Tải bản đầy đủ
4 Thí dụ áp dụng

4 Thí dụ áp dụng

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
q1 '' = −
q2 '' =

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

c1 + c2
c
u (s)
q1 + 2 2 q2 + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

c2
c +c
u (s )
q − 1 22 q2 + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.14)
Ta chọn véc tơ trạng thái có dạng

x T = [ q1 ( s ),q 2 ( s ), q1 '( s ), q2 '( s ) ]

T

Khi đó ta có hệ phương trình không gian trạng thái của hệ như sau
x1' ( s) = x3 ( s)
x2' ( s) = x4 ( s)
x3' ( s) = −

c1 + c2
c
u ( s)
x1 ( s) + 2 2 x2 ( s) + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

x4' ( s) = q2 '' =

c2
c +c
u (s)
x ( s ) − 1 22 x2 ( s ) + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.15)

Đặt các ký hiệu không thứ nguyên
k11 = −
k21 =

c1 + c2
,
m1ω 2

k12 =

c2
,
m2ω 2

c2
m1ω 2

k22 = −

c1 + c2
m2ω 2

Từ (1.15) suy ra phương trình trạng thái của hệ viết dưới dạng ma trận
 x1' ( s)   0
 '  
 x2 ( s )  =  0
 x3' ( s)   k11
 '  
 x4 ( s )   k21

0
0
k12
k22

1 0   x1 ( s )   0 
0 1   x2 ( s )   0 
+
0 0   x3 ( s )   b1u1 ( s ) 

 

0 0   x4 ( s )  b2u2 ( s ) 

(1.16)
SV: Hoàng Kim Đức
13

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
b1 =

Trong đó

1
,
m1ω 2

b2 =

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

1
m1ω 2

Phương trình đo của hệ dao động trên hình 1.1 có dạng

 y1 ( s )   c11 c12
 y (s )  = c
 2   21 c22

c13
c23

 x1 ( s ) 
c14   x2 (s ) 
c24   x3 ( s ) 


 x4 (s ) 

(1.17)
Dạng của ma trận C phụ thuộc vào các đại lượng cần đo.
Nếu các đại lượng cần đo là dịch chuyển tuyệt đối
0
c
C =  11
 0 c22

q1 ( s), q2 ( s )

thì

0 0 1 0 0 0
0 0  0 1 0 0 
=

Từ các phương trình trạng thái (1.16) và phương trình đo (1.17) ta suy ra dạng
của ma trận A và ma trận đo C như sau
0
A=
K

Trong đó

E

E
;
0 

C = [ C1

C2 ]

là ma trận đơn vị cấp hai,

K,C1 ,C2

là các ma trận vuông cấp hai.

Trong bài toán này A la ma trận vuông cấp bốn (n=4). Do dó ma trận

Q0

theo

tiêu chuẩn Kalman 2 có dạng

SV: Hoàng Kim Đức
14

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

C 
CA 

Q0 = 
CA 2 


3
CA 

Ở đây
C = [ C1

C2 ]

0 E 
C2 ] 
 = [ C2 K C1 ]
K
0


0 E 
CA 2 = CAA = [ C2 K C1 ] 
 = [ C 1K C 2 K ]
K
0


0 E 
2
CA 3 = CA 2 A = [ C1K C 2K ] 
 = C2K C1K 
K
0


CA = [ C1

Do đó ma trận

Q0

C1
C K
2
Q0 = 
C1K

2
C2 K

có dạng
C2 
C1 
C2K 

C1K 

Với phương án đo là dịch chuyển tuyệt đối
C2

q1 ( s ), q2 ( s )

thì các ma trận

C1



có dạng
C1 = E
C2 = 0

Từ đó ma trận

Q0

có dạng khá đơn giản

SV: Hoàng Kim Đức
15

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
1
0

E 0  0
0 E  
 = 0
Q0 = 
 K 0   k11

 
 0 K   k21
0

 0

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

0
1
0

0
0
1

0
k12
k22

0
0
0

0
0

k11
k21






1 
0 

0 
k12 

k22 
0
0
0

Dễ dàng tính được hạng của ma trận

Q0

RankQ 0 = 4 = n

Do vậy theo tiêu chuẩn Kalman 2 thì hệ dao động khảo sát là một hệ quan sát
được hoàn toàn.
Để khảo sát tính điều khiển được hoàn toàn của hệ ta viết lại phương trình
(1.16) dưới dạng:
dx
= Ax + Bu
ds

Trong đó
0 
B =  ,
B1 

Ma trận

Qc

0 0 
0=
,
0 0 

b
B1 =  3
0

0
,
b4 

 u ( s) 
u= 1 
 u2 ( s ) 

theo tiêu chuẩn Kalman có dạng

Qc = B

AB A 2 B A 3 B 

Trong đó

SV: Hoàng Kim Đức
16

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

0 
B= 
 B1 
 0 E   0   B1 
AB = 
  =  
 K 0   B1   0 
 0 E   B1   0 
A 2B = A(AB) = 
  = 

 K 0   0   KB1 
 0 E   0   KB1 
A 3B = A(A 2B) = 

=

 K 0   KB1   0 

Từ đó tính được
0
Qc = 
 B1
0
0
Qc = 
b3

0

B1

0

0

KB1

0
0
0
b4

b3
0
0
0

0
b4
0
0

KB1 
0 
0
0
k11b3
k21b3

0
0
k12b4
k22b4

k11b3
k21b3
0
0

k12b4 
k22b4 
0 

0 

Để xác định hạng của ma trận này ta tính định thức con sau
0
0
det 
b3

0

0
0
0
b4

b3 0 
0 b4 
= b32b42 ≠ 0
0 0

0 0

Suy ra hạng của ma trận

Qc

là 4

Do đó theo tiêu chuẩn Kalman 1 hệ dao động khảo sát là điều khiển được hoàn
toàn.

SV: Hoàng Kim Đức
17

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

CHƯƠNG 2
ỔN ĐỊNH CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH
Bài toán về ổn định chuyển động đặc biệt là ổn định tiệm cận đóng vai trò
rất quan trọng trong việc khảo sát chuyển động của cơ hệ. Các lý thuyết về ổn
định được áp dụng nhiều trong thực tế, đặc biệt là các hệ dao động. Trong
chương này trình bày một cách tóm tắt về lý thuyết ổn định, các tiêu chuẩn ổn
định và ổn định hóa của các hệ đông lực tuyến tính hệ số hằng số.
2.1 Định nghĩa ổn định
2.1.1 Ổn định của hệ ôtônôm
Khảo sát hệ động lực ôtônôm có phương trình trạng thái:
x&= f (x), x ∈ R n , f ∈ R n

(2.1)
Định nghĩa 2.1 .Với giả thiết hệ có vị trí cân bằng cô lập
phương trình
ε >0

f ( x* ) = 0

. Vị trí của điểm cân bằng

bé tùy ý có thể tìm được

δ (ε) >0

x*

x*

được xác định từ

gọi là ổn định nếu với số

sao cho :

x(t0 ) − x* ≤ δ ( ε ) → x(t) − x* ≤ ε , ∀t>t 0

(2.2)
Định nghĩa 2.2.Vị trí cân bằng
Vị trí cân bằng

x*

x*

gọi là ổn định tiệm cận nếu:

là ổn định và

SV: Hoàng Kim Đức
18

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

lim x(t ) − x(t0 ) → 0
t →∞

(2.3)
Không mất tính tổng quát ta có thể chọn

x*

=0 (bằng cách chuyển gốc tọa độ).

Nói cách khác, ta khảo sát ổn định lân cận gốc tọa độ
2.1.2 Ổn định của hệ phi ôtônôm
Khảo sát hệ động lực phi ôtônôm có phương trình trạng thái:
x&= f ( x, t ),

x(t 0 ) = x 0

(2.2)
Như trong lý thuyết phương trình vi phân ta đã biết nghiệm của hệ phương
trình vi phân
x&= f ( x, t ),

x(t 0 ) = x 0

(2.3)
phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu, khi t thay đổi liên tục trên đoạn

[ a, b ]

, nếu

vế phải thỏa mãi các điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm. Ở đây ta sẽ
nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm phương trình vi phân (2.3) vào các điều
kiện đầu khi t thay đổi trong khoảng vô hạn
Định nghĩa 2.3. Nghiệm

*

= (t )

[ t0 , +∞ ]

của hệ phương trình vi phân (2.3) gọi là ổn

định theo nghĩa Lyapunov nếu như với số

SV: Hoàng Kim Đức
19

ε >0

bé tùy ý có thể tìm được

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang