Tải bản đầy đủ
LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ

LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ

Tải bản đầy đủ

Khoảng xác định của hàm µA(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0
chỉ mức độ không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn.
Ví dụ 1: Hàm liên tục của tập mờ A “tập các số thực gần 1” được
định nghĩa như sau: µA(x) = e −a( x−1)2

Hình 2.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”
Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác
Triangle(x, a, b, c) = max(min(

x−a c−x
,1,
),0)
b−a c−b

Trapezoid(x, a, b, c ,d) = max(min(

x−c)
Gaussian(x, σ , c, )= −( σ )2
e
1

Bell(x, a, b, c) = 1 + x − c

2b

a

25

x−a d −x
,1,
),0)
b−a d −c

Hình 2.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ
1.2. Các phép toán trên tập mờ
1.2.1 Phép bù của tập mờ
Định nghĩa 1: (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn các
điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 được gọi là hàm phủ định (negation function).
Định nghĩa 2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần
bù Ac của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc được xác định bởi:
Ac(x) = n(A(x)), với mỗi x∈ Ω
1.2.2. Phép giao hai tập mờ
Định nghĩa 3( T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2 → [0,1] là phép bội (T - chuẩn)
khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
1.T(1, x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2.T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0 ≤ x, y ≤1.
3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0 ≤ x,y, z ≤1.

26

Định nghĩa 4 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng
không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho T là một TChuẩn. Phép giao của hai tập mờ A,B là một tập mờ (ký hiệu (A∩TB)) trên Ω
với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x ∈ Ω
Ví dụ:
-

Với T(x,y)=min(x,y)ta có: (A∩TB)(x) = min(A(x),B(x))

-

Với T(x,y) = x,y ta có (A∩TB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)

Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm
T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:
-

Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B

-

Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=min(x,y)

-

Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=x.y

Hình 2.3. Giao của hai tập mờ
1.2.3. Phép hợp hai tập mờ
Định nghĩa 5 (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]2 được gọi là phép tuyển
( T-đối chuẩn) nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. S(0,x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0 ≤ x , y ≤ 1.
3. S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v.
27

4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0 ≤ x, y,
z≤1.
Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng
không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho S là một T - đối
chuẩn. Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ ( kí hiệu A∪SB)) trên Ω
với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∪SB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x∈Ω
Ví dụ:
-

Với S(x,y) = max(x,y): (A∪SB)(x)= max(A(x), B(x))

-

Với S(x,y) = x + y – x.y:

(A∪SB)(x)= A(x) + B(x) –

A(x) .B(x)
-

Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm

S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 2.4 sau đây:
-

Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B

-

Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y)

-

Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.y

Hình 2.4. Phép hợp của hai tập mờ
1.2.4. Luật De Morgan
Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh.
Khi đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu:
28

n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))
Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T-chuẩn
và T-đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 2.1
STT

T(x,y)

S(x,y)

1

Min(x,y)

Max(x,y)

2

x.y

x+ y – x.y

3

Max(x + y -1, 0)

Min(x + y,1)

4

Min0(x,y)=  0

5

 min( x, y )if


 min( x, y )if

Z(x,y) =  0


x + y >1

Else

max(x,y)=1

Hγ ( x, y ) =

7

YΡ ( x, y ) = 1 − min 1, (1 − x) P

x. y
,y≥0
γ + (1 − γ )( x + y − xy )

{ [

]

1

P

x + y <1

 max( x, y )if


min(x,y)=0

Max1(x,y)=  0

Else

6

 max( x, y )if


Max1(x,y)=  0

}, p > 0

Hγ ( x, y ) =

Elsee
Els

Else

x + y − (2 − γ ) x. y
,y≥0
1 − (1 − γ ) x. y

YP ( x, y ) = min(1, P x P + y P } , p > 0

Bảng 2.1 : Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn.
1.2.5. Phép kéo theo
Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định,
phép kéo theo lS(x,y) hay x→y được xác định trên khoảng [0,1] 2 được định
nghĩa bằng biểu thức sau đây:
lS(x,y) = S(T(x,y),n(x))

29

Bảng 1.2 dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử
dụng nhất.
STT

Tên

Biểu thức xác định

1

Early Zadeh

x→y = max(1-x,min(x,y))

2

Lukasiewicz

x→y = min(1,1- x+y)

3

Mandani

4

Larsen

x→y = min(x,y)
x→y = x.y

{

x≤ y

Standard Strict

if
x→y = 1
0 other

Godel

if
x→y = 1y
other

7

Gaines


x→y = 1y
 x

8

Kleene – Dienes

5
6

9

{

x≤ y

if x≤ y
other

x→y = max(1 –x,y)

Kleene – Dienes –

x→y = 1- x + y

Lukasiwicz

10

Yager

x→y = yx

Bảng 2.2. Một số phép kéo theo mờ thông dụng
2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ
2.1. Quan hệ mờ
2.1.1. Khái niệm về quan hệ rõ
Định nghĩa 7: Cho X ≠∅, Y≠∅, R⊂ X × Y là một quan hệ ( quan
hệ nhị nguyên rõ), khi đó
1 if(x,y) (x,y) ∈ R (⇔ xRy)

R(x,y) =
0 if (x,y)∉R y)(⇔ ¬xR

30

Khi X= Y thì R ⊂ X × Y là quan hệ trên X
Quan hệ R trên X được gọi là:
-

Phản xạ nếu: R(x,x) = 1 với ∀x∈ X

-

Đối xứng nếu: R(x,y) = R(y,x) với ∀x, y∈ X

-

Bắc cầu nếu: (xRy)∧(yRz) ⇒(xRz) với ∀x,y,z ∈X

Định nghĩa 8: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị
nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
2.1.2. Các quan hệ mờ
Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn ( suy luận
xấp xỉ) mờ. Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ
đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con
người. Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logic mờ mở rộng được nghiên cứu và phát triển
mạnh mẽ. Tuy nhiên chính logĩ mờ mở rộng từ logic đa trị, do đó nảy sinh ra
rất nhiều các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các toán tử T-chuẩn, T-đối
chuẩn, cũng như các phương pháp mờ hoá, khử mờ khác nhau,…Sự đa dạng
này đòi hỏi người ứng dụng phải tìm hiểu để lựa chọn phương pháp thích hợp
nhất cho ứng dụng của mình.
Định nghĩa 9: Cho U ≠ ∅ ; V ≠ ∅; R là một tập mờ trên U ×V gọi là
một quan hệ mờ( quan hệ hai ngôi).
0 ≤ R (x,y) = µ R(x,y) ≤ 1
Tổng quát: R⊂U1×U2×……..×Un là quan hệ n ngôi
0≤ R(u1, u2,……un) = µR(u1, u2,…..un)≤ 1
2.1.3. Các phép toán của quan hệ mờ
Định nghĩa 10: Cho R là quan hệ mờ trên X×Y, S là quan hệ mờ trên
Y×Z, lập phép hợp thành SoR là quan hệ mờ trên X×Z
31

Có R(x,y) với (x,y)∈ X×Y, S(y,z) với (y,z)∈Y×Z. Định nghĩa phép hợp
thành:
Phép hợp thành max – min xác định bởi:
Sup
y∈Y (min(R(x,y),S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z

(S ° R)(x,z) =

Phép hợp thành max – prod xác định bởi:
Sup

(S° R)(x,z) = y∈Y (min(R(x,y) × S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z
Phép hợp thành max – T ( với T là T - chuẩn) xác định bởi:
Sup

(S° TR)(x,z) = y∈Y (T(R(x,y) , S(y,z))) ∀(x,z)∈X×Z
2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ
Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ - đó là quá trình suy ra
những kết luận dưới dạng các mệnh đề trong điều kiện các quy tắc , các luật,
các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định.
Trong giải tích toán học chúng ta sử dụng mô hình sau để lập luận:
Định lý: “Nếu một hàm số là khả vi thì nó liên tục”
Sự kiện: Hàm ƒ khả vi
Kết luận: Hàm ƒ là liên tục
Đây là dạng suy luận dựa vào luật logic cổ điển Modus Ponens.
Căn cứ vào mô hình này chúng ta sẽ diễn đạt cách suy luận trên dưới dạng sao
cho nó có thể suy rộng cho logic mờ.
Gọi Ω là không gian tất cả các hàm số, ví dụ Ω ={g:R→R}. A là các tập
các hàm khả vi, B là tập các hàm liên tục. Xét hai mệnh đề sau: P=’g∈A’ và Q
=’g∈B’. Khi đó ta có:
Luật (tri thức):

P⇒Q

32

Sự kiện:

P đúng (True)

Kết luận:

Q đúng (True)

Xét bài toán suy luận trong hệ mờ
Hệ mờ n biến vào x1, …..xn và một biến ra y
Cho Un, i= n..n là các không gian nền của các biến vào , V là không
gian nền của biến ra.
Hệ được xác định bởi m luật mờ”
R1: Nếu x1 là A11và x2 và ….xn là A1n thì y là B1
R2: Nếu x1 là A21 và x2 là A22 và…xn là A2n thì y là B2
............................................................................................
Rm: Nếu x1 là Am1 và x2 là Am2 và ……xn là Amn thì y là Bm
Thông tin đầu vào:
X1 là A01 và x2 là A02 và….x0n là A0n
Tính: y là B0
Trong đó biến mờ ji, i = 1, n, j = 1, m xác định trên không gian nền U, biến
mờ Bj, ( ( j = 1, n) xác định trên không gian nền V.
Để giải bài toán này chúng ta phải thực hiện qua các bước sau:
1. Xác định các tập mờ của các biến đầu vào.
2. Xác định độ liên thuộc tại các tập mờ tương ứng.
3. Xác định các quan hệ mờ R(A.B)(u,v).
4. Xác định phép hợp thành.
Tính B’ theo công thức: B’ = A’°R(A,B)(u,v).

33

3. Hệ mờ
Kiến trúc cơ bản của một hệ mờ gồm 4 thành phần chính: Bộ mờ
hoá, hệ luật mờ, động cơ suy diễn mờ và bộ giải mờ như hình 2.5 dưới đây

Hệ luật mờ
(Fuzzy Rule Base)
Đầu vào rõ

Các tập

mờ

Bộ mờ hoá
đầu vào

Các tập

Động cơ suy diễn mờ
(Fuzzy Interence Engine)

mờ

Bộ giải hoá
(Dauzzifier)

Đầu ra rõ

đầu vào

Hình 2.5 Cấu hình cơ bản của hệ mờ
Không làm mất tính tổng quát, ở đây ta chỉ xét hệ mờ nhiều đầu vào,
một đầu ra ánh xạ tập compact S ⊂ Rn vào R. Các thành phần của hệ mờ được
miêu tả như sau.
3.1. Bộ mờ hoá
Thực hiện việc ánh xạ từ không gian đầu vào S vào các tập mờ xác định
trong S được cho bởi hàm thuộc µ : S →[0,1]. Bộ phận này có chức năng chính
dùng để chuyển một giá trị rõ x ∈ X thành một giá trị mờ trong S ∈U (U là
không gian nền). Có hai phương pháp mờ hoá như sau:


Singleton fuzzifiter: Tập mờ A với x 1 và hàm liên

thuộc được định nghĩa như sau

µA(x) =

1 if x = xi
0 if x ≠ xi

34



No – Singleton fuzziffier: Với các hàm liên thuộc

nhận giá trị lớn nhất là 1 tạo x = x i và giảm dần từ 1 đến 0 với các
giá trị dịch chuyển x ≠ x1.
3.2. Hệ luật mờ
Gồm nhiều mệnh đề dạng:
IFTHENquả>
Giả sử hệ luật gồm M luật Rj (j= 1, M ) dạng
Rj: IF x1 is Ai and x2 is A2 and .....xn is Anj THEN y is Bj
Trong đó xi (i = 1, n ) là các biến đầu vào hệ mờ, y là biến đầu ra của hệ
j
mờ - các biến ngôn ngữ, A i là các tập mờ trong các tập đầu vào X và B j là

các tập mờ trong các tập đầu ra Y – các giá trị của biến ngôn ngữ (ví dụ: “Rất
nhớ”, “nhỏ”, “Trung bình”, “Lớn”, “Rất lớn”,)đặc trưng bởi các hàm thuộc

µ j
µ
A và B j . Khi đó R j là một quan hệ mờ từ các tập mờ đầu vào X = X1 ×
i
X2 ×......× Xn tới các tập mờ đầu ra Y.
3.3. Động cơ suy diễn
Đây là một bộ phận logic đưa ra quyết định sử dụng hệ mờ để
thực hiện ánh xạ từ các tập mờ trong không gian đầu vào X thành tập mờ trong
không gian đầu ra Y.
Khi Rj là một quan hệ mờ, thì Rj có thể là một tập con của tích

{





Decart X × Y = ( x , y ) : x ∈ X , y ∈ Y } , với

35



x = (x , x
1

2,

......, x n ) T . Vì vậy, quan hệ