Tải bản đầy đủ
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CON LẮC NGƯỢC DÙNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CON LẮC NGƯỢC DÙNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Động năng của con lắc
1 2 1 2 1
1
2
mvc + Iϕ& = m ( lcϕ&) + Iϕ&2
2
2
2
2
1
= ( mlc2 + I ) ϕ&2
2

T=

Thế năng của con lắc
Π = mglc cos ϕ
Cản nhớt của con lắc được xác định bởi hàm hao tán
Φ=

1 2
cϕ&
2

Tính các đạo hàm
∂T
= ( mlc2 + I ) ϕ&;
∂ϕ&

d  ∂T 
&
= ( mlc2 + I ) ϕ&

÷
dt  ∂ϕ&

∂T
=0
∂ϕ

∂Π
= − mglc sin ϕ
∂ϕ

;

;

∂Φ
= cϕ&
∂ϕ&

Qϕ* = 0

Từ đó thay các đạo hàm tính được trên vào phương trình Lagrange loại II
d  ∂T  ∂T
∂Π ∂Φ
=−

+ Qi*

÷−
dt  ∂q&i  ∂qi
∂q1 ∂q&1

Ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ.

SV: Hoàng Kim Đức
75

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

( ml

2
c

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

&− mglc sin ϕ + cϕ&= 0
+ I ) ϕ&

(4.1)
Đưa về phương trình trạng thái
Đặt

x1 = ϕ ; x2 = ϕ&
(4.2)

Phương trình chuyển động của thanh được viết lại dạng sau
x&1 = x2
x&2 =

mglc
c
sin x1 − 2
x2
2
mlc + I
mlc + I

(4.3)
Hệ phương trình (4.3) là hệ phương trình mô tả dao động của con lăc trong
không gian trạng thái
Vị trí cân bằng của hệ được xác định bởi hệ phương trình
 x2 = 0

 x2 = 0
⇒
 mglc
 ml 2 + I sin x1 = 0  x1 = nπ
 c

( n = 0,1, 2...)

Như vậy ta cần nghiên cứu sự ổn định của con lắc tại hai vị trí cân bằng sau

1.
2.

x1 = 0, x2 = 0

( ϕ = 0,

ϕ&= 0 )

x1 = π , x2 = 0

(ϕ = π,

ϕ&= 0 )

a. Sự định của vị trí cân bằng thứ nhất

( ϕ = 0,

ϕ&= 0 )

Tuyến tính hóa phương trình (4.3) lân cận gốc tọa độ
SV: Hoàng Kim Đức
76

x1 = 0, x2 = 0

Lớp: KSTN-CĐT-K55

.
Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Phương trình (4.3) được viết lại dưới dạng sau
x&= f(x)

với

x = [ x1

x2 ]

T

 x2



f = mglc
c
 2
sin x1 − 2
x2 
mlc + I 
 mlc + I

Phương trình tuyến tính hóa có dạng
∂f
A=
∂x

x1 = 0, x2 = 0

Trong đó

 0
=  mglc
 2
 mlc + I

x&= Ax

c 
− 2
mlc + I 
1

Phương trình đặc trưng có dạng

Phương trình đặc trưng có dạng
−λ

1

A − λ E = mglc
mlc2 + I

hay

λ 2 + aλ − b = 0

a=

với



c
mlc2 + I
c

ml + I
2
c

Phương trình trên có hai nghiệm

SV: Hoàng Kim Đức
77

−λ

= λ2 +

> 0; b=

c
ml + I
2
c

λ−

mglc
=0
mlc2 + I

mglc
>0
mlc2 + I

Re λ1 < 0
− a ± a 2 + 4b
λ1,2 =

Re λ1 > 0
2

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

Do đó vị trí cân bằng

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

x1 = 0, x2 = 0

là không ổn định

b. Xét sự ổn định của vi trí cân bằng thứ hai

(ϕ =π,

Tuyến tính hóa phương trình (4.3) lân cận gốc tọa độ

x1 =π , x2 = 0

Trong đó

x1 = π , x2 = 0

.

x&= Ax

Phương trình tuyến tính hóa có dạng
∂f
A=
∂x

ϕ&= 0 )

0


=
c
 − mgl
 mlc2 + I


c 
− 2
mlc + I 
1

Phương trình đặc trưng có dạng
−λ
A − λE =
mgl
− 2 c
mlc + I

λ + aλ + b = 0

a=

2

Hay

với

1
c



mlc2 + I
c

ml + I
2
c

> 0; b=

λ1,2 =
Phương trình trên có hai nghiệm

−λ

= λ2 +

c
ml + I
2
c

λ+

mglc
=0
mlc2 + I

mglc
>0
mlc2 + I

Re λ1 < 0
−a ± a 2 − 4b

Re λ1 < 0
2

Phương trình đặc trưng có tất cả nghiệm đều có phần thực âm. Do đó vị trí cân
bằng

x1 = π , x2 = 0

là ổn định.

4.2. Điều khiển tối ưu hệ bằng bộ điều khiển LQR
Bài toán:

SV: Hoàng Kim Đức
78

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Khi gắn con lắc trên vào một xe đẩy với lực điều khiển theo phương
ngang, ta tìm điều kiện của lực điều khiển để vị trí cân bằng tại gốc tọa độ từ
không ổn định trở nên ổn định với điều kiện thêm lực vào là tối ưu về năng
lượng điều khiển.
4.2.1 Bài toán xác định vị trí cân bằng của con lắc

Hình 4.2
Hệ xe cần trục có dạng như trên hình 4.2
Các thông số của mô hình gồm
m0

: Khối lượng của xe

SV: Hoàng Kim Đức
79

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
m

l

I

: Khối lượng của thanh

: Chiều dài của thanh
: Mô men quán tính đối với tâm của thanh

ϕ

: Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thắng đứng

u (t )
lc

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

: Lực điều khiển

: là khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh
a. Thiết lập phương trình chuyển động

Tính động năng của hệ
T = T1 + T2
(4.4)
Trong đó
T1

là động năng của xe
T1 =

1
m0 x&2
2

(4.5)
T2

là động năng của thanh
T2 =

1 2 1 2
mvc + Iϕ&
2
2

(4.6)
SV: Hoàng Kim Đức
80

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

ở đây ta có

 xc = x + lc sin ϕ  x&c = x&+ ϕ&lc cos ϕ
⇒

y
=
l
cos
ϕ
 c c
 y&c = −ϕ&lc sin ϕ
⇒ vc2 = x&c2 + y&c2 = ϕ&2lc2 + x&2 + 2 x&
ϕ&lc cos ϕ
do đó
1
1
m ( ϕ&2lc2 + x&2 + 2 x&
ϕ&lc cos ϕ ) + Iϕ&2
2
2
1
1
= mx&2 + ( mlc2 + I ) ϕ&2 + mlc x&
ϕ&cos ϕ
2
2

T2 =

Từ đó ta có động năng của hệ

T = T1 + T2
=

1
1
( m0 + m ) x&2 + ( mlc2 + I ) ϕ&2 + mlc x&ϕ&cos ϕ
2
2

(4.7)
Thế năng của hệ
Π = mglc cos ϕ
(4.8)
Tính các đạo hàm
∂T
= ( m0 + m ) x&+ mlcϕ&cos ϕ
∂x&
∂T
= ( mlc2 + I ) ϕ&+ mlc x&cos ϕ
∂ϕ&

SV: Hoàng Kim Đức
81

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

d  ∂T 
&cos ϕ − mlcϕ&2 sin ϕ
x&+ mlcϕ&
 &÷ = ( m0 + m ) &
dt  ∂x 
∂T
&+ mlc &
= ( mlc2 + I ) ϕ&
x&cos ϕ − mlc x&
ϕ&sin ϕ
&
∂ϕ

∂T
= 0;
∂x

∂T
= − mlc x&ϕ&sin ϕ
∂ϕ

∂Π
= 0;
∂x

∂Π
= − mglc sin ϕ
∂ϕ

Qx* = u (t )
Qϕ*1 = 0

Từ đó thay các đạo hàm tính được trên vào phương trình Lagrange loại II
d  ∂T  ∂T
∂Π ∂Φ
=−

+ Qi*

÷−
dt  ∂q&i  ∂qi
∂q1 ∂q&1

Ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ

&= u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ
x&+ mlc cos ϕϕ&
( m0 + m ) &
&= mlc g sin ϕ
mlc cos ϕ &
x&+ ( mlc2 + I ) ϕ&

(4.9)
b. Biến đổi phương trình chuyển động về phương trình trạng thái

Đầu tiên ta xét hệ phương trình (4.9)

&= u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ
x&+ mlc cos ϕϕ&
( m0 + m ) &
&= mlc g sin ϕ
mlc cos ϕ &
x&+ ( mlc2 + I ) ϕ&

SV: Hoàng Kim Đức
82

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Giải hệ này ta có
∆=

m0 + m
mlc cos ϕ

mlc cos ϕ
= ( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos 2 ϕ
2
mlc + I

u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ
∆1 =
mlc g sin ϕ

mlc cos ϕ
mlc2 + I

= ( u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 gsin ϕ cos ϕ

m0 + m u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ
∆2 =
mlc cos ϕ
mlc g sin ϕ

= ( m0 + m ) mlc g sin ϕ − mlc cos ϕ ( u (t ) + mlcϕ&2 sin ϕ )

Từ đó tính được
2
2
2 2
∆1 ( u (t ) + mlcϕ& sin ϕ ) ( mlc + I ) − m lc gsin ϕ cos ϕ
&
x&=
=

( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m2lc2 cos2 ϕ

2
∆ 2 ( m0 + m ) mlc g sin ϕ − mlc cos ϕ ( u (t ) + mlcϕ& sin ϕ )
&=
ϕ&
=

( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m2lc2 cos2 ϕ

Đưa về phương trình trạng thái ta đặt các biến như sau
x1 = x, x2 = x&, x3 = ϕ , x4 = ϕ&

( u (t ) + ml x
x& =

2
c 4

sinx 3 ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 gsinx 3 cosx 3

( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m2lc2 cos 2 x 3
( m0 + m ) mlc g sinx 3 − mlc cosx 3 ( u (t ) + mlc x42 sinx 3 )
x&4 =
( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos 2 x 3
2

Mặt khác ta lại có
x&1 = x2 , x&3 = x4

SV: Hoàng Kim Đức
83

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Từ đó ta có phương trình trạng thái của hệ
x&1 = x2

( u (t ) + ml x
x& =

2
c 4

2

sinx 3 ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 gsinx 3 cosx 3

( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m2lc2 cos 2 x 3

x&3 = x4

( m0 + m ) mlc g sinx 3 − mlc cosx 3 ( u (t ) + mlc x42 sinx 3 )
x&4 =
( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos 2 x 3
(4.10)
Hay viết dưới dạng
x&= f (x, u )

Trong đó :
x =[x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ]T
 x2



2
2
2 2
 ( u (t ) + mlc x4 sinx 3 ) ( mlc + I ) − m lc gsinx 3 cosx 3 


( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos 2 x 3


f =

x
 4

 ( m0 + m ) mlc g sinx 3 − mlc cosx 3 ( u (t ) + mlc x42 sinx 3 ) 


( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos 2 x 3


c. Vị trí cân bằng của hệ

Điểm cân bằng của hệ được xác định từ hệ phương trình
x&= f (x, 0) = 0

Hay

SV: Hoàng Kim Đức
84

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
x2 = 0

( u(t ) + ml x

2
c 4

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

sin x3 ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 g sin x3 cos x3

( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos2 x3

=0

x4 = 0

( m0 + m ) mlc g sin x3 − mlc cos x3 ( u (t ) + mlc x42 sin x3 )
( m0 + m ) ( mlc2 + I ) − m 2lc2 cos2 x3

=0

Từ đó ta dễ dàng tính được
 x2 = 0
sin x cos x = 0

3
3

 x4 = 0
sin x3 = 0

Hệ trên có hai tập nghiệm là {
{

x1
x1

tùy ý;
tùy ý;

x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0

} và

x2 = 0; x3 = π ; x4 = 0

}

Từ đó ta có hai tập điểm cân bằng cua hệ là:

( x, x&,ϕ1,ϕ&1 ) = ( *,0,0,0 )



( x, x&,ϕ1 ,ϕ&1 ) = ( *,0, π ,0 )

d. Điều khiển ổn định của điểm cân bằng không ổn định

( x, x&,ϕ1,ϕ&1 ) = ( *,0,0,0 )
Ta nhận thấy rằng điểm cân bằng

( x, x&,ϕ1,ϕ&1 ) = ( *,0,0,0 )

là không ổn định.

Thực vậy để xem xét tính không ổn định của điểm cân bằng

( x, x&,ϕ1,ϕ&1 ) = ( *,0,0,0 )
SV: Hoàng Kim Đức
85

ta làm như sau:
Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang