Tải bản đầy đủ
5 Ổn định hóa các hệ điều khiển tuyến tính

5 Ổn định hóa các hệ điều khiển tuyến tính

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

được công bố. Phần này sẽ trình bày cơ sở của bài toán ổn định hóa của hệ
tuyến tính. Lý thuyết này là cầu nối giữa chương 1 và chương 2.
Xét hệ tuyến tính
x&= Ax + Bu, A ∈ R n×n , B ∈ R n×m

(2.48)
Định nghĩa 2.8: Hệ động lực tuyến tính (2.48) được gọi là ổn định hóa được
nếu tồn tại ma trận K là hằng số sao cho với luật điều khiển
u = Kx

(2.49)
Thì hệ (2.48) trở thành hệ
x&= ( A + BK ) x

(2.50)
là ổn định
Việc tìm ma trận K sao cho hệ

x&= ( A + BK ) x(t )

ổn định cũng không phải là bài

toán đơn giản .Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hệ tuyến tính dừng là ổn
định hóa
Định lý 2.3.[14] Hệ tuyến tính (2.48) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển
được về vị trí x=0 hoàn toàn.
Thí dụ 2.10 Xét hệ điều khiển tuyến tính
0 0 
A=
,
0 −2

SV: Hoàng Kim Đức
43

x&= Ax + Bu

với

0
B=  
1 

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
Ta nhận thấy rằng hệ

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

x&= Ax

là ổn định tuy nhiên hệ là không ổn định hóa được

do
0 0 
Rank [ B, AB ] = rank 
 =1< 2
1

2



=> hệ không điều khiển được=> không ổn

định hóa được.
Kết hợp giữa lý thuyết ổn định của hệ tuyến tính và định nghĩa (2.8) ta có định
lý sau:
Định lý 2.4. Cho hệ tuyến tính

x&= Ax + Bu + f ( t )
(2.51)

x&= Ax + Bu
(2.52)
Nếu tìm được điểu khiển

u = Kx

để cho hệ (2.52) ổn định thì hệ (2.51) cũng ổn

định với luật điều khiển đó.
Như vậy nếu luật điều khiển

u = Kx

đưa hệ (2.52) về trạng thái ổn định

x=0

thì nó cũng đưa hệ động lực (2.51) về trạng thái ổn định.

SV: Hoàng Kim Đức
44

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

CHƯƠNG 3
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC BẰNG BỘ
ĐIỀU KHIỂN LQR

3.1 Nguyên lý cực đại Pontryagin
3.1.1 Thiết lập bài toán
Xét một quá trình điều khiển được mô tả bằng hệ phương trình:

x&i = f i (x, u, t )
⇒ x&= f (x, u, t )

i = 1.....n

(3.1)
Trong đó x là véc tơ n chiều, u là véc tơ r chiều
Bài toán: Tìm điều khiển u để đối tượng được mô tả bằng hệ phương trình vi
phân (3.1) với điều kiện đầu:
x(t 0 ) = x 0
(3.2)
làm hàm Pontryagin
n

ρ = ∑ bi xi (t f ) = b T x(t f )
i =1

(3.3)
đạt cực đại tại tới điểm cuối

b = [ b1 , b2 , ... bm ] , x = [ x1 , x2 , ... xn ]
T

Với

tf

SV: Hoàng Kim Đức
45

T

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
Hàm

ρ

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

được gọi là hàm mục tiêu

Trong đó

x(t f ) = x f

(3.4)
Pontryagin đã đề xuất nguyên lý để giải bài toán đặt ra được gọi là nguyên lý
cực đại Pontryagin, thường được gọi tắt là nguyên lý tối ưu Pontryagin, hay
nguyên lý Pontryagin

3.1.2 Nguyên Lý
Nếu hàm u là điều khiển tối ưu, tức là đảm bảo phiếm hàm (3.3) cực tiểu (cực
đại) thì hàm Hamilon H:
n

H (x,u,p, t) = ( p,f ) ≡ ∑ pi f i
i =1

(3.5)
đạt cực đại (cực tiểu), trong đó biến liên hợp

pi ( j = 1...n)

cần thỏa mãn

phương trình liên hợp:
n

p&j = −∑ pi
i =1

∂fi
;
∂x j

( j = 1...n)

(3.6)
Với
p j (t f ) = -b j

(3.7)

SV: Hoàng Kim Đức
46

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang