Tải bản đầy đủ
Các công thức cơ bản của tam giác cầu

Các công thức cơ bản của tam giác cầu

Tải bản đầy đủ

z = cosb
Bây giờ thay hệ toạ độ trên bằng cách quay mặt phẳng (viết tắt = mf)ZOY
một góc AOB quanh trục OX. Hệ trục toạ độ mới OX'Y'Z' có OX' ≡ OX; điểm B
trên trục OZ' và hình chiếu của C lên mf (X'OY') là D nên có ϕ' = góc XOD.
Trên hình sẽ thấy góc BOC = a = θ' , cần phải xác định góc ϕ'.
Hai mf AOB và BOC chung cạnh OB, cùng vuông góc với mf XOY' (có
chứa D và hình chiếu DY của nó lên trục OY') do đó góc DODy = B. Trên mf
XOY' có
ϕ' = góc X'OY' - góc DODY = 900 - B. Vậy trong hệ toạ độ mới có:
x' = sina.cos(900 - B) = sina.sinB
y' = sina.sin(900 - B) = sina.cosB (b)
z' = cos a
Toán học giải tích đã chứng minh rằng khi quay hệ toạ độ O.XYZ quanh
trục OX một góc c thì phép biến đổi toạ độ cho: x' = x ; y' = z.sinc + y.cosc ; z' =
zcosc - y.sinc [công thức (c)].
Để tính công thức (c), ta gọi hình chiếu của đỉnh C lên mf Y'OZ' là E. Khi
chuyển hệ toạ độ thì x' = x và vị trí của hình chiếu điểm C nên mf Y'OZ' là E
như ở hình vẽ dưới.
Z
Toạ độ điểm E xét trên mặt YOZ là:
Z
'

Y'

E

z
-Y

c

Y

H.6.2.Tính công thức ©

c

r
αy

y'

DY

y = r.cos(c+α) = r.cosc.cosα - r.sinc.sinα
z = r.sin(c+ α) = r.sinc.cosα + r.cosc.sinα
y' = r.cosα và z' = r.sinα.

Vậy y = y'.cosc - z'.sinc và z = y'.sinc + z'.cosc.
Để tìm công thức y', z' phụ thuộc vào y, z ta xem hệ trục toạ độ cũ là Y'OZ'
khi quay một góc là (-c) về hệ YOZ thực hiện với công thức trên cho:
y' = y.cos(-c) - z.sin(-c) = y.cosc + z.sinc
z' = y.sin(-c) + z.cos(-c) = -y.sinc +z.cosc
Kết quả cho các công thức (c) ở trên.
Khi thay (a), (b) vào (c) ta có:
sina.sinB = sinb.sinA; sina.cosB = - sinb.cosA.cosc + cosb.sinc và
cosa = cosb.cosc + sinb.sinc.cosA.
Việc chọn các góc, cạnh trong tam giác là ngẫu nhiên nên các công thức
trên đúng cả khi hoán đổi a, b, c, A, B, C giúp ta có các công thức (6.1), (6.2)
trong [1].

38

Đặc biệt khi có một cạnh (một góc tương ứng) bằng 90 0 cho các công thức
thường được sử dụng trong đo đạc thiên văn. Thí dụ với A = 900 thì:
sina.cosB = cosb.sinc ; sina.sinB = sinb; cotgB = cotgb.sinc và
tgb =
sinc.tgB v..v..
Từ các công thức trên còn thấy: y = - sinb.cosA = y'cosc - z' sinc nên
- sinb.cosA = sina.cosB.cosC - cosa.sinc và các công thức tương ứng được
dùng ở phần sau (tính công thức 6.5)...
2. Ứng dụng
2.1. Chuyển đổi hệ toạ độ xích đạo và hệ toạ độ chân trời
Trong hệ toạ độ xích đạo có xích vĩ δ = SS' và

Z

P

X
S

B

Để chuyển đổi
γ
cong
PZS N

S'

o
S"

H 6.3. Chuyển đổi 2 hệ tọa độ

xích kinh α = γS''(tính từ điểm xuân phân γ đến
S'')
sang hệ toạ độ chân trời A, Z, ta xét tam giác
(H6.3.)có:
PZ = 900 - ZX = 900- ϕ ; PS = 900 - SS' =
900 - δ

ZS = 900- SS'' = Z ; góc giờ t = góc P và góc Z = 180 0- A+ (góc A+ là độ
phương).
Đối chiếu tương ứng với tam giác cong ở trên có các góc t =P; A = Z = 180 0
- A+
Các cạnh b = z; a = 900 - δ ; c = 900- ϕ (theo 6.2).
Vậy: cosz = cos(900- ϕ).cos(900- δ) + sin(900- ϕ).sin(900- δ).cost.
Theo (6.1) sinz.sin(1800- A)= sin(900- δ).sint hay sinz.sinA = cosδ.sint (a).
Theo (6.4) cosz = sinϕ.sinδ + cosϕ.cosδ.cost
Từ (6.3) sinz.cosA = - cosϕ.sinδ + sinϕ.cosδcos t

(b).

Lấy (a) chia cho (b) được (6.5):
tgA =(cosδ.sint)/(- cosϕ.sinδ + sinϕ.cosδcos t).
Với t = S - α trong đó S là giờ sao tại thời điểm quan sát.
Có thể chuyển từ hệ toạ độ chân trời sang hệ toạ độ xích đạo khi chọn a =
900 - δ; b = 900 -ϕ và c = z.
2.2. Tính thời điểm mọc (lặn) của thiên thể
Trong hệ toạ độ chân trời khi mọc (lặn) thì h = 0; (z = 90 0) khi đo từ (6.4)
có: sinϕ.sinδ + cosϕ.cosδ.cost = 0 hay cost = - tgϕ.tgδ (6.7).
Chú ý rằng giờ sao được tính theo công thức S = α ± t (dấu trừ khi thiên thể
mọc).

39

Khi chuyển sang hệ toạ độ xích đạo thì sinδ = sinϕ.cosz - cosϕ.sinz.cosA =
- cosϕ.cosA; do đó cosA = - sinδ / cosϕ

(6.8).

Kết quả cho thấy thời điểm và vị trí mọc (lặn) phụ thuộc vào độ vĩ ϕ và
xích vĩ δ.
Trong một năm δ biến thiên liên quan đến độ dài ban ngày và ban đêm khác
nhau.
Công thức (6.8) còn viết dưới dạng khác và có thể tính góc giờ chính xác
theo công thức (6.9) xem trong GTTV.
3. Khúc xạ ánh sáng. Hoàng hôn và bình minh
3.1. Khúc xạ ánh sáng và vị trí của thiên thể
Khí quyển của Đ giảm dần theo độ cao từ giá trị 1,00029 đến 1. Do hiện
tượng khúc xạ, đường đi của tia sáng bị uốn cong dần (xem hình 55,56 trong [1]).
Vì vậy từ mặt đất nhìn thiên thể không thấy được khoảng cách thực mà độ
phương đo được là AS' cao hơn kết quả đúng. Khoảng cách thực và khoảng cách
nhìn thấy lệch nhau một khoảng gọi là độ khúc xạ ρ = Z - Z'.
Để xây dựng được công thức tính độ cao thực của thiên thể, người ta giả sử
chia các lớp khí quyển thành m lớp có chiết suất giảm dần từ n 1=1,00029 đến nm
= 1 và coi gần đúng góc tới bằng góc phản xạ thì chứng minh được n m.sinim =
n1sini1 suy ra im= z với nm = 1.
Kết quả tìm ra các công thức 6.10; 6.11; 6.12 trong [1].
3.2. Hoàng hôn và bình minh
Hiện tượng khúc xạ và khuếch tán làm cho ánh sáng mặt trời không đột
ngột tắt hay hiện mà chuyển dần từ ngày sang đêm và ngược lại. Người ta chia ra
3 mức độ hoàng hôn:
- Hoàng hôn thường tính từ khi mép trên đĩa Mặt trời hạ xuống 6 0 dưới
đường chân trời.
- Hoàng hôn hàng hải khi Mặt trời hạ xuống dưới 120.
- Hoàng hôn thiên văn khi Mặt trời xuống dưới 18 0 đủ thấy các ngôi sao
sáng yếu.
Mùa hè ở vùng có vĩ độ lớn MT lặn không quá 6 0 nên có đêm trắng. Ở
Xanh Pêtecbua từ ngày 11-6 đến 2-7 thấy rõ hiện tượng thú vị này; ở Pari ngày
24-6 MT lặn xuống không quá 17 041'. Các công thức (6.13,6.14) xem trong
GTTV.
Các nội dung cần chú ý trong chương này:
-Mục 6.1.đã đưa ra cách tính các công thức lượng giác cầu chính xác.Người
học đối chiếu với [1] để hiệu chỉnh lại các công thức và vận dụng để giải các bài
toán chuyển đổi hệ tọa độ và tự đọc các mục sau.
40

41

Chương 7
MỘT SỐ PHÉP ĐO THIÊN VĂN CƠ BẢN
1. Xác định thời gian kinh độ và vỹ độ địa lý
1.1. Xác định thời gian chính xác
Phải hiệu chỉnh số chỉ đồng hồ T1 so với thời gian chính xác là T thì số hiệu
chỉnh là u = T - T 1, u có thể tăng hay giảm. Việc hiệu chỉnh nhờ quan sát giờ sao
địa phương s của kinh tuyến nơi quan sát s = α + t . Ta có: u = α + t - s1 với s1 là
chỉ số đồng hồ theo giờ sao. Cần phải biết xích kinh α, đo góc giờ t của sao và
ghi giờ chỉ s1 để xác định u. Khi sao qua kinh tuyến trên thì t = 0, nên s = α = u +
s1 suy ra u = s - s1.
1.2. Xác định kinh độ địa lý λ
Theo (5.8) hiệu giờ MTTB địa phương Tm 1 - Tm2= λ1 - λ2. Biết giờ địa
phương của kinh tuyến gốc T 0 thì λ = T - λ0. Việc xác định λ dựa vào λ = u - u0
trong đó u0 là số hiệu chỉnh giờ của kinh tuyến gốc.
1.3. Xác định vỹ độ địa lý ϕ và u.
Xét tam giác cầu PZS để tính ϕ và u phải sử dụng công thức (6.4):
cos z = sinϕ sin δ+ cos ϕ cos δ cos t với t = s - α, t = T1 + u - α
tùy vào điều kiện cụ thể có 3 cách đo:
1.3.1. Đo khoảng cách thiên đỉnh z (khi biết α và δ) của từng thiên thể ghi
giờ sao (T1) lúc đó và giải hệ phương trình tìm ϕ và u.
1.3.2. Quan sát thiên thể qua kinh tuyến trên (t = 0) ghi giờ T 1 sử dụng công
thức cos z = sinϕ sin δ+ cos ϕ cos δ = cos(ϕ - δ) = cos(δ - ϕ).
Nếu thiên thể đi qua kinh tuyến trên ở phía nam thiên đỉnh thì
Nếu thiên thể đi qua kinh tuyến trên ở phía bắc thiên đỉnh thì
khi đó

ϕ = δ + z.
ϕ = δ - z,

u = α - T1.

1.3.3. Quan sát 2 thiên thể cùng khoảng cách đỉnh có z như nhau và giải hệ
phương trình (6.4) cho: t = T1+ u -α.
2 . Đo đồng thời kinh độ và vỹ độ . Đo độ phương
2.1. Đo đồng thời kinh độ và vỹ độ địa lý
Biết α và δ của ngôi sao và giờ sao của nó ở kinh tuyến gốc khi đi qua thiên
đỉnh có thể xác định được kinh độ và vỹ độ của nó.
Khi sao S ở thiên đỉnh t = 0, giờ sao địa phương là

s = α. Kinh độ λ =

α - s0 còn vỹ độ ϕ = δ (do z = 0), người quan sát ở A cách B một khoảng sẽ thấy
S có khoảng cách z tại thời điểm A 1 đều có cùng trị đo là z. Nếu đo khoảng cách
z1 của sao S1 tại thời điểm S01, tương tự với z2, s2, s02 người quan sát đứng ở 1
trong 2 vòng tròn có bán kính là z1và z2 sẽ thấy ϕ1 = δ1, λ1 = α1 - S01 và ϕ2 = δ2,
42

λ2 = α2 - S02 . Do 2 điểm nằm ở khá xa nhau nên khi biết được gần đúng vị trí sẽ
suy ra mình thực sự ở giao điểm nào. (hình vẽ xem [1]).
2.2. Xác định độ phương của vật trên mặt đất
Để đo độ phương A của vật V trên mặt đất cần xác định độ phương A của
thiên thể S theo (6.5):
(tính toán cụ thể xem [1]).
3. Xác định khoảng cách và kích thước thiên thể
3.1. Đo khoảng cách
Quan sát tọa độ các thiên thể từ các vị trí khác nhau khó chính xác. Với các
thiên thể trong hệ MT, phương nhìn sao S từ một điểm trên TĐ xem là góc hợp
bởi phương nhìn nó từ tâm TĐ cho góc thị sai ngày.
Nếu ở thiên đỉnh thì thị sai ngày bằng Pz = 0. Nếu ở đường chân trời thị sai
ngày là lớn nhất = P0. Khi thiên thể ở S cho góc thị sai P.
S

Z

P0

S0

p

H 7.1.

o

R sinP
=
với
Δ sinZ

góc z = góc O vì R rất nhỏ (xem hình 7.1)

A
R

∆OAS có

∆OAS0 có

R
= sinP0 suy ra sin p = sinp0.sin z
Δ

p và p0 bé nên p = sin z.p0và ∆ = R/sin po.do

Các sao ngoài hệ MT tính theo thị sai năm π thì ∆ = q/sinπ. Người ta còn
đo bằng phương pháp vô tuyến định vị có ∆ = c.t/2.
3.2. Thị sai chân trời: (xem [1])
3.3. Xác định đơn vị thiên văn
Nếu gọi D và d là khoảng cách từ MT đến TĐ và Hỏa Tinh, còn p T và ph là
thị sai chân trời của MT và Hỏa Tinh thì d/D = 1- ( pT/ ph) có pT = 8”794.
3.4. Xác định kích thước thiên thể
(xem[1]).
Các nội dung cần chú ý trong chương này:
-Vận dụng các công thức để làm bài tập trong[2].

43