Tải bản đầy đủ
Chương 2. RÚT GỌN THUỘC TÍNH TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH THAY ĐỔI SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH

Chương 2. RÚT GỌN THUỘC TÍNH TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH THAY ĐỔI SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH

Tải bản đầy đủ

24

Y
X
Y
Z
Dễ thấy ( V − V ) ( V − V ) ≥ 0 hoặc V YY − V YZ − V XY + V XZ ≥ 0 thỏa mãn vì
Y
X
Y
Z
phần tử thứ k của ( V − V ) và ( V − V ) là 0 và 1. Từ công thức 3.2 ta có:

d ( X , Y ) + d ( Y , Z ) ≥ d ( X , Z ) (đpcm)

2.1.2. Khoảng cách giữa hai tri thức và các tính chất
Từ khoảng cách giữa hai tập hợp hữu hạn được định nghĩa ở phần 2.1.1,
luận văn xây dựng khoảng cách giữa hai tri thức sinh bởi hai tập thuộc tính
trên bảng quyết định.
Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) , mỗi tập thuộc tính P ⊆ C ,
K ( P ) = { [ ui ] P ui ∈U } được gọi là một tri thức (knowledge) của P trên U [1].

K ( P ) gồm U phần tử, mỗi phần tử là một khối trong phân hoạch U / P , còn

được gọi là một hạt tri thức (knowledge granule). Ký hiệu họ tất cả các tri
thức trên U là K ( U ) .
Định lý 2.2. Ánh xạ d : K ( U ) × K ( U ) → [ 0, ∞ ) xác định bởi
d ( K ( P) , K ( Q) ) =

U

∑( [ u ]
U

1
2

i =1

i P

∪ [ ui ] Q − [ ui ] P ∩ [ ui ] Q

)

là một khoảng cách giữa K ( P ) và K ( Q ) .
Chứng minh
(P1) Áp dụng Định lý 3.1 với hai tập hợp [ ui ] P và [ ui ] Q với ui ∈U ta có

[ ui ] P ∪ [ ui ] Q − [ ui ] P ∩ [ ui ] Q

≥ 0 . Do đó, d J ( K ( P ) , K ( Q ) ) ≥ 0 . d J ( K ( P ) , K ( Q ) ) = 0

khi



[ ui ] P ∩ [ ui ] Q

chỉ

= [ ui ] P ∪ [ ui ] Q ⇔ [ ui ] P ∩ [ ui ] Q = [ ui ] P ∪ [ ui ] Q ⇔ [ ui ] P = [ ui ] Q

ui ∈ U , nghĩa là K ( P ) = K ( Q ) .

khi
với

mọi

25

(P2)

Theo

định

d ( K ( P ) , K ( Q ) ) = d ( K ( Q ) , K ( P ) ) với

nghĩa

mọi

K ( P ), K (Q) ∈ K ( U ) .

(P3) Theo định nghĩa ta có :
d ( K ( P) , K ( Q ) ) + d ( K ( Q ) , K ( R) ) =
=



U

1
U

2

i =1

i P

i Q

2

i P

i =1

U

) + U ∑ d([u ]
1

2

)

i Q

i=1

− [ ui ] P ∩ [ ui ] Q +

i Q

)

, [ ui ] R =

U

1
U

2

∑ d ( [ u ] ,[ u ]
i P

i =1

i Q

U

∑ ( [u ] ∪ [u ]
U

1
2

i Q

i =1

) + d ([u ]

i Q

, [ ui ] R

i R

− [ ui ] Q ∩ [ ui ] R

)

U

1
U

∑ d ( [ u ] ,[ u ]

U

∑ ( [u ] ∪ [u ]
U

1

2

∑ d ( [ u ] ,[ u ] ) = d ( K ( P) , K ( R ) )
i =1

i P

i R

Từ (P1), (P2), (P3) kết luận d ( K ( P ) , K ( Q ) ) là một khoảng cách trên
K (U ) .

Mệnh đề 2.1.Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) và P, Q ⊆ C , khi đó ta
có:
1) d ( K ( P ) , K ( Q ) ) đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi và chỉ khi K ( P ) = K ( Q )
1

2) d ( K ( P ) , K ( Q ) ) đạt giá trị lớn nhất là 1 − U

{

khi và chỉ khi

}

K ( P ) = { [ ui ] P = U ui ∈U } , K ( Q ) = [ ui ] Q = { ui } ui ∈ U hoặc

{

}

K ( P ) = { [ ui ] P = { ui } ui ∈ U } , K ( Q ) = [ ui ] Q = U ui ∈ U .

Chứng minh. Từ Định lý 2.2 ta có d ( K ( P ) , K ( Q ) ) đạt giá trị nhỏ nhất là
0 khi và chỉ khi K ( P ) = K ( Q ) . d ( K ( P ) , K ( Q ) ) đạt giá trị lớn nhất khi

[ ui ] P ∪ [ ui ] Q đạt giá trị lớn nhất là

U và [ ui ] P ∩ [ ui ] Q đạt giá trị nhỏ nhất là 1,

)

26

nghĩa là [ ui ] P = U , [ ui ] Q = { ui } hoặc [ ui ] P = { ui } , [ ui ] Q = U . Giá trị lớn nhất là :
U

1
U

1

∑ ( U − 1) = 1 − U

2

.

i =1

Mệnh đề 2.2. Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) và hai phân hoạch
U / C = {C1 , C2 ,..., Cm } , U / D = {D1 , D2 ,..., Dn } . Khi đó ta có:

d ( K ( C ) , K ( C ∪ D) ) =

n

1
U

2

m

∑∑ D ∩ C

Chứng minh. Giả sử Di ∩ C j = { ui1 , ui 2 ,..., uis
m

đó

∑s
j =1

j

n

∑t

= ti và

i =1

i

i

i =1 j =1

j

}

C j − Di

j

với Di ∩ C j = s j và Di = ti , khi

= U . Ta có

Di ∩ C j = [ ui1 ] D ∩ [ ui1 ] C = [ ui 2 ] D ∩ [ ui 2 ] C = ... = uis j  ∩ uis j  .
  D  C

Di ∩ C j = [ ui1 ] D ∩ [ ui1 ] C = [ ui 2 ] D ∩ [ ui 2 ] C = ... = uis j  ∩ uis j  = s j .
D
C
Di ∩ C j C j − Di = Di ∩ C j C j − ( Di ∩ C j ) = [ ui1 ] C − ( [ ui1 ] D ∩ [ ui1 ] C ) +

(

)

(

)

si

(

+ [ ui 2 ] C − [ ui 2 ] D ∩ [ ui 2 ] C + ... +  uis j  − uis j  ∩  uis j  = ∑ [ uik ] C − [ uik ] D ∩ [ uik ] C
 C   D  C
k =1
sj

m

m

j =1

j =1 k =1

)

ti

∑ Di ∩ C j C j − Di = ∑∑ [ uik ] C − ( [ uik ] D ∩ [ uik ] C ) = ∑ [ uik ] C − ( [ uik ] D ∩ [ uik ] C ) .
k =1

Do đó
n

m

∑∑ D ∩ C
i

i =1 j =1

n

m

∑∑ D ∩C
i =1 j =1

i

j

n

j

U

ti

C j − Di = ∑∑ [ uik ] C − ( [ uik ] D ∩ [ uik ] C ) = ∑ [ ui ] C − ( [ ui ] D ∩ [ ui ] C )
i =1 k =1

i =1

U

U

i =1

i =1

(

)

U

(

C j − Di = ∑ [ ui ] C − [ ui ] C ∪ D = ∑ [ ui ] C − [ ui ] C ∪ D = ∑ [ ui ] C ∪ [ ui ] C ∪ D − [ ui ] C ∩ [ ui ] C ∪ D

Vì vậy ta có:

i =1

)

27

d ( K ( C ) , K ( C ∪ D) ) =

n

1
U

2

m

∑∑ D ∩ C
i =1 j =1

i

j

C j − Di (đpcm)

DS = ( U , C ∪ D, V , f ) .

Mệnh đề 2.3. Cho bảng quyết định

Khi đó

d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) ) = E ( D C ) với E ( D C ) là entropy Liang có điều kiện trong

[5].
Chứng minh. Giả sử U / C = {C1 , C2 ,..., Cm } và U / D = {D1 , D2 ,..., Dn } . Theo
định nghĩa entropy Liang trong [5] ta có:
E ( D C) =
=

1
U

n

n

1
U
m

2

m

∑∑ Di ∩ C j Dic − C cj =
i =1 j =1

Di ∩ C j C j − ( Di ∩ C j ) =
2 ∑∑
i =1 j =1

U

U
n

1
2

n

1
2

m

∑∑ D ∩ C
i =1 j =1

i

m

∑∑ D ∩ C
i =1 j =1

i

j

j

Dic ∩ C j

C j − Di = d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) )

(đpcm)
Giống như các phương pháp khác, phương pháp rút gọn thuộc tính dựa
trên khoảng cách cũng thực hiện các bước: đưa ra khái niệm tập rút gọn dựa
trên khoảng cách, độ quan trọng của thuộc tính dựa trên khoảng cách và xây
dựng thuật toán heuristic tìm một tập rút gọn tốt nhất dựa trên độ quan trọng
của thuộc tính.
2.1.3. Tập rút gọn của bảng quyết định dựa trên khoảng cách
Định nghĩa 2.1. Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) , thuộc tính
c ∈ C gọi

là không cần thiết trong DS nếu

d ( K ( C − { c} ) , K ( C − { c} ∪ D ) ) = d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) ) ; Ngược lại, c được gọi là cần

thiết. Tập tất cả các thuộc tính cần thiết trong DS được gọi là tập lõi, ký hiệu
là CORE ( C ) .
Định nghĩa 2.2. Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) và tập thuộc tính
R ⊆ C . Nếu

1) d ( K ( R ) , K ( R ∪ D ) ) = d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) )

28

2) ∀r ∈ R, d ( K ( R − { r} ) , K ( R − { r} ∪ D ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) )
thì R là một rút gọn của C dựa trên khoảng cách.
Từ Mệnh đề 2.2 ta thấy tập rút gọn dựa trên khoảng cách và tập rút gọn
dựa trên entropy Liang là như nhau. Do đó, phương pháp rút gọn sử dụng
khoảng cách thuộc Nhóm phương pháp entropy Liang.
Định nghĩa 2.3. Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) , B ⊂ C và b ∈ C − B
. Độ quan trọng của thuộc tính b được định nghĩa bởi

(

SIGB ( b ) = d ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) − d K ( B ∪ { b} ) , K ( B ∪ { b} ∪ D )

)

với giả thiết U / { ∅} = U .
Theo [5], E ( D B ∪ { b} ) ≤ E ( D B ) nên d ( K ( B ∪ { b} ) , K ( B ∪ { b} ∪ D ) ) ≤ d ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) )
và SIGB ( b ) ≥ 0 . Do đó, SIGB ( b ) được tính bởi lượng thay đổi khoảng cách
giữa B và B ∪ D khi thêm thuộc tính b vào B và SIGB ( b ) càng lớn thì lượng
thay đổi khoảng cách càng lớn, hay thuộc tính b càng quan trọng và ngược
lại. Độ quan trọng của thuộc tính này là tiêu chuẩn lựa chọn thuộc tính trong
thuật toán heuristic tìm tập rút gọn của bảng quyết định.
2.1.4. Thuật toán tìm tập rút gọn sử dụng khoảng cách
Thuật toán DBAR (Distance Based Attribute Reduction). Thuật toán
heuristic tìm một tập rút gọn tốt nhất sử dụng khoảng cách.
Đầu vào: Bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) .
Đầu ra: Một tập rút gọn tốt nhất R .
//Tìm tập lõi CORE ( C ) ;
1. CORE ( C ) = ∅ ;
2. For c ∈ C
3. If

d ( K ( C − { c} ) , K ( C − { c} ∪ D ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) )

then

29

CORE ( C ) := CORE ( C ) ∪{ c} ;

//Tìm tập rút gọn dựa trên khoảng cách
4. R = CORE ( C ) ;
5. While d ( K ( R ) , K ( R ∪ D ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) ) do
6. Begin
7.

For a ∈ C − R tính SIGR ( a ) ;

8.

Chọn am ∈ C − R sao cho SIGR ( am ) = aMax
{ SIGR ( a ) } ;
∈C − R

9.

R = R ∪ { am } ;

10. End;
//Loại bỏ các thuộc tính dư thừa trong R (nếu có)
11. R* = R − CORE ( C ) ;
12. For each a ∈ R *
13. Begin
14. Tính d ( K ( R − { a} ) , K ( ( R − { a} ) ∪ D ) ) ;
15. If d ( K ( R − { a} ) , K ( ( R − { a} ) ∪ D ) ) = d ( K ( C ) , K ( C ∪ D ) ) then R = R − { a} ;
16. End;
17. Return R ;
Xét bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) (giả sử tập thuộc tính quyết
định D chỉ có một thuộc tính D = { d } ), theo [13], độ phức tạp thời gian (gọi
tắt là độ phức tạp) để tính phân hoạch U / C là O ( U C ) , do đó độ phức tạp để
tính khoảng cách d ( K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) ) là

30

n
m


2
O  U C + U + ∑ Di ∑ C j ÷ = O U C + U , độ phức tạp để tính tập lõi
i =1
j =1



(

CORE ( C )

( (

từ

O C U C +U

2

câu

lệnh

)) = O( C

2

)

số

U +C U

2

1

đến

câu

(

2

số

3



) , độ phức tạp để tính tập rút gọn từ câu
2

lệnh số 4 đến câu lệnh số 9 cũng là O C U + C U

(

lệnh

Thuật toán DBAR là O C U + C U

2

).

2

) . Vậy, độ phức tạp của

31

Ví dụ 2.1. Xét bảng quyết định DS = ( U , C ∪ { d } ,V , f ) cho ở Bảng 2.1
Bảng 2.1. Bảng quyết định minh họa thuật toán tìm tập rút gọn
U
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7

a1

a2

a3

0
0
0
0
0
1
1

1
1
1
1
1
0
0

1
1
0
0
0
0
1

d
0
1
0
1
1
1
1

Ta có U = { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 } , U = 7 , C = { a1 , a2 , a3 } .
U / { d } = { { u1 , u3 } , { u2 , u4 , u5 , u6 , u7 } } , U / C = { { u1 , u2 } , { u3 , u4 , u5 } , { u6 } , { u7 } } .

1) Thực hiện các câu lệnh từ dòng lệnh số 1 đến dòng lệnh số 3 của Thuật
toán DBAR để tìm tập lõi CORE ( C ) , ta có:
1. CORE ( C ) = ∅ ;

(

)

2. d K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) =

n

1
U

2

m

∑∑ D ∩C
i =1 j =1

i

j

C j − Di =

1
6
1*1 + 1* 2 + 1*1 + 2 *1) =
2 (
7
49

3. Xét lần lượt các thuộc tính a1 , a2 , a3 . Ta có:
U / C − { a1} = U / { a2 , a3 } = { { u1 , u2 } , { u3 , u4 , u5 } , { u6 } , { u7 } } = U / C do đó

(

(

)) (

) (

d K ( C − { a1} ) , K ( C − { a1} ) ∪ { d } = d K ( { a2 , a3 } ) , K ( { a 2 , a3 , d } ) = d K ( C ) , K ( C ∪ { d } )

)

U / C − { a2 } = U / { a1 , a3 } = { { u1 , u2 } , { u3 , u4 , u5 } , { u6 } , { u7 } } = U / C do đó

(

(

)) (

) (

)

d K ( C − { a2 } ) , K ( C − { a2 } ) ∪ { d } = d K ( { a1 , a3 } ) , K ( { a1 , a3 , d } ) = d K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) .
U / C − { a3} = U / { a1 , a2 } = { { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } , { u6 , u7 } } .

(

(

)) (

)

d K ( C − { a3} ) , K ( C − { a3 } ) ∪ { d } = d K ( { a1 , a2 } ) , K ( { a1, a2 , d } ) =

1
12
2*3 + 3* 2 ) = .
2 (
7
49

Do đó d ( K ( C − { a3} ) , K ( ( C − { a3 } ) ∪ { d } ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) )

32

Vì vậy CORE ( C ) = { a3 } .
2) Thực hiện các câu lệnh từ dòng lệnh số 4 đến dòng lệnh số 11 của Thuật
toán DBAR để tìm tập rút gọn tốt nhất R , ta có:
Đặt R = CORE ( C ) = { a3 } , U / R = U / { a3} = { { u1 , u2 , u7 } , { u3 , u4 , u5 , u6 } }

(

)

d K ( { a3 } ) , K ( { a 3 , d } ) =

1
10
1* 2 + 1* 3 + 2 *1 + 3*1) =
2 (
7
49

Do đó d ( K ( { a3 } ) , K ( { a3 , d } ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) ) thực hiện vòng lặp While.
Xét thuộc tính a1 ∈ C − { a3 } . Theo tính toán ở phần 1):

(

)

(

)

d K ( { a1 , a3 } ) , K ( { a1 , a3 , d } ) = d K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) =

(

)

6
, do đó:
49

(

)

SIG{ a3} ( a1 ) = d K ( { a3 } ) , K ( { a3 , d } ) − d K ( { a1 , a3 } ) , K ( { a1 , a3 , d } ) =

10 6
4

=
49 49 49

Xét thuộc tính a2 ∈ C − { a3} . Theo tính toán ở phần 1):

(

)

(

)

d K ( { a 2 , a3 } ) , K ( { a 2 , a 3 , d } ) = d K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) =

(

)

(

6
, do đó:
49

)

SIG{ a3} ( a2 ) = d K ( { a3 } ) , K ( { a3 , d } ) − d K ( { a2 , a3 } ) , K ( { a2 , a3 , d } ) =

10 6
4

=
49 49 49

Do a1 và a2 có độ quan trọng như nhau nên chọn bất kỳ a1 hoặc a2 , giả
sử chọn a1 , khi đó và R = { a1 , a3 } và theo tính toán ở phần 1):

(

)

(

)

d K ( { a1 , a3 } ) , K ( { a1 , a3 , d } ) = d K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) . Dừng vòng lặp While.

Thực hiện vòng lặp For. Xét R* = R − CORE (C ) = { a1} và R − { a1} = { a3 }
Theo tính toán ở trên, d ( K ( { a3} ) , K ( { a3 , d } ) ) ≠ d ( K ( C ) , K ( C ∪ { d } ) ) . Do đó
R = { a1 , a3 } là một tập rút gọn tốt nhất của C dựa trên khoảng cách.

33

2.2.

Thuật toán gia tăng tìm tập rút gọn sử dụng khoảng cách khi bổ
sung đối tượng
Phần này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp gia tăng rút gọn

thuộc tính trong bảng quyết định sử dụng khoảng cách trong trường hợp bổ
sung đối tượng mới, bao gồm xây dựng công thức gia tăng và thuật toán gia
tăng. Kết quả nghiên cứu của phần này được tác giả công bố trong công trình
số 1, phần danh mục các công trình của tác giả.
2.2.1. Công thức gia tăng tính khoảng cách khi bổ sung đối tượng
Cho bảng quyết định DS = ( U , C ∪ D,V , f ) với B ⊆ C .Giả sử ta có hai phân
hoạch U / B = { X 1, X 2 ,... X m } và U / D = {Y1 , Y2 ,..., Yn } . Khoảng cách giữa hai tri
thức K ( B ) và K ( B ∪ D ) trên tập đối tượng U là dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) .
Mệnh đề 2.4. Giả sử đối tượng x được bổ sung vào U, khi đó ta có:
1) Nếu x ∉ X j với mọi j = 1..m và x ∉ Yi với mọi i = 1..n thì
dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

U

2

U +1

2

dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) )

2) Nếu x ∉ X j với mọi j = 1..m và x ∈ Yq với q ≤ n thì
dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

U

2

U +1

2

dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) )

3) Nếu x ∈ X p với p ≤ m và x ∉ Yi với mọi i = 1..n thì
dU ∪ { x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

1
U +1

2

(U

2

dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) + 2 X p

)

4) Nếu x ∈ X p với p ≤ m và x ∈ Yq với q ≤ n thì
dU ∪ { x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

1
U +1

2

(U

2

dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) + 2 X p − Yq

)

34

Chứng minh
1) Giả sử X m+1 = { x} và Yn +1 = { x} . Ta có
dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

=

=

n +1 m + 1

1
U +1

2

∑∑ Y ∩ X
i

i =1 j =1

j

X j − Yi

m +1
n
 n m

Y

X
X

Y
+
Y

X
X

Y
+
Yi ∩ X m +1 X m +1 − Yi ÷


j
j
i
n +1
j
j
n +1
2  ∑∑ i
U + 1  i =1 j =1
j =1
i =1


1

U

2

U +1

2

dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) )

2) Giả sử X m+1 = { x} và x ∈ Yq với q ≤ n . Ta có:
dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

m +1
 n m +1

Y

X
X

Y
+
Y

x

X
X

Y

x
{
}
{
}
(
)
(
)

÷



i
j
j
i
q
j
j
q
2
U + 1  i =1,i ≠ q j =1
j =1


1

m
 n m

=
Y ∩ X j X j − Yi + ∑ Yq ∩ X j X j − Yq ÷
2  ∑ ∑ i
U + 1  i =1,i ≠ q j =1
j =1


1

 n m
=
Y ∩ X j X j − Yi
2 ∑∑ i
U + 1  i =1 j =1
1

2


U
d K ( B) , K ( B ∪ D) )
÷=
2 U (
 U +1

3) Giả sử x ∈ X p với p ≤ m và Yn +1 = { x} . Ta có:
dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =

n +1
 n +1 m

Y

X
X

Y
+
Yi ∩ ( X p ∪ { x} ) ( X p ∪ { x} ) − Yi ÷


i
j
j
i
2 ∑ ∑
U + 1  i =1 j =1, j ≠ p
i =1


1

=

 n
2 ∑
U + 1  i =1

=

n
 n m

1
2
Y

X
X

Y
+
Y

X
x
+
X
x
U dU ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) + 2 X p
{
}
{
}

÷=



i
j
j
i
i
p
p
2
2
U + 1  i =1 j =1
i =1
 U +1

1

1

n

Yi ∩ X j X j − Yi + ∑ Yi ∩ ( X p ∪ { x} ) ( X p ∪ { x} ) − Yi + X p { x} ÷
j =1, j ≠ p
i =1

m



(

)

4) Giả sử x ∈ X p với p ≤ m và x ∈ Yq với q ≤ n . Ta có: dU ∪{ x} ( K ( B ) , K ( B ∪ D ) ) =