. Vì thế ta có thuật toán để giải phương
trình (2.17) như sau:
Thuật toán 3: NCG method
1: Khởi tạo dưới dạng một vector 0
2: Khởi tạo .
15

3: Khởi tạo và .
4: for đến giá trị lặp lớn nhất, do
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12: if , then
13: Break iterations
14: end if
15: end for
Để lựa chọn tham số ta sử dụng công thức (2.19) [13]:
(2.19)
Với được tính theo phương pháp lũy thưa lặp với xấp xỉ tỉ số Rayleigh [15].
Thuật toán 4: The power iteration method with Rayleigh quotient
1: Khởi tạo vector ngẫu nhiên đơn vị và
2: for đến số vòng lặp lớn nhất, do
3:
4:
5: if then
6: Break iterations
7: end if
8:
9:
10:
11: end for

16

2.4.

Mô phỏng thuật toán BIM và DBIM
2.4.1. Mô phỏng BIM

Kich bản mô phỏng 1:

Hình 2.2. là hàm mục tiêu lý tưởng được xây dựng bởi phương trình (2.1)

Hình 2.2: Hàm mục tiêu lý tưởng
Hình 2.3 và Hình 2.4 mô tả hàm mục tiêu cần khôi phục sau bước 1 và bước 5
(tức là sau vòng lặp thứ nhất và vòng lặp thứ 5)

17

Hình 2.3: Hàm mục tiêu sau bước lặp đầu tiên

Hình 2.4: Hàm mục tiêu sau bước lặp thứ 5
Hình 2.5 là đồ thị biểu thị sai số giữa kết quả khôi phục và hàm mục tiêu lý
tưởng (sai số err) với err được tính như sau:
(2.19)
Trong đó và là hàm mục tiêu lý tưởng và ước lượng theo phương (i,j)

18

Hình 2.5: Sai số qua tưng bước lặp
Kich bản mô phỏng 2:

Hình 2.6 là hàm mục tiêu được xây dựng bởi phương trình (2.1) ứng với những
tham số của kịch bản

19

Hình 2.6: Hàm mục tiêu lý tưởng (N=17)
Hình 2.7, Hình 2.8 và Hình 2.9 mô tả hàm mục tiêu cần khôi phục sau bước 1,
bước 4 và bước 10 (tức là sau vòng lặp thứ nhất, vòng lặp thứ 4 và vòng lặp thứ 10)

20

Hình 2.7: Hàm mục tiêu sau bước lặp thứ 1

Hình 2.8: Hàm mục tiêu sau bước lặp thứ 4

Hình 2.9: Hàm mục tiêu sau bước lặp thứ 5
21

2.4.2. Mô phỏng DBIM
Kich bản mô phỏng 3:

Hàm mục tiêu được xây dựng dựa vào (2.1) được cho ở đồ thị Hình 2.11

Hình 2.10: Hàm mục tiêu lý tưởng
Hình 2.11, Hình 2.12 và Hình 2.13 mô tả hàm mục tiêu cần khôi phục sau bước
1, bước 4 và bước 5 (tức là sau vòng lặp thứ nhất, vòng lặp thứ 4 và vòng lặp thứ 5)

22