Tải bản đầy đủ
4 Tiêu chuẩn ổn định các hệ cơ học

4 Tiêu chuẩn ổn định các hệ cơ học

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

0
E


x&(t ) = Ax(t ), A =  -1

-1
-M (K + N) -M (D + G) 

(2.33)
Sau khi so sánh các khả năng khác nhau của việc phân tích tính ổn định
của (2.32), có nghĩa là với sự giúp đỡ của các trị riêng và các hệ số đặc trưng
của phương trình Lyapunov. Kết luận là phương pháp cuối có nhiều lợi thế hơn
đối với các hệ cơ học. Khi áp dụng tiêu chuẩn trị riêng và tiêu chuẩn RouthHurwitz, cấu trúc đặc biệt của ma trận toàn hệ (2.33) không được áp dụng , có
nghĩa là không có sự nghiên cứu nào được đưa ra đối với ý nghĩa vât lý của ma
trận riêng biệt M,D,G,K,N. Ngược lại, nếu vấn đề ổn định (2.32) được giải
quyết nhờ phương trình ma trận Lyapunov, ta có thể đưa ra một sự giải thích
vât lý cho các điều kiện ổn định thông qua các ma trận riêng biệt này. Sự ảnh
hưởng của các lực khác nhau lên dáng điệu ổn định khi đó sẽ trở nên biết được.
Nếu các lực vị trí không đảm bảo toàn không xuất hiện trong (2.32) có
nghĩa là N=0, khi đó thông thường có thể đặc trưng dáng điệu ổn định của
(2.32) bằng hàm Hamilton
H=

1 T
1 K
y& My&+ y T Ky ) = x T 
(
2
2 0

0
x = x T Rx
M 

(2.34)
Đạo hàm theo thời gian của H dọc theo quỹ đạo cho:
0 0 
T
&= -y&T Dy = -x T 
H
 x = -x Sx
0
D



(2.35)
Các ma trận R và S vì thế được thỏa mãn phương trình Lyapunov (2.14)
khi N=0. Giờ đây người ta có thể áp dụng các định lý về tính ổn định theo
SV: Hoàng Kim Đức
37

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

phương trình ma trận Lyapunov mà không gặp một trở ngại nào. Sự phân biệt
giữa các hệ ổn định và ổn định tiệm cận với N=0 được thực hiện thông qua
nghiên cứu dáng điệu của hàm hao tán Rayleigh
R=

1 T
y& Dy&
2

(2.36)
Theo (2.24) với (2.35), (2.36). Nếu
y&≠ 0

D = DT > 0

gọi là bị cản hoàn toàn, tuy nhiên nếu

. Khi đó hàm Reyleigh với

D = DT ≥ 0

, có nghĩa là cản tác

động chỉ trong một vài tọa độ vị trí của hệ cơ học, khi đó (2.32) được gọi là tắt
dần lan tỏa nếu hàm Rayleigh không bị triệt tiêu một cách đồng nhất với mọi
quỹ đạo

y(t) ≡ 0

. Vì thế, theo (2.34) một hệ cơ học (2.32), với N=0 là tắt với

điều kiện quan sát được (2.25) thỏa mãn với
 0
A =  -1
 -M K


0 0 
,S = 


-M (D + G)
0 D 
E

-1

(2.42)
Tại điểm này, ta có thể thấy rỏ ràng rằng ưu thế trong việc lập tiêu chuẩn
ổn định tiệm cận có liên quan tới một ma trận nửa xác định dương S, với yêu
cầu phụ thêm (2.25) thay cho yêu cầu S>0. Thật vậy, với cách tiếp cận này, ta
có thể kiểm tra tính ổn định của hệ cơ học bằng các phương pháp của hàm
Hamilton (2.34) và hàm hao tán (2.36)
Các nghiên cứu tiếp có thể thiết lập các tiêu chuẩn đối với tính ổn định
của hệ dao động cơ học. Ở đây, phải tính đến việc là đối với các hệ dao động
cơ học thông thường ma trận quán tính luôn luôn xác định dương:

SV: Hoàng Kim Đức
38

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

M = MT > 0

(2.37)
Các hệ bảo toàn
Các hệ bảo toàn không chứa lực con quay
&
&(t ) + Ky (t ) = 0
My

(2.38)
là ổn định biên nếu và chỉ nếu ma trận độ cứng là xác định dương.
K = KT > 0

(2.39)
Nếu

K ≤0

hệ là không ổn định, các hệ bảo toàn có chứa lực con quay

&
&(t ) + Gy&(t ) + Ky (t ) = 0
My

(2.40)
mà thỏa mãn (2.39) là luôn thỏa mãn ổn định biên, độc lập với

G = -G T

, vì thế

các hệ ổn định tĩnh (2.40) vẫn là ổn định biên, mặc dầu chịu ảnh hưởng của lực
con quay. Mặt khác, các hệ không ổn định tĩnh (2.40) có thể được ổn định hóa
bằng lực còn quay nếu tác động các lực con quay phù hợp

( -Gy&)

và nếu có số

bậc tự do là f là chẵn và tác dụng của lực con quay đủ lớn
K < 0, det K > 0

det G > 0

(2.41)
Các hệ có cản
SV: Hoàng Kim Đức
39

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Xét một hệ có cản lan tỏa
&
&(t ) + ( D + G ) y&(t ) + Ky (t ) = 0
My

(2.42)
Với ma trận quán tính không suy biến (2.37) và ma trận cản nữa xác định
dương

D = DT ≥ 0

thỏa mãn điều kiện của tính quan sát được (2.24) với các ma

trận (2.36). Độc lập với ma trận con quay

G = -G T

, một hệ như vậy là ổn định

tiệm cận nếu ma trận độ cứng K là xác định đương
K = KT > 0

(2.43)
Một hệ (2.43) mà không là hệ có cản lan tỏa sẽ ổn đinh biên khi
D = DT ≥ 0, K = K T ≥ 0, K + (D - G)(D + G) > 0

(2.44)
Việc thử lại sự có mặt hay không có mặt của sự lan tỏa bằng phương pháp các
ma trận (2.42) sẽ có thể là điều vất vả và tẻ nhạt. Tuy nhiên, trong trường hợp
này có thể rút gọn điều kiện của tính quan sát được (2.24) và thay chỗ chúng
bằng một điều kiện của tính điều khiển được. Hệ (2.32) với N=0 là có lan tỏa
D = DT ≥ 0

nếu:

det K ≠ 0,
rank  B 0 , A 0B 0 , A 02B 0 ,..., A 02f -1B 0  = 2 f

(2.45)
Trong đó các ma trận
SV: Hoàng Kim Đức
40

A0



B0

xác định bởi
Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
 0
A 0 =  -1
-M K

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn


 0 
B0 =  −1 

-M G 
M D 
E

-1

,

(2.46)
Nếu G=0 thì (2.44) có thể viết như sau
det K ≠ 0,
rank M -1 D, ( M -1K ) M -1 D,..., ( M -1K )


2f -1

M -1D  = 2 f


(2.47)
Trong trường hợp ma trận độ cứng không suy biến, điều kiện (2.45) tương
ứng với (2.47) luôn thỏa mãn với các hệ có cản hoàn toàn, có nghĩa là
D = DT > 0

Đối với sự có cản hoàn toàn, định lý về ổn định tiệm cận đối với hệ (2.42) được
biết như là định lý của Thomson và Tait(1879)
Định lý về sự ổn định tiệm cận của các hệ có cản lan tỏa có tầm quan
trọng rất lớn đối với kỹ thuật. Vì trong thực tế , tất cả các hệ cơ học bị cản lan
tỏa, do có ma sát hay do cản vật liệu, một dáng điệu ổn định có thể xảy ra trong
trường hợp N=0 chỉ khi độ cứng ổn định (2.43) được đảm bảo. Vì thế, sự ổn
định hóa bằng lực con quay của một hệ bảo toàn có thể được áp dụng chỉ cho
các hệ dao động mà hoạt động của nó bị hạn chế trong một khoảng thời gian
nhỏ, vì thế trong thực tế luôn luôn tồn tại các lực cản mà tác động của nó
không gây hiệu ứng nào.
Thí dụ 2.8
Cho phương trình chuyển động của máy li tâm
&
&(t ) + (D + G)y&(t ) + (K + N)y (t ) = 0
My

SV: Hoàng Kim Đức
41

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Cho các giá trị của ma trận M, D, G, K như sau:
M = E, D = JE, G = gΩS, K = kE

Nếu

ϑ, k ≠ 0

khi đó

D > 0, det K ≠ 0

, chuyển động của máy li tâm là bị

cản hoàn toàn, vì vậy theo (2.43) hệ là ổn định tiệm cận khi
Đối với trường hợp tiệm cận
biên. Với

ϑ =0

ϑ > 0, k = 0

ϑ > 0, k > 0

, ta suy ra từ (2.44) hệ là ổn định

, ta có hệ bảo toàn có chứa lực con quay mà với k >0 hiển nhiên

có hệ ổn định biên. Với k=0 tathu được từ (2.44) một hệ ổn định biên với
gΩ ≠ 0

, do

2 2
-GG = gΩ
E>0

còn với

ϑ = 0, k < 0

ta có thể thu được về mặt lý

thuyết một chuẩn động ổn định biên như là một kết quả của sự ổn định hóa nhờ
lực con quay
Tuy nhiên, các kết quả trên cho thấy rằng sự ổn định hóa bằng con quay này sẽ
không đạt được khi độ cứng là không ổn định tĩnh (k<0) và lực cản
hiện

ϑ > 0, k < 0

ϑ >0

xuất

theo (2.44) thì hệ không ổn định.

2.5 Ổn định hóa các hệ điều khiển tuyến tính
Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán ổn
định hóa các hệ điều khiển, cũng được quan tâm và tìm được nhiều ứng dụng
trong thực tiễn. Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov người ta
tìm lời giải cho bài toán ổn dịnh hóa. Từ những kết quả đầu tiên về mối quan
hệ giữa tính ổn định và tính điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết
quả thú vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã
SV: Hoàng Kim Đức
42

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

được công bố. Phần này sẽ trình bày cơ sở của bài toán ổn định hóa của hệ
tuyến tính. Lý thuyết này là cầu nối giữa chương 1 và chương 2.
Xét hệ tuyến tính
x&= Ax + Bu, A ∈ R n×n , B ∈ R n×m

(2.48)
Định nghĩa 2.8: Hệ động lực tuyến tính (2.48) được gọi là ổn định hóa được
nếu tồn tại ma trận K là hằng số sao cho với luật điều khiển
u = Kx

(2.49)
Thì hệ (2.48) trở thành hệ
x&= ( A + BK ) x

(2.50)
là ổn định
Việc tìm ma trận K sao cho hệ

x&= ( A + BK ) x(t )

ổn định cũng không phải là bài

toán đơn giản .Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hệ tuyến tính dừng là ổn
định hóa
Định lý 2.3.[14] Hệ tuyến tính (2.48) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển
được về vị trí x=0 hoàn toàn.
Thí dụ 2.10 Xét hệ điều khiển tuyến tính
0 0 
A=
,
0 −2

SV: Hoàng Kim Đức
43

x&= Ax + Bu

với

0
B=  
1 

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang