Tải bản đầy đủ
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

Tải bản đầy đủ

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

trong số các tính hiệu có khả năng đưa hệ từ

x0

về

xT

thì phải xác định một

tiêu chí sao cho với nó, chi phí cho quá trình chuyển đổi là thấp nhất.
Như vậy, rỏ ràng ta chỉ có thể thực sự điều khiển được hệ thống nếu như đã tìm
được ít nhất một tính hiệu điều khiển

đầu

x0

tới được trạng thái đích

xT

u(t )

đưa được hệ từ điểm trạng thái ban

trong khoảng thời gian hữu hạn. Không phải

mọi hệ thống hay đối tượng tồn tại trong tự nhiên đều có khả năng đưa được về
trạng thái mong muốn.
Dưới đây trình bầy một cách tóm tắt về tính điều khiển được và tính quan
sát được của các hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số.
1.1 Một số các định nghĩa
Xét mô hình toán học của một hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số gồm
hai loại phương trình sau:
Phương trình trạng thái

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , x(0)= 0, x ∈ R n

(1.1)
Phương trình đo
y (t ) = Cx(t ) C ∈ R m×n , y ∈ R m

(1.2)
Trong đó u là vectơ điều khiển có m phần tử, x là vectơ trạng thái có n
phần tử, y là vectơ đo có m phần tử, A là ma trận hệ cỡ
điều khiển cỡ

n×m

, C là ma trận đo cỡ

SV: Hoàng Kim Đức
5

n×n

, B là ma trận

m×n

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Bây giờ ta sẽ nêu các định nghĩa về tính điều khiển được và tính quan sát
được của các hệ động lực
Định nghĩa 1. Hệ động lực (1.1) là điều khiển được hoàn toàn, nếu cho trước
x(0) = x0

một trạng thái ban đầu
một thời điểm

t1 > 0

khoảng thời gian

tùy ý và một trạng thái

x1

hữu hạn và một hàm điều khiển

[ 0,t1 ]

nào đó thì sẽ tồn tại

u(t )

xác định trong

, sao cho quỹ đạo của hệ (1.1) xuất phát từ

điểm t=0 sẽ chuyển đến

x1

tại thời điểm

x0

ở thời

t = t1

Định nghĩa 2. Hệ động lực (1.1) và (1.2) là quan sát được hoàn toàn, nếu với
trạng thái ban đầu

x(0) = x 0

nào đó, sẽ tồn tại một thời điểm

cho từ các thông tin về hàm điều khiển
thời gian

[ 0,t1 ]

u(t )

và hàm số đo

ta có thể xác định được trạng thái ban đầu

t1 > 0
y (t )

x0

hữu hạn sao

trong khoảng

đã nêu trên của

hệ.
1.2 Các tiêu chuẩn về tính điều khiển được của hệ động lực tuyến tính
Định lí 1.1 (Tiêu chuẩn Kalman1): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả
bởi phương trình trạng thái cấp n

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m ,x ∈ R n , x(0)=0

(1.3)
là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi

SV: Hoàng Kim Đức
6

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

RankQ c = Rank ( B , AB , ..., A n−1B ) = n
(1.4)
Thí dụ 1.1: Cho hệ động lực mô tả bởi phương trình
dx  a 0   x1   0 
=
u = Ax + Bu
 +
dt  0 b   x2  1 

Ta có

 a 0  0   0
AB = 
  =  
 0 b  1  b 

0 0
rank [ B, AB ] = rank 
<2
1 b 

Vậy hệ không điều khiển được
Thí dụ 1.2: Xét tính điều khiển được của hệ động lực có mô hình toán sau

 s1
dx 
= 0
dt 
 0

trong đó

1
s1
0

0
0
0  x + b2  u
 b3 
s2 

s1 ≠ s2



bi ≠ 0, i = 2,3

0
B, AB, A B  = b2

 b3
2

det

. Xét ma trận:

b2
s1b2
s2 b3

2 s1b2 
2
s12 b2  = −b22 b3 ( s1 − s2 ) ≠ 0

s22 b3 

Do đó
Rank  A, AB, A 2 B  = 3

SV: Hoàng Kim Đức
7

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Vậy hệ là điều khiển được.
Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Hautus1): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả
bởi phương trình trạng thái cấp n

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m ,x ∈ R n x(0)=0

(1.5)
là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi mọi vectơ riêng
AT

chuyển vị

(A

vi

của ma trận

không trực giao với tất cả các vectơ cột của ma trận điều khiển B

− λi E ) v i = 0 ⇒ BT v i ≠ 0 (i = 1, 2,..., n)

T

(1.6)
Thí dụ 1.3: Xét tính điều khiển được của hệ động lực có mô hình toán sau
dx  0 −1  x1  1 
=
+
u = Ax + Bu
dt  −3 2   x2  3

Trước hết ta xác định các trị riêng của ma trận chuyển vị
AT − λ E =

−λ

−3

−1 2 − λ

AT

= λ 2 − 2λ + 3 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 3

Các véc tơ riêng được xác định bởi phương trình

(A

T

Từ hệ thức

3 
1 
− λi E ) v i = 0 ⇒ v1 =   , v 2 =  
1 
 −1
 3
BT vi = [ 1 −3]   = 0
1 

SV: Hoàng Kim Đức
8

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Từ đó suy ra hệ động lực khảo sát là không điều khiển được.
1.3 Các tiêu chuẩn về tính quan sát được của hệ động lực tuyến tính
Trong bài toán điều khiển người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ
điều khiển phản hồi các tính hiệu trạng thái hoạc các tính hiệu ra. Vấn đề muốn
nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để
thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó. Tất nhiên rằng tà phải đo
chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi.
Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực
tiếp nhờ các thiết bị cảm biến. Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo
được một cách trực tiếp. Rất nhiều tín hiệu chỉ có thể có nhờ đo gián tiến thông
qua những tín hiệu đo được khác. Chẳng hạn:
-

Gia tốc không thể đo trực tiếp được mà phải được suy ra từ việc

đo tốc độ trong một khoảng thời gian
Giá trị công suất có thể có được nhờ việc đo dòng điện và điện
áp.
Để thống nhất chung, người ta sử dụng một khái niệm “Quan sát một tín
hiệu”để chỉ công việc xác định tín hiệu gián tiêp thông qua các tín hiệu khác.
Định lí 1.3 (Tiêu chuẩn Kalman2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả
bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m ,x ∈ R n x(0)=0

(1.7)
y (t ) = Cx(t )

(1.8)
là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi

SV: Hoàng Kim Đức
9

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

 C 

÷
CA ÷

RankQ 0 = Rank
=n
 M ÷

n-1 ÷
 CA 

(1.9)
Thí dụ 1.4: Cho hệ động lực mô tả bởi phương trình

0
 dx 
 dt =  1

0



y =  1


0


1 2
 0 1
÷ 
÷
0 −4 ÷x +  1 2 ÷u
 −1 1 ÷
1 −3 ÷



0 −1
÷x
1 1

Sử dụng tiêu chuẩn Kalman2 để kiểm tra tính quan sát được ta có
 1 0 −1
C=
÷
0 1 1 
0 1 2 
 1 0 −1 
÷  0 −1 1 
CA = 
÷ 1 0 −4 ÷ = 
÷
 0 1 1   0 1 −3 ÷  1 1 −7 


0 1 2 
 0 −1 1  
÷  −1 1 1 
2
CA = 
1
0

4
÷
÷

÷= 
 1 1 −7   0 1 −3 ÷  1 −7 15 



Do đó
 1

 0
 C 
0

÷
Rank  CA ÷ = rank 
1
 CA 2 ÷


 −1

1

SV: Hoàng Kim Đức
10

0 −1 
÷
1 1 ÷
−1 1 ÷
÷= 3
1 −7 ÷
1 1÷
÷
−7 15 ÷


Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

Do vậy hệ là quan sát được
Định lí 1.4 (Tiêu chuẩn Hautus2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả
bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo

x&= Ax + Bu

với

A ∈ R n×n , B ∈ R n×m ,x ∈ R n x(0)= 0

(1.10)
y (t ) = Cx(t )

(1.11)
là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi mọi vectơ riêng

vi

của ma trận A

không trực giao với tất cả các vectơ hàng của ma trận đo C

(A

T

− λi E ) v i = 0 ⇒ Cv i ≠ 0 (i = 1, 2,..., n)

(1.12)
Thí dụ 1.5: Xét tính quan sát được của hệ động lực có mô hình toán sau
dx  0 −1  x1  1 
=
+
u = Ax + Bu
dt  −3 2   x2  3

Trước hết ta xác định các trị riêng của ma trận chuyển vị
A − λE =

−λ

−1

−3 2 − λ

AT

= λ 2 − 2λ + 3 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 3

Các véc tơ riêng được xác định bởi phương trình
1
1

1 

 −3

( A − λi E ) vi = 0 ⇒ v1 =   , v 2 = 

SV: Hoàng Kim Đức
11

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

Từ hệ thức

1
Cv1 = [ 1 0]   ≠ 0
1

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn



1 
Cv 2 = [ 1 0]   ≠ 0
 −3

Vậy hệ là quan sát được hoàn toàn.
1.4 Thí dụ áp dụng
Xét mô hình dao động hai bậc tự do như trên hình 1.1. Trong đó

u1 , u2



các kích động ngoài. Thiết lập phương trình trạng thái, phương trình đo của hệ
để khảo sát tính quan sát được và điều khiển được của hệ.
Dễ dàng có được phương trình vi phân dao động của hệ nhờ định lý
Lagrange II

&
m1q&
1 + c1q1 − c2 ( q2 − q1 ) = u1
&
m2 q&
2 + c2 ( q2 − q1 ) + c3 q2 = u 2
(1.13)

Hình 1.1: Mô hình dao động hai bậc tự do

Đưa vào biến mới

s = ωt

( )'=
và ký hiệu

d
ds

. Đối với biến s hệ phương

trình vi phân (1.13) có dạng

SV: Hoàng Kim Đức
12

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
q1 '' = −
q2 '' =

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

c1 + c2
c
u (s)
q1 + 2 2 q2 + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

c2
c +c
u (s )
q − 1 22 q2 + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.14)
Ta chọn véc tơ trạng thái có dạng

x T = [ q1 ( s ),q 2 ( s ), q1 '( s ), q2 '( s ) ]

T

Khi đó ta có hệ phương trình không gian trạng thái của hệ như sau
x1' ( s) = x3 ( s)
x2' ( s) = x4 ( s)
x3' ( s) = −

c1 + c2
c
u ( s)
x1 ( s) + 2 2 x2 ( s) + 1 2
2
m1ω
m1ω
m1ω

x4' ( s) = q2 '' =

c2
c +c
u (s)
x ( s ) − 1 22 x2 ( s ) + 2 2
2 1
m2ω
m2ω
m1ω

(1.15)

Đặt các ký hiệu không thứ nguyên
k11 = −
k21 =

c1 + c2
,
m1ω 2

k12 =

c2
,
m2ω 2

c2
m1ω 2

k22 = −

c1 + c2
m2ω 2

Từ (1.15) suy ra phương trình trạng thái của hệ viết dưới dạng ma trận
 x1' ( s)   0
 '  
 x2 ( s )  =  0
 x3' ( s)   k11
 '  
 x4 ( s )   k21

0
0
k12
k22

1 0   x1 ( s )   0 
0 1   x2 ( s )   0 
+
0 0   x3 ( s )   b1u1 ( s ) 

 

0 0   x4 ( s )  b2u2 ( s ) 

(1.16)
SV: Hoàng Kim Đức
13

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang
b1 =

Trong đó

1
,
m1ω 2

b2 =

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

1
m1ω 2

Phương trình đo của hệ dao động trên hình 1.1 có dạng

 y1 ( s )   c11 c12
 y (s )  = c
 2   21 c22

c13
c23

 x1 ( s ) 
c14   x2 (s ) 
c24   x3 ( s ) 


 x4 (s ) 

(1.17)
Dạng của ma trận C phụ thuộc vào các đại lượng cần đo.
Nếu các đại lượng cần đo là dịch chuyển tuyệt đối
0
c
C =  11
 0 c22

q1 ( s), q2 ( s )

thì

0 0 1 0 0 0
0 0  0 1 0 0 
=

Từ các phương trình trạng thái (1.16) và phương trình đo (1.17) ta suy ra dạng
của ma trận A và ma trận đo C như sau
0
A=
K

Trong đó

E

E
;
0 

C = [ C1

C2 ]

là ma trận đơn vị cấp hai,

K,C1 ,C2

là các ma trận vuông cấp hai.

Trong bài toán này A la ma trận vuông cấp bốn (n=4). Do dó ma trận

Q0

theo

tiêu chuẩn Kalman 2 có dạng

SV: Hoàng Kim Đức
14

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang

Đồ án tốt nghiệp Đại Học
Khang

GVHD: GS.TSKH. Nguyễn Văn

C 
CA 

Q0 = 
CA 2 


3
CA 

Ở đây
C = [ C1

C2 ]

0 E 
C2 ] 
 = [ C2 K C1 ]
K
0


0 E 
CA 2 = CAA = [ C2 K C1 ] 
 = [ C 1K C 2 K ]
K
0


0 E 
2
CA 3 = CA 2 A = [ C1K C 2K ] 
 = C2K C1K 
K
0


CA = [ C1

Do đó ma trận

Q0

C1
C K
2
Q0 = 
C1K

2
C2 K

có dạng
C2 
C1 
C2K 

C1K 

Với phương án đo là dịch chuyển tuyệt đối
C2

q1 ( s ), q2 ( s )

thì các ma trận

C1



có dạng
C1 = E
C2 = 0

Từ đó ma trận

Q0

có dạng khá đơn giản

SV: Hoàng Kim Đức
15

Lớp: KSTN-CĐT-K55

Trang