Tải bản đầy đủ
Phương trình chuyển động của bài toán hai vật

Phương trình chuyển động của bài toán hai vật

Tải bản đầy đủ

1.2.1. Định luật 2 của Keppler
Dưới tác dụng của lực hấp dẫn giữa MT (có khối lượng M) và hành tinh (có
khối lượng m), thế năng hấp dẫn là: U = −G

Mm
.
r
1
2

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì E = m v2 − G

Mm
= const. (1).
r


Mặt khác chuyển động là xuyên tâm nên L = m  r × v  = m r 2 ω = const.








Sau một khoảng thời gian dt hành tinh quay một góc dϕ quét một diện tích
dS .Ta có :dS =
Vậy

1 2
dS 1 2 dϕ 1 2
= r
= r ω.
r dϕ →
2
dt 2 dt 2

dS
L
=
= const (đ.p.c.m).
dt 2m

1.2.2. Định luật 1 Keppler
Xét bài toán trong hệ tọa độ cực có x = rcosϕ; y = r sinϕ, v2 = vr2+vϕ2 vậy

( ) ( )

dr

+ r2
v =
dt
dt
2

2

2

do đó động năng của chuyển động là:

( ) ( )

( ) ( )

2
m  dr 2 2 dϕ 2  m  dr 2
1
L 
2
+r
+
K = mv =

=

.
2  dt
2  dt
2
dt 
mr 

Thay vào (1) ta có:

( ) ( )
( )

2
m  dr 2
L  GMm
+
=E

2  dt
r
mr 
2
2
GMm 
L
E +
−
.Vậy:
m
r  mr

±

dr
=
dt

dt =

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr
dr

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr

(chú ý rằng

2

2

( ) ( )

( )

2
2
 dr 2
GMm 
L  2
dr
+
E
+


=

=

r 
mr  m 
dt
 dt

→

→ chuyển động theo 1chiều thì:
dϕ =

L
m r2

dr

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr

2


L
L

=
= r2

và quy ước chọn góc ϕ > 0) do đó:
dt m r 2
m
dt

20

L
- d 
r

dϕ =
2mE +

()

. Lấy tích phân hai vế, ta có:

2

2GM m2 L

r
r

1

2

2

GMm 2 2
GMm 2 2
2GMm 2 L  L  
ϕ =−2mE +(
) −(
) +
−  
L
L
r.L
r  




→ ϕ = −∫

(

2

(

Vậy

L GM m 2

r
L

)

2

 GM m 2 
L GM m 2
2mE + 
 − −
r
L
 r 

GM m2
A = 2mE +
L
2

(

d

ϕ = −∫

)

)

2

 L GM m2 

 và
L 
r

đặt θ = 

2

.


A −θ
2

2

= arc cos

θ
+ ϕ0.
A

Chọn ϕ0 = 0
L GM m2

r
L

ϕ = arccos

(

GM m 2
cosϕ 2mE +
L

(

(
)

GM m
2mE +
L

L
GM m 2
= cosϕ 2mE +
r
L

)

2

2

+

=

2

)

2

hay cos ϕ =

L GM m2


r
L

GM m2

L

21

L GM m 2

r
L

(

GM m2
2mE +
L

)

2



L 
.d 
r 

r=

L
L
GM m 2
 GM m2
 L
+ cosϕ ... 

2
 L
 GM m

L2
GMm 2

=

2
1 + cosϕ . 2mE +  GMm
 L








2

2 
 L  
.
2 
 GMm  


L2
GMm 2
=
.
2EL2
1 + cosϕ .
+1
G 2M 2m3

Vậy r =

2
p
L
, trong đó p =
và e =
1 + e.cosϕ
GM m2

2E L2
2

2

G M m

3

+1

Đó là phương trình đường conic trong tọa độ cực, cho thấy:
- Khi e < 1 (năng lượng E < 0) quỹ đạo chuyển động của thiên thể là
đường elip (nếu e = 0 sẽ cho quỹ đạo tròn).
- Khi e = 1(E = 0) quỹ đạo là đường parabol.
- Khi e > 1 (E > 0) quỹ đạo là đường hypecbol.
Các hành tinh chuyển động quay xung quanh MT (trừ Thủy Tinh) đều có
quỹ đạo gần tròn tức là tâm sai rất bé.
TĐ và Tr cùng chuyển động quay quanh MT với khối tâm chung có tâm
sai e = 0,017. Các vệ tinh chuyển động quay quanh hành tinh cũng có quỹ đạo
gần tròn.
Hầu hết các sao chổi có quỹ đạo quay quanh MT là elip dẹt, một số trường
hợp do nhiễu loạn, có quỹ đạo hypecbol bay ra khỏi hệ MT.
1.2.3. Định luật 3 Keppler
Khi khảo sát 2 định luật trên ta có dS/dt = L/2m, mặt khác biết diện tích elip
là S = πab và chu kỳ là T ta có dS/dt = πab/T.
Vậy (L/2m)2 = (πab)2/T2 suy ra (L/m)2 = (2πab/T)2 = pGM = GM.b2/a.
(vì p = a(1 - e2) = b2/a và M = m + mo).
Kết quả cho: T2(m+mo)/a3 = 4π2/G = const.
Với 2 hành tinh khối lượng m 1, m2 chuyển động quay quanh MT(khối
lượng M), theo công thức tổng quát của định luật 3, ta có: T 12(M+m1)/a13 =
4π2/G = T22(M+m2)/a23, suy ra:
T12(M+m1) / T22(M+m2) = a13/a23.
Do m1, m2 << M nên T12/T22 = a13/a23.

22

Công thức này cho ta xác định được khối lượng các thiên thể khi biết chu
kỳ và bán trục lớn của quỹ đạo chuyển động.
2. Nhiễu loạn chuyển động
Bài toán 2 vật mới chỉ kể đến sự tương tác của 2 vật thể có khối lượng.
Thực tế, có nhiều vật thể trong một không gian tương tác lẫn nhau, do đó quy
luật chuyển động của nhiều vật phức tạp hơn nhiều.
Xét một hành tinh a trong hệ MT, rõ ràng nó không chỉ chịu lực hấp dẫn
với MT mà còn tham gia vào quá trình tương tác với các hành tinh khác. Khi đó
phương trình chuyển động là:
⋅⋅

ma

→

ra

=− G

Mm a →
Gm b ⋅ m a → trong đó → → → là véc tơ
r

rab
r ab = r a − r b

aM
3
b≠a
raM
rab3

hướng từ b sang a.
⋅⋅

Ta có phương trình chuyển động là:
⋅⋅

Với MT thì:

→

rM

=− G

→

ra

=− G

Gm b → (1).
M →
r

∑ 3 rab
aM
3
b≠a r
raM
ab



ma →
Gm b → (2) với →
=

r

r
r
r
r

aM
a
M
aM
bM
3
3
b≠a r
raM
bM

Trừ (1) cho (2), ta được:
⋅⋅

→

raM

→ 
 →
M + ma →
rbM 
 rab
=− G
raM − ∑ Gmb  3 +
3
3  (3) là biểu thức cho ta xác
b≠a
raM
rbM 
r
 ab


định lực tác dụng lên một hành tinh nào đó.
Xét 2 số hạng vế phải của (3) ta thấy:
Số hạng thứ nhất đóng vai trò chủ yếu do M >> m a , hơn nữa khoảng cách


giữa các hành tinh rất nhỏ so với r aM .
Khi tính toán gần đúng số hạng thứ hai đóng vai trò nhiễu loạn chỉ bổ sung
cho kết quả gần đúng hơn.
Từ (3) cho ta 2 nhận xét sau:
- Vế phải của (3) có tổng M + ma thể hiện đúng với định luật 3 Keppler:
a3/T2 = G(M+ma) /4π2.
- Năm 1781, Hershell phát hiện ra Thiên Vương Tinh, sau đó Le Verier trên
cơ sở tính toán nhiễu loạn của quỹ đạo chuyển động Thiên Vương Tinh chỉ ra vị
trí có thể có của hành tinh mới. Năm 1846 Galê (Đức) đã phát hiện ra Hải Vương
Tinh, và năm 1900 người ta đã phát hiện ra 8 vệ tinh của nó. Đến năm 1930 mới
phát hiện ra Diêm Vương Tinh do nó nhiễu loạn không đáng kể lên Hải Vương
Tinh, hơn nữa khoảng cách ở xa và khối lượng nhỏ.
23

Người ta còn phát hiện ra khoảng cách từ TĐ đến các hành tinh và MT tuân
theo quy luật sau (sẽ được đề cập đến ở chương 10):
Thủy
0+4=

Kim
3+4=


10

Hỏa
-12+4= 28

Mộc
52

Thổ
100

TV
196

HV
388

DV
772

3,9
7,3
10
15,2
27,7
52
95,4
192
301
398
Ở đây quy ước 1 đ.v.t.v = 10.
3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và các trạm vũ trụ
Để có chuyển động tròn quanh TĐ thì ght = ghd tức là v2/R = GM/r2 suy ra
v2 = GM/(R+h) và tính được vI = 7,91km/s là tốc độ vũ trụ cấp 1.
Vệ tinh bắn ra khỏi TĐ khi tốc độ tối thiểu phải có để sao cho E = 0, khi đó
nó chuyển động theo quỹ đạo parabol:
vì E =

mv 2
Mm
2GM
−G
= 0 suy ra v 2 =
→ v II =
2
r
r

2GM
= 11,2km/s .
r

Để thoát không còn là vệ tinh của TĐ, trạm vũ trụ phải có vận tốc ban đầu
lớn hơn 11,2km/s cho đến khi vượt khỏi vòng cầu tác dụng của TĐ và chưa đi
vào vòng cầu tác dụng của thiên thể khác.
Một vật khối lượng m so với vật khối lượng m 1 thì hình cầu tác dụng là
khoảng không gian bao quanh nó thỏa mãn điều kiện (∆g/g) < (∆g1/g1) trong đó
∆g, ∆g1 là gia tốc nhiễu loạn do m, m 1 gây ra; r là khoảng cách giữa m và m 1. Do
2

5
đó, ta suy ra bán kính tác dụng là ρ = r m  với ρĐT = 930000km, ρĐtr =
m 
 1

66000km.
Trạm vũ trụ muốn thoát khỏi ảnh hưởng của TĐ hướng về MT thì khi ở độ
cao h, vận tốc ban đầu phải thoả mãn điều kiện: vo2 =

2GM 2E
+
(suy từ phần trên
R+h m

với R+h = r). Để tiến tới khoảng cách r =ρ (bán kính hình cầu tác dụng của TĐ)
thì vận tốc nhật tâm của trạm vũ trụ cần đạt vận tốc quay tính theo công thức
vx =
2

2GM 2E
 1
1
+
−  với ρ >> R+h.
. Do đó, v02 − v2x = 2GM
ρ
m
R +h ρ

Ta có v02 − v2x ≈ v2p =

2GM
→ v 0 = v2p + v2x .
R

Biết vận tốc quay của TĐ là 29,8km/s thì để đạt tới quỹ đạo parabol (E = 0)
tối thiểu vp = vđ 2 = 42,1km/s.Nếu trạm muốn thoát khỏi hệ MT thì v =
42,1km/s, khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
- vx = vp với vxmin = vp - vđ = 12,3km/s;
24