Tải bản đầy đủ
3 Các tiêu chuẩn về tính quan sát được của hệ động lực tuyến tính

3 Các tiêu chuẩn về tính quan sát được của hệ động lực tuyến tính

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

 C 

÷
CA ÷

RankQ 0 = Rank
=n
 M ÷

n-1 ÷
 CA 

(1.9)
Thí dụ 1.4: Cho hệ động lực mô tả bởi phương trình

0
 dx 
 dt =  1

0



y =  1


0


1 2
 0 1
÷ 
÷
0 −4 ÷x +  1 2 ÷u
 −1 1 ÷
1 −3 ÷



0 −1
÷x
1 1

Sử dụng tiêu chuẩn Kalman2 để kiểm tra tính quan sát được ta có
 1 0 −1
C=
÷
0 1 1 
0 1 2 
 1 0 −1 
÷  0 −1 1 
CA = 
÷ 1 0 −4 ÷ = 
÷
 0 1 1   0 1 −3 ÷  1 1 −7 


0 1 2 
 0 −1 1  
÷  −1 1 1 
2
CA = 
1
0

4
÷
÷

÷= 
 1 1 −7   0 1 −3 ÷  1 −7 15 



Do đó
 1

 0
 C 
0

÷
Rank  CA ÷ = rank 
1
 CA 2 ÷


 −1

1

SV: Hoàng Kim Đức
10

0 −1 
÷
1 1 ÷
−1 1 ÷
÷= 3
1 −7 ÷
1 1÷
÷
−7 15 ÷


Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Do vậy hệ là quan sát được
Định lí 1.4 (Tiêu chuẩn Hautus2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả
bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m ,x ∈ R n x(0)= 0

(1.10)
y (t ) = Cx(t )

(1.11)
là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi mọi vectơ riêng

vi

của ma trận A

không trực giao với tất cả các vectơ hàng của ma trận đo C

(A

T

− λi E ) v i = 0 ⇒ Cv i ≠ 0 (i = 1, 2,..., n)

(1.12)
Thí dụ 1.5: Xét tính quan sát được của hệ động lực có mô hình toán sau
dx  0 −1  x1  1 
=
+
u = Ax + Bu
dt  −3 2   x2  3

Trước hết ta xác định các trị riêng của ma trận chuyển vị
A − λE =

−λ

−1

−3 2 − λ

AT

= λ 2 − 2λ + 3 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 3

Các véc tơ riêng được xác định bởi phương trình
1
1

1 

 −3

( A − λi E ) vi = 0 ⇒ v1 =   , v 2 = 

SV: Hoàng Kim Đức
11

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

Từ hệ thức

1
Cv1 = [ 1 0]   ≠ 0
1

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn



1 
Cv 2 = [ 1 0]   ≠ 0
 −3

Vậy hệ là quan sát được hoàn toàn.
1.4 Thí dụ áp dụng
Xét mô hình dao động hai bậc tự do như trên hình 1.1. Trong đó

u1 , u2



các kích động ngoài. Thiết lập phương trình trạng thái, phương trình đo của hệ
để khảo sát tính quan sát được và điều khiển được của hệ.
Dễ dàng có được phương trình vi phân dao động của hệ nhờ định lý
Lagrange II

&
m1q&
1 + c1q1 − c2 ( q2 − q1 ) = u1
&
m2 q&
2 + c2 ( q2 − q1 ) + c3 q2 = u 2
(1.13)

Hình 1.1: Mô hình dao động hai bậc tự do

Đưa vào biến mới

s = ωt

( )'=
và ký hiệu

d
ds

. Đối với biến s hệ phương

trình vi phân (1.13) có dạng

SV: Hoàng Kim Đức
12

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
q1 '' = −
q2 '' =

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

c1 + c2
c
u (s)
q1 + 2 2 q2 + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

c2
c +c
u (s )
q − 1 22 q2 + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.14)
Ta chọn véc tơ trạng thái có dạng

x T = [ q1 ( s ),q 2 ( s ), q1 '( s ), q2 '( s ) ]

T

Khi đó ta có hệ phương trình không gian trạng thái của hệ như sau
x1' ( s) = x3 ( s)
x2' ( s) = x4 ( s)
x3' ( s) = −

c1 + c2
c
u ( s)
x1 ( s) + 2 2 x2 ( s) + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

x4' ( s) = q2 '' =

c2
c +c
u (s)
x ( s ) − 1 22 x2 ( s ) + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.15)

Đặt các ký hiệu không thứ nguyên
k11 = −
k21 =

c1 + c2
,
m1ω 2

k12 =

c2
,
m2ω 2

c2
m1ω 2

k22 = −

c1 + c2
m2ω 2

Từ (1.15) suy ra phương trình trạng thái của hệ viết dưới dạng ma trận
 x1' ( s)   0
 '  
 x2 ( s )  =  0
 x3' ( s)   k11
 '  
 x4 ( s )   k21

0
0
k12
k22

1 0   x1 ( s )   0 
0 1   x2 ( s )   0 
+
0 0   x3 ( s )   b1u1 ( s ) 

 

0 0   x4 ( s )  b2u2 ( s ) 

(1.16)
SV: Hoàng Kim Đức
13

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang