Tải bản đầy đủ
Lý thuyết tập mờ

Lý thuyết tập mờ

Tải bản đầy đủ

Khoảng xác định của hàm µA(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0
chỉ mức độ không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn.
Ví dụ 1: Hàm liên tục của tập mờ A “tập các số thực gần 1” được
định nghĩa như sau: µA(x) = e −a( x−1)2

Hình 2.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”
Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác
Triangle(x, a, b, c) = max(min(

x−a c−x
,1,
),0)
b−a c−b

Trapezoid(x, a, b, c ,d) = max(min(

x−c)
Gaussian(x, σ , c, )= −( σ )2
e
1

Bell(x, a, b, c) = 1 + x − c

2b

a

25

x−a d −x
,1,
),0)
b−a d −c

Hình 2.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ
1.2. Các phép toán trên tập mờ
1.2.1 Phép bù của tập mờ
Định nghĩa 1: (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn các
điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 được gọi là hàm phủ định (negation function).
Định nghĩa 2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần
bù Ac của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc được xác định bởi:
Ac(x) = n(A(x)), với mỗi x∈ Ω
1.2.2. Phép giao hai tập mờ
Định nghĩa 3( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2 → [0,1] là phép bội (T - chuẩn)
khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
1.T(1, x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2.T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0 ≤ x, y ≤1.
3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0 ≤ x,y, z ≤1.

26

Định nghĩa 4 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng
không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho T là một TChuẩn. Phép giao của hai tập mờ A,B là một tập mờ (ký hiệu (A∩TB)) trên Ω
với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x ∈ Ω
Ví dụ:
-

Với T(x,y)=min(x,y)ta có: (A∩TB)(x) = min(A(x),B(x))

-

Với T(x,y) = x,y ta có (A∩TB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)

Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm
T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:
-

Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B

-

Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=min(x,y)

-

Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=x.y

Hình 2.3. Giao của hai tập mờ
1.2.3. Phép hợp hai tập mờ
Định nghĩa 5 (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]2 được gọi là phép tuyển
( T-đối chuẩn) nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. S(0,x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0 ≤ x , y ≤ 1.
3. S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v.
27

4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0 ≤ x, y,
z≤1.
Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng
không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho S là một T - đối
chuẩn. Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ ( kí hiệu A∪SB)) trên Ω
với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∪SB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x∈Ω
Ví dụ:
-

Với S(x,y) = max(x,y): (A∪SB)(x)= max(A(x), B(x))

-

Với S(x,y) = x + y – x.y:

(A∪SB)(x)= A(x) + B(x) –

A(x) .B(x)
-

Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm

S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 2.4 sau đây:
-

Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B

-

Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y)

-

Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.y

Hình 2.4. Phép hợp của hai tập mờ
1.2.4. Luật De Morgan
Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh.
Khi đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu:
28

n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))
Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T-chuẩn
và T-đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 2.1
STT

T(x,y)

S(x,y)

1

Min(x,y)

Max(x,y)

2

x.y

x+ y – x.y

3

Max(x + y -1, 0)

Min(x + y,1)

4

Min0(x,y)=  0

5

 min( x, y )if


 min( x, y )if

Z(x,y) =  0


x + y >1

Else

max(x,y)=1

Hγ ( x, y ) =

7

YΡ ( x, y ) = 1 − min 1, (1 − x) P

x. y
,y≥0
γ + (1 − γ )( x + y − xy )

{ [

]

1

P

x + y <1

 max( x, y )if


min(x,y)=0

Max1(x,y)=  0

Else

6

 max( x, y )if


Max1(x,y)=  0

}, p > 0

Hγ ( x, y ) =

Elsee
Els

Else

x + y − (2 − γ ) x. y
,y≥0
1 − (1 − γ ) x. y

YP ( x, y ) = min(1, P x P + y P } , p > 0

Bảng 2.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn.
1.2.5. Phép kéo theo
Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định,
phép kéo theo lS(x,y) hay x→y được xác định trên khoảng [0,1] 2 được định
nghĩa bằng biểu thức sau đây:
lS(x,y) = S(T(x,y),n(x))

29

Bảng 1.2 dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử
dụng nhất.
STT

Tên

Biểu thức xác định

1

Early Zadeh

x→y = max(1-x,min(x,y))

2

Lukasiewicz

x→y = min(1,1- x+y)

3

Mandani

4

Larsen

x→y = min(x,y)
x→y = x.y

{

x≤ y

Standard Strict

if
x→y = 1
0 other

Godel

if
x→y = 1y
other

7

Gaines


x→y = 1y
 x

8

Kleene – Dienes

5
6

9

{

x≤ y

if x≤ y
other

x→y = max(1 –x,y)

Kleene – Dienes –

x→y = 1- x + y

Lukasiwicz

10

Yager

x→y = yx

Bảng 2.2. Một số phép kéo theo mờ thông dụng
2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ
2.1. Quan hệ mờ
2.1.1. Khái niệm về quan hệ rõ
Định nghĩa 7: Cho X ≠∅, Y≠∅, R⊂ X × Y là một quan hệ ( quan
hệ nhị nguyên rõ), khi đó
1 if(x,y) (x,y) ∈ R (⇔ xRy)

R(x,y) =
0 if (x,y)∉R y)(⇔ ¬xR

30

Khi X= Y thì R ⊂ X × Y là quan hệ trên X
Quan hệ R trên X được gọi là:
-

Phản xạ nếu: R(x,x) = 1 với ∀x∈ X

-

Đối xứng nếu: R(x,y) = R(y,x) với ∀x, y∈ X

-

Bắc cầu nếu: (xRy)∧(yRz) ⇒(xRz) với ∀x,y,z ∈X

Định nghĩa 8: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị
nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
2.1.2. Các quan hệ mờ
Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn ( suy luận
xấp xỉ) mờ. Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ
đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con
người. Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logic mờ mở rộng được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logĩ mờ mở rộng từ logic đa trị, do đó nảy sinh ra
rất nhiều các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các toán tử T-chuẩn, T-đối
chuẩn, cũng như các phương pháp mờ hoá, khử mờ khác nhau,…Sự đa dạng
này đòi hỏi người ứng dụng phải tìm hiểu để lựa chọn phương pháp thích hợp
nhất cho ứng dụng của mình.
Định nghĩa 9: Cho U ≠ ∅ ; V ≠ ∅; R là một tập mờ trên U ×V gọi là
một quan hệ mờ( quan hệ hai ngôi).
0 ≤ R (x,y) = µ R(x,y) ≤ 1
Tổng quát: R⊂U1×U2×……..×Un là quan hệ n ngôi
0≤ R(u1, u2,……un) = µR(u1, u2,…..un)≤ 1
2.1.3. Các phép toán của quan hệ mờ
Định nghĩa 10: Cho R là quan hệ mờ trên X×Y, S là quan hệ mờ trên
Y×Z, lập phép hợp thành SoR là quan hệ mờ trên X×Z
31