Tải bản đầy đủ
2 Khảo sát ổn định của hệ động lực ôtônôm bằng phương pháp hàm Lyapunov

2 Khảo sát ổn định của hệ động lực ôtônôm bằng phương pháp hàm Lyapunov

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

mãn trong tất cả không gian trạng thái thì

V( x )

được gọi là hàm xác định dương

toàn cục.
Thí dụ 2.1

Hình 2.1 hệ lò xo phi tuyến-cản nhớt
Xét hệ khối lượng – cản phi tuyến – lò xo phi tuyến như hình. Phương trình
dao động của hệ là:
mx + bx x + k 0 x + k 1 x 3 = 0

bx x

Trong đó:

đặc trưng cho phần tử cản phi tuyến,

k 0 x + k1x 3

đặc trưng cho

phần tử lò xo phi tuyến.
Năng lượng của hệ là tổng động năng và thế năng:
V( x ) =

Ta thấy rằng

x

(

)

1
1
1
1
mx 2 + ∫ k 0 x + k 1 x 3 dx = mx 2 + k 0 x 2 + k 1 x 4
2
2
2
4
0

(2.6)

V(x) > 0, ∀x ≠ 0

Nên hàm năng lượng theo biểu thức (2.6) của hệ khối lượng – lò xo – cản là hàm
xác định dương toàn cục.
SV: Hoàng Kim Đức
21

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

2.2.2 Hàm Lyapunov
x

Giả sử là nghiệm của phương trình :
x = f ( x )

Một hàm vô hướng

V( x )

(2.7)

biểu diễn một hàm của

x = x( t )

. Giả sử

V( x )

là một

hàm khả vi và đạo hàm của nó theo thời gian xác định theo biểu thức:
 = dV ( x ) = ∂V x = ∂V f ( x )
V
dt
∂x
∂x

Ta thấy rằng do

x

(2.8)

phải thỏa mãn phương trình (2.7) nên

Đạo hàm được tính như thế được gọi là đạo hàm của

Định nghĩa 2.6. (định nghĩa hàm Lyapunov) hàm

V

V( x )


V

chỉ phụ thuộc vào

x

.

dọc theo quỹ đạo của hệ.

là xác định dương có các

đạo hàm riêng liên tục và đạo hàm của nó theo thời gian dọc theo một quỹ đạo
trạng thái của hệ (2.7) là xác định âm:

& x) < 0
V(

thì hàm

V( x )

được gọi là hàm

Lyapunov của hệ (2.1).
2.2.3 Sự ổn định của hệ động lực ôtônôm theo hàm Lyapunov
Định lý 2.1. (định lý về sự ổn định theo hàm Lyapunov).Nếu tìm được hàm
Lyapunov và đạo hàm của nó xác định dựa vào hệ phương trình (2.1) thì vị trí
cân bằng của nó là ổn định tiệm cận.
Thí dụ 2.2. Cho hệ động lực mô tả bởi mô hình toán học

SV: Hoàng Kim Đức
22

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

 −4 x1 + 2 x2
 u1

 −4 2 0   x1  1 0 
u1  
dx 







=  −2 −5 1   x2  + 1 2    =  −2 x1 − 5 x2 + x3  + u1 + 2u2 
u
dt
 u2

 0 −1 −2   x3  0 1   2   − x2 − 2 x3

Ta xét hàm khả vi xác định dương
V ( x) = x12 + x22 + x32

Cùng với quỹ đạo x(t) của quá trình tự do của hệ

( u1 = u2 = 0 )

ta có

 −4 x1 + 2 x2

dV ( x ) ∂V

÷
&
V=
=
x&= ( 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 )  −2 x1 − 5 x2 + x3 ÷ = −8 x12 − 10 x22 − 4 x32 < 0
dt
∂x
 −x − 2x
÷
3
 2


Với mọi véc tơ

x≠0

hàm

dV ( x )
dt

xác định âm bởi vậy hệ là ổn định theo định lý

2.1
2.3. Ổn định của các hệ tuyến tính
Xét hệ động lực tuyến tính có dạng:
x&(t ) = Ax (t ), t ≥ 0,

(2.9)
Trong đó A là ma trận hằng cỡ
thái ban đầu

x(t0 )

n×n

. Nghiệm của hệ (2.8) xuất phát từ trạng

cho bởi công thức

x (t ) = x 0 e A ( t − t 0 )

(2.10)
SV: Hoàng Kim Đức
23

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Định lý 2.2. (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov).
Hệ (2.9) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các trị riêng của ma
trận A là âm, tức là
Re λi < 0, ∀ λi ∈ λ ( A)

Thí dụ 2.3 Xét tính ổn định của hệ:
 x&1 = − x1

 x&2 = −2 x2

Ta thấy

 −1 0 
A=

 0 −2

có các giá trị riêng là

λ = −1. − 2

đều âm nên hệ là ổn

định tiệm cận
2.3.1 Các tiêu chuẩn ổn định dựa trên phương trình đặc trưng của ma trận
A
Như trong trình bày ở mục trước vấn đề được đặt ra là xác định được sự
phân bố các trị riêng của ma trận toàn hệ A. các trị riêng này lần lượt được xác
định duy nhất như là các nghiệm của đa thức đặc trưng
f ( z ) = a0 + a1λ + a2 λ 2 ... + an λ n

(2.11)
2.3.1.1 Tiêu chuẩn Routh
Giả sử đa thức đặc trưng của ma trận A ở phương trình (2.9) đã cho có
dạng như (2.11)
f ( z ) = a0 + a1λ + a2λ 2 ... + an λ n

SV: Hoàng Kim Đức
24

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Bài toán xác định sự phân bố của nghiệm
mà không phải giải phương trình

f ( z)

f ( z)

trong mặt phẳng phức

=0 được nêu lên lần đầu tiên bởi

Maxwell. Từ đó dấy lên một trong trào tìm lời giải cho một bài toán với hàng
loạt các kết quả có tính kế thừa lẫn nhau xuất hiện vào nữa cuối thế kỷ 19 và
kết thúc ở điểm đỉnh bằng hai định lý của Routh và Hurwitz cho trường hợp
nghiệm được phân bố về nữa trái mặt phẳng phức của bài toán Maxwell. Đây là
định lý được xây dựng dựa trên hàng loại các kết luận đi trước.
Phát biểu của tiêu chuẩn Routh như sau:
Điều kiện cần và đủ cho hệ ổn định tiệm cận là tất cả các hệ số

Ri

đều dương

Ri > 0, i = 1...n
a0

a2

a4

a6

=
R2 = c21 = a2 − r2 a3

a3

a5

a7

c22 = a4 − r2 a5

c23 = a6 − r2 a7



R3 = c31 = a3 − r3c22

c32 = a5 − r3c23







….

R j = c j1

c jk = c j −2, k +1 − rj c j +1,k +1








Rn = cn1 = an










R1

r2 =

1
R1

r3 =

R1
R2


rj =

R j −2

=1
a1




R j −1


R
rn = n− 2
Rn −1

Hai hàng đầu tiên có các hệ số từ các hệ số của đa thức đặc trưng. Các
đại lượng khác từ sơ đồ này được tính theo từng hàng một, sao cho các phần tử
SV: Hoàng Kim Đức
Lớp: KSTN-CĐT-K55
Trang
25

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

của hàng thứ j được thu từ các phần tử của hàng thứ (j-1) và thứ (j-2) trong cột
kế bên phải bằng công thức truy hồi thông qua các đại lượng bổ trợ
tính toán này kết thúc tại dòng thứ j nếu
Rn −1 = cn −1

, vì

Rn = cn −1 = an

R j = c j1 = 0

ri

. Sơ đồ

hoạc nó tiếp tục tới

. Để chứng minh tính ổn định tiệm cận, ta có thể

dừng lại ngay khi đại được giá trị âm của

R j = c j1

Thí dụ 2.4 Xét hệ cơ học có đa thức đặc trưng cho dưới dạng hàm sau
f (λ ) = 5 + 16λ + 18λ 2 + 8λ 3 + λ 4

Bảng Routh được lập có dạng
1
R1
1 1
r2 = =
R1 8

18
16

5
0

= 8
R2 = c21 = a2 − r2 a3

c22 = a4 − r2 a5

c23 = 0

1
R2 = c21 = 18 − 16 = 16
8

1
c22 = 5 − .0 = 5
8

r3 =

R1 8 1
= =
R2 16 2

R3 = c31 = a3 − r3c22

c32 = a5 − r3c23

1
R3 = c31 = 16 − .5 = 18.5
2

c32 = 0 − 0 = 0

r4 =

R2
16
32
=
=
R3 18.5 37

R4 = c41 = a4 − r4 c33

0

0

r5 =

R3 18.5
=
= 3.7
R4
5

R5 = c51 = a5 − r5c44

0

0

0

R4 = c41 = 5 − 0 = 5

R5 = c51 = 0 − 0 = 0

Ta thấy các hệ số ở cột thứ 2 đều dương. Vậy hệ là ổn định tiệm cận

SV: Hoàng Kim Đức
26

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Đối lập với Routh, Hurwitz đưa ra một giải pháp khác về ổn định
2.3.1.2 Tiêu chuẩn Hurwitz
Giả sử đa thức đặc trưng của ma trận A ở phương trình (2.9) đã cho có
dạng như (2.11)
f ( z ) = a0 + a1λ + a2 λ 2 ... + an λ n

Điều kiện cần và đủ cho hệ động lực (2.9) ổn định tiềm cận là tất cả các định
thức Hurwitz

Hj

 a1
a
 3
H =  a5

 ...
 0

đều dương
1
a2
a4
...
...

0 0
a1 1
a3 a2
... ...
... ...

0 0 ... 0 
0 0 ... 0 
a1 1 ... 0 

... ... ... ... 
... 0 ... an 

Trong đó
a 1 
H 2 = det  1
 = a1a2 − a3
 a3 a2 
 a1 1 0 
H 3 = det  a3 a2 a1  = a3 H 2 − a1 ( a1a4 − a5 )


 a5 a4 a3 
...
H1 = a1 ,

H n = an H n −1

………
Hai cột đầu của ma trận Hurwitz được tạo từ các hệ số của đa thức đặc
trưng. Các cột tiếp theo được tao ra thèo nguyên tắc: cột thứ k thu được từ cột
thứ (k-2) bằng việc hạ tất cả các phần tử xuống một dòng và điền vào chổ trống

SV: Hoàng Kim Đức
27

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

phần tử 0. Nếu các định thức Hurwitz không triệt tiêu, mối quan hệ giữa tiêu
chuẩn Routh và tiêu chuẩn Hurwitz được cho bởi
Ri =

Hi
, H 0 = 1, i = 1...n
H i −1

Thí dụ 2.5 Xét hệ cơ học có đa thức đặc tính được mô tả bởi hàm sau:
f (λ ) = 0.5 + λ + 2λ 2 + 3λ 3

Đa thức này có
 1 3 0
H = 0.5 2 0 
 0 1 3
 1 3
⇒ H1 = 1, H 2 = det 
 = 0.5, H 3 = 3H 2 = 1.5
0.5 2

Suy ra tất cả các nghiệm của đa thức đều nằm bên trái trục ảo, vậy hệ
động lực đã cho là ổn định
2.3.1.3Tiêu chuẩn Lienard-Chipart
Thực chất của tiêu chuẩn Lienard-Chipart là một hệ quả của tiêu chuẩn
Hurwitz. Nó giúp cho người sử dụng giảm bớt được số lượng các định thức
Di = det( H i ), i = 1, 2,..., n

phải tính khi kiểm tra tính ổn định của hệ thống.

Điều kiện cần và đủ cho hệ ổn định tiệm cận là điều kiện
an > 0, H n −1 > 0, an −2 > 0, H n −3 > 0, ... , H1 = a1 > 0

(2.12)
Sử dụng tiêu chuẩn này chỉ cần tính toán một số định thức Hurwitz mà thôi
Thí dụ 2.6 Xét hệ cơ học có đa thức đặc trưng mô tả bởi hàm:
SV: Hoàng Kim Đức
28

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

f (λ ) = 4 + k λ + (k + 3)λ 2 + λ 3

Ta có điều kiện để cho hệ ổn định tiệm cận là


k > 0
 H1 = a1 = k > 0


⇒   k < −4 ⇒ k > 1
( k + 3) > 0

k > 1
k
1 

 H 2 = det 
= k (k + 4) − 4 > 0 



 4 k + 3

Đối với hệ các hệ bậc thấp hơn , thì khi đó n bất đẳng thức của tiêu chuẩn
Routh cũng như n bất đẳng thức của tiêu chuẩn Hurwitz hay tiêu chuẩn
Lienard-Chipart đều có thể sử dụng thuận tiện cho việc thiết lập sự phụ thuộc
giải tích của vùng ổn định từ các tham số của hệ. Đối với hệ bậc cao hơn nói
chung. Ta gặp các khó khăn về tính toán số. Điêu này có thể tránh được nếu lập
phương trình tiều chuẩn ổn đinh bằng phương pháp bên trong của Jury. Các
định nghĩa “bên trong” , tiêu chuẩn ổn định tương ứng và các thuật toán để tính
toán chúng được trình bày trong quyển sách của Jury.
2.3.2 Tiêu chuẩn ổn định theo phương trình ma trận Lyapunov
Xét hệ tuyến tính thuần nhất:
x&= Ax, x(0) = x 0

(2.13)
Việc phân bố các trị riêng của ma trận A có thể được đặc trưng không

chỉ bằng các hệ số đặc trưng

ai ( i = 1, 2,..., n )

mà còn bằng tính chất các nghiệm

phương trình ma trận Lyapunov đại số
A T R + RA = −S

(2.14)
SV: Hoàng Kim Đức
29

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Trong đó R là ma trận hằng cần tìm, S là ma trận bán xác định dương ta tự
chọn, A là ma trận trong phương trình (2.13)
Theo định nghĩa chuẩn của véc tơ
x(t )

2
R

x

được định nghĩa bởi công thức

= x T (t )Rx(t ), R = R T > 0

(2.15)
Nếu hệ (2.13) là ổn định, khi đó sẽ tồn tại một ma trận R đối xứng, xác định
dương để:
x(t )

2
R

<ε2

(2.16)
Nếu tại thời điểm đầu thõa mãn điều kiện
x0

2
R

< δ 2 = δ 2 (ε )

(2.17)
x(t )

Xét sự biến thiên theo thời gian t của
d
x(t )
dt

2
R

2
R

dọc theo một quỹ đạo ta có

= x&T (t ) Rx(t ) + x T (t ) Rx&(t )

(2.18)
Ta lại có
x&= Ax,

⇒ x&T = AT xT ,

(2.19)
Thay (2.19) vào (2.18) ta được

SV: Hoàng Kim Đức
30

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
d
x(t )
dt

2
R

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

= xT (t ) ( A T R + RA ) x(t )

(2.20)
Nếu có thể tìm được R sao cho đạo hàm theo thời gian của (2.20) là không
dương tại mọi thơi điểm
d
x (t )
dt

2
R

t>0

≤0

(2.21)
khi đó, lấy

δ =ε

, theo (2.17) ta sẽ có (2.16). Có nghĩa là hệ (2.13) ổn định

Nên điều kiện (2.21) được thõa mãn, thay (2.14) vào (2.20) ta được
d
x(t )
dt

2
R

= -xT (t )Sx(t ), S = S T > 0

(2.22)
Từ (2.20) và (2.22) ta suy ra hệ thức
x T (t ) ( A T R + RA ) x(t ) = −x T (t )Sx(t )

(2.23)
Do (2.23) phải thõa mãn với mọi quỹ đạo x(t) của (2.13), ta suy ra rằng
(2.23) cũng phải được thõa mãn với các ma trận, vậy phương trình Lyapunov
được tìm ra một cách chính xác. Nếu như tồn tại một ma trận xác định dương
đối xứng

R = RT > 0

dương đối xứng
thõa mãn với

của phương trình (2.14) ứng với mỗi ma trận bán xác định

S = ST > 0

δ =ε

thì khi đó các phương trình ổn định (2.16), (2.17)

điều đó có nghĩa là hệ động lực tuyến tính (2.13) ổn định.

SV: Hoàng Kim Đức
31

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang