Tải bản đầy đủ
Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ

Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ

Tải bản đầy đủ

Khi X= Y thì R ⊂ X × Y là quan hệ trên X
Quan hệ R trên X được gọi là:
-

Phản xạ nếu: R(x,x) = 1 với ∀x∈ X

-

Đối xứng nếu: R(x,y) = R(y,x) với ∀x, y∈ X

-

Bắc cầu nếu: (xRy)∧(yRz) ⇒(xRz) với ∀x,y,z ∈X

Định nghĩa 8: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị
nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
2.1.2. Các quan hệ mờ
Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn ( suy luận
xấp xỉ) mờ. Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ
đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con
người. Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logic mờ mở rộng được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logĩ mờ mở rộng từ logic đa trị, do đó nảy sinh ra
rất nhiều các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các toán tử T-chuẩn, T-đối
chuẩn, cũng như các phương pháp mờ hoá, khử mờ khác nhau,…Sự đa dạng
này đòi hỏi người ứng dụng phải tìm hiểu để lựa chọn phương pháp thích hợp
nhất cho ứng dụng của mình.
Định nghĩa 9: Cho U ≠ ∅ ; V ≠ ∅; R là một tập mờ trên U ×V gọi là
một quan hệ mờ( quan hệ hai ngôi).
0 ≤ R (x,y) = µ R(x,y) ≤ 1
Tổng quát: R⊂U1×U2×……..×Un là quan hệ n ngôi
0≤ R(u1, u2,……un) = µR(u1, u2,…..un)≤ 1
2.1.3. Các phép toán của quan hệ mờ
Định nghĩa 10: Cho R là quan hệ mờ trên X×Y, S là quan hệ mờ trên
Y×Z, lập phép hợp thành SoR là quan hệ mờ trên X×Z
31

Có R(x,y) với (x,y)∈ X×Y, S(y,z) với (y,z)∈Y×Z. Định nghĩa phép hợp
thành:
Phép hợp thành max – min xác định bởi:
Sup
y∈Y (min(R(x,y),S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z

(S ° R)(x,z) =

Phép hợp thành max – prod xác định bởi:
Sup

(S° R)(x,z) = y∈Y (min(R(x,y) × S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z
Phép hợp thành max – T ( với T là T - chuẩn) xác định bởi:
Sup

(S° TR)(x,z) = y∈Y (T(R(x,y) , S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z
2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ
Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ - đó là quá trình suy ra
những kết luận dưới dạng các mệnh đề trong điều kiện các quy tắc , các luật,
các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định.
Trong giải tích toán học chúng ta sử dụng mô hình sau để lập luận:
Định lý: “Nếu một hàm số là khả vi thì nó liên tục”
Sự kiện: Hàm ƒ khả vi
Kết luận: Hàm ƒ là liên tục
Đây là dạng suy luận dựa vào luật logic cổ điển Modus Ponens.
Căn cứ vào mô hình này chúng ta sẽ diễn đạt cách suy luận trên dưới dạng sao
cho nó có thể suy rộng cho logic mờ.
Gọi Ω là không gian tất cả các hàm số, ví dụ Ω ={g:R→R}. A là các tập
các hàm khả vi, B là tập các hàm liên tục. Xét hai mệnh đề sau: P=’g∈A’ và Q
=’g∈B’. Khi đó ta có:
Luật (tri thức):

P⇒Q

32

Sự kiện:

P đúng (True)

Kết luận:

Q đúng (True)

Xét bài toán suy luận trong hệ mờ
Hệ mờ n biến vào x1, …..xn và một biến ra y
Cho Un, i= n..n là các không gian nền của các biến vào , V là không
gian nền của biến ra.
Hệ được xác định bởi m luật mờ”
R1: Nếu x1 là A11và x2 và ….xn là A1n thì y là B1
R2: Nếu x1 là A21 và x2 là A22 và…xn là A2n thì y là B2
............................................................................................
Rm: Nếu x1 là Am1 và x2 là Am2 và ……xn là Amn thì y là Bm
Thông tin đầu vào:
X1 là A01 và x2 là A02 và….x0n là A0n
Tính: y là B0
Trong đó biến mờ ji, i = 1, n, j = 1, m xác định trên không gian nền U, biến
mờ Bj, ( ( j = 1, n) xác định trên không gian nền V.
Để giải bài toán này chúng ta phải thực hiện qua các bước sau:
1. Xác định các tập mờ của các biến đầu vào.
2. Xác định độ liên thuộc tại các tập mờ tương ứng.
3. Xác định các quan hệ mờ R(A.B)(u,v).
4. Xác định phép hợp thành.
Tính B’ theo công thức: B’ = A’°R(A,B)(u,v).

33

3. Hệ mờ
Kiến trúc cơ bản của một hệ mờ gồm 4 thành phần chính: Bộ mờ
hoá, hệ luật mờ, động cơ suy diễn mờ và bộ giải mờ như hình 2.5 dưới đây

Hệ luật mờ
(Fuzzy Rule Base)
Đầu vào rõ

Các tập

mờ

Bộ mờ hoá
đầu vào

Các tập

Động cơ suy diễn mờ
(Fuzzy Interence Engine)

mờ

Bộ giải hoá
(Dauzzifier)

Đầu ra rõ

đầu vào

Hình 2.5 Cấu hình cơ bản của hệ mờ
Không làm mất tính tổng quát, ở đây ta chỉ xét hệ mờ nhiều đầu vào,
một đầu ra ánh xạ tập compact S ⊂ Rn vào R. Các thành phần của hệ mờ được
miêu tả như sau.
3.1. Bộ mờ hoá
Thực hiện việc ánh xạ từ không gian đầu vào S vào các tập mờ xác định
trong S được cho bởi hàm thuộc µ : S →[0,1]. Bộ phận này có chức năng chính
dùng để chuyển một giá trị rõ x ∈ X thành một giá trị mờ trong S ∈U (U là
không gian nền). Có hai phương pháp mờ hoá như sau:


Singleton fuzzifiter: Tập mờ A với x 1 và hàm liên

thuộc được định nghĩa như sau

µA(x) =

1 if x = xi
0 if x ≠ xi

34



No – Singleton fuzziffier: Với các hàm liên thuộc

nhận giá trị lớn nhất là 1 tạo x = x i và giảm dần từ 1 đến 0 với các
giá trị dịch chuyển x ≠ x1.
3.2. Hệ luật mờ
Gồm nhiều mệnh đề dạng:
IFTHENquả>
Giả sử hệ luật gồm M luật Rj (j= 1, M ) dạng
Rj: IF x1 is Ai and x2 is A2 and .....xn is Anj THEN y is Bj
Trong đó xi (i = 1, n ) là các biến đầu vào hệ mờ, y là biến đầu ra của hệ
j
mờ - các biến ngôn ngữ, A i là các tập mờ trong các tập đầu vào X và B j là

các tập mờ trong các tập đầu ra Y – các giá trị của biến ngôn ngữ (ví dụ: “Rất
nhớ”, “nhỏ”, “Trung bình”, “Lớn”, “Rất lớn”,)đặc trưng bởi các hàm thuộc

µ j
µ
A và B j . Khi đó R j là một quan hệ mờ từ các tập mờ đầu vào X = X1 ×
i
X2 ×......× Xn tới các tập mờ đầu ra Y.
3.3. Động cơ suy diễn
Đây là một bộ phận logic đưa ra quyết định sử dụng hệ mờ để
thực hiện ánh xạ từ các tập mờ trong không gian đầu vào X thành tập mờ trong
không gian đầu ra Y.
Khi Rj là một quan hệ mờ, thì Rj có thể là một tập con của tích

{





Decart X × Y = ( x , y ) : x ∈ X , y ∈ Y } , với

35



x = (x , x
1

2,

......, x n ) T . Vì vậy, quan hệ

j
j
Rj là một hàm ánh xạ từ tập mờ trong X tới tập mờ trong Y, A1j xA2j Χ....ΧAn → B
j j
j
được gọi là một dạng suy diễn mờ( để cho gọn, ta ký hiệu Aj = A1 xA2 Χ...ΧAn )

Giả sử A là một tập mờ trong X và là đầu vào của bộ suy diễn.
Khi đó mỗi luật Rj tạo ra một tập mờ Bj trong Y như sau:
Bj = A ° Rj = sup (A*Rj)
Với * là một toán tử T - chuẩn được định nghĩa trong bảng 2.1. Do tính
kết hợp, ta có thể định nghĩa:
T2(x,y) = T(x,y)
T3(x,y,z) = T(x,T2(y,z)) với ∀0 ≤x, y, z≤1
........
Dùng quy nạp ta định nghĩa:
Tn(x1,x2,..., .xn) = T(x1, T n-1(x2,....xn)) với ∀0 ≤ xi ≤ 1
Quan hệ Rj được định nghĩa thông qua hàm phụ thuộc sau:




µ j ( x , y) = µ
(
x
,
y
)
=
T
(
µ
(
x ), µ j ( y)))
R
A→Bj
Aj
B
= T (T n (µ j ( x ),..., µ i ( xn )), µ ( xn ))
An
An
A 1
1

Và hàm liên thuộc của tập A là


µ A ( x ) = T n ( µ ( x1 ), µ A2 ( x 2 ),...µ An ( x n ))

Do đó, hàm liên thuộc của tập mơg đầu ra được tính như sau:


µ B ( y ) = sup
µ ( x ) * µ ( x , y)

j
A
j
R
x ∈U

[

36

]

3.4. Bộ giải mờ
Đây là một ánh xạ từ các từ các tập mờ trong R thành các giá trị
rõ ràng trong R. Có nhiều phép giải mờ, với mỗi ứng dụng sẽ có một phương
thức giải mờ khác nhau tuỳ thuộc yêu cầu ứng dụng. Dưới đây sẽ liệt kê một
số phương thức giải mờ thông dụng.


Phương pháp độ cao:

M −j
y µ j ( y− j )


B'
y ( x ) = i=1
h
M
−j
∑ µ j (y )
i=1 B'
Với j là chỉ số luật , y-j là điểm có độ liên thuộc lớn nhất trong
−j
tập mờ đầu ra B’j , thứ j và µ B, j ( y ) được tính theo công thức


µ A ( x ) = T n ( µ ( x1 ), µ A2 ( x 2 ),...µ An ( x n )) như sau:

µ

(y
B' j



−j

) = µ j (y
B

−j

)*µ

A
1

( x' ) * µ ( x ' ) * .... * µ ( xn' )
1
A 2
An
2

Phương pháp độ cao biến đổi:

M −j
−j
j2
y
µ
(
y
)
/
δ


B' j
y ( x ) = i =1
mh
M
−j
j2
∑ µ j (y )/δ
i =1 B'

với δ j hệ số biến đổi của luật j



Phương pháp trọng tâm

N
yi µ B ( yi )
→ i∑
=
1
yc ( x ) =
N
∑ µ (y )
i =1 B i

37



Phương pháp tâm của các tập (Center – of – Sets):

phương pháp này mỗi luật được thay thế bởi tập singleton tâm cj
M j n
∑ c Ti =1µ j ( xi )
A
→ i =1
i
ycos ( x ) =
M n
∑ T µ (x )
i =1 i =1 Aij i

3.5. Ví dụ minh hoạ
Xét hệ mờ với hai luật mờ và các hàm liên thuộc của các tập mờ đầu
vào, đầu ra như biểu diễn tại hình 1.6. Mỗi luật mờ có hai đầu vào hình a1, a2,
b1,b2 và một đầu ra hình a3, b3. Giả sử chúng ta thử nghiệm với hai giá trị đầu
vào là x1 = 0.15 và x2 = 0.5, sử dụng dạng T-chuẩn MIN(T(x,y) = x.y)tính được
tổng hợp của các tập mờ phía IF và phía THEN hình (d). Sử dụng T- đối chuẩn
cho tất cả các đầu ra như hình (e).
- Phương pháp độ cao:
y =
h

0.8 × 0.5 + 0.1 × 1
= 0.5556
0.8 + 0.1

- Phương pháp độ cao biến đổi: giả sử δ1 = 0.4 và δ2 =0.2. Ta có :
(0.8 × 0.5) 0.1 × 1
+
2
0
.
4
0.2 2 = 0.6667
y =
h
0.8
0.1
+
0.4 2 0.2 2

- Phương pháp trọng tâm:
y =
h

0.8 × 0.6 + 0.1× 0.9
= 0.6333
0.8 + 0.1

38

Hình 2.6. Minh hoạ các phương pháp giải mờ

39

CHƯƠNG 3
MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG CHUỖI THỜI GIAN
MỜ VÀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN CẢI TIẾN

1. Một số khái niệm
1.1. Định nghĩa tập mờ và chuỗi thời gian mờ
Giả sử U là không gian nền. không gian nền này xác định một tập hợp
các đối tượng cần nghiên cứu. Nếu A là một tập con rõ của U thì ta có thể xác
định chính xác một hàm đặc trưng:
0 nếu x nằm ngoài A
µ A(x) =

1 nếu x nằm trong A
Nhưng với một tập mờ B trong không gian nền U thì phần tử x không
xác định chính xác được. Khi đó ta có định nghĩa:
µ A : U → [0.1]
µ A được gọi là hàm thuộc (Membership function). Còn với bất kỳ một

phần tử u nào của A thì hàm µ A (u) được gọi là độ thuộc của u vào tập mờ A.
Giả sử Y(t) là chuỗi thời gian (t = 0, 1, 2,…)
U là tập nền chứa các khoảng giá trị của chuỗi thời gian từ nhỏ nhất đến
lớn nhất.
Xác định hàm thuộc µ A : U → [0.1] của tập mờ A, còn tập A trên không
gian nền U được viết như sau:
A = {( µ A (u1 / u1, µ A (u2 / u2,… µ A (un / un),: ui ∈ U; I = 1, 2, …, n}
µ A (ui) là độ thuộc của ui vào tập A hay cách viết khác:

40

A=

A (u 1 )
A (u 2 )
A (u n )
+
+ ... +
u1
u2
un

1.2. Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ
Định nghĩa 1:
Y(t) (t = …0, 1, 2, …) là một tập con của R 1. Y(t) là tập nền trên đó xác
định các tập mờ fi(t). F(t) là tập chứa các tập f i(t) (I = 1, 2,…) khi đó ta gọi F(t)
là chuỗi thời gian mờ xác định trên tập nền Y(t).
Định nghĩa 2:
Tại các thời điểm t và t-1 có tồn tại một mối quan hệ mờ giữa F(t) và
F(t-1) sao cho F(t) = F(t-1) * R(t-1, t) trong đó * là kí hiệu của một toán tử xác
định trên tập mờ. R(t-1, t) là mối quan hệ mờ. Ta cũng có thể kí hiệu mối quan
hệ mờ giữa F(t) và F(t-1) bằng F(t-1) → F(t).
Nếu đặt F(t-1) = Ai và F(t) = Aj thì ta kí hiệu mối quan hệ logic mờ giữa
chúng như sau: Ai → Aj.
Định nghĩa 3: Nhóm các mối quan hệ mờ
Các mối quan hệ logic có thể gộp lại thành một nhóm nếu trong ký hiệu
trên, cùng một vế trái sẽ có nhiều mối quan hệ tại vế phải. ví dụ nếu ta có các
mối quan hệ:
Ai → Ak
Ai → Am
Thì ta có thể gộp chúng thành nhóm các mối quan hệ logic mờ sau:
Ai → Ak, Am
Định nghĩa 4:
Giả sử F(t) suy ra từ F(t-1) và F(t) = F(t-1) * R(t-1, t) cho mọi t. Nếu
R(t-1, t) không phụ thuộc vào t thì F(t) được gọi là chuỗi thời gian mờ dừng,
còn ngược lại ta có chuỗi thời gian mờ không dừng.

41