Tải bản đầy đủ
Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Tải bản đầy đủ

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

516

7.3

7.2.6

- i.nh l´
D
y Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

7.2.7

- .inh l´
ac . . . . . . . 553
anh xa. ba’o gi´
y duy nhˆ
a´t cu’a ´
D

7.2.8

Su.. tu.o.ng u
´.ng gi˜
u.a c´
ac biˆen v`
a cˆ
ong th´
u.c
Christoffel-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

B`
ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

560

T`
ai liˆ
e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

563

Trong chu.o.ng II ta d˜a l`am quen v´o.i su.. mˆo ta’ h`ınh ho.c c´ac t´ınh chˆa´t
`e co. ba’n cu’a qu´a
u.ng vˆa´n dˆ
chı’nh h`ınh cu’a h`am biˆe´n ph´
u.c. Mˆo.t trong nh˜
u.u c´ac h`am chı’nh h`ınh b˘`ang c´ach xuˆa´t ph´at t`
tr`ınh d´o l`a viˆe.c nghiˆen c´
u. c´ac
´anh xa. thu..c hiˆe.n bo’.i c´ac h`am ˆa´y. C´ac ´anh xa. ˆa´y l`a ba’o gi´ac ta.i mo.i diˆe’m
u. d´o ta c˜
ung c´o thˆe’ thu du.o..c nh˜
u.ng v´ı
m`a h`am c´o da.o h`am kh´ac khˆong. T`
`e c´ac ´anh xa. ba’o gi´ac minh ho.a vˆ
`e m˘a.t h`ınh ho.c mˆo.t h`am
du. kh´ac nhau vˆ
d˜a cho n`ao d´o.
`e du.o..c quan tˆam ho.n ca’ v`a c˜
Tuy nhiˆen, trong thu..c tˆe´ vˆa´n dˆ
ung l`a vˆa´n
.
.
.
.
`e kh´o kh˘an ho n ca’ l`a b`ai to´an ngu o. c - go.i l`a b`
ai to´
an co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t

.
.
.
anh xa. ba’o gi´
´
ac. B`ai to´an d´o du o. c d˘a.t ra nhu sau:
`en
`en D v`a D∗ cu’a C. H˜ay t`ım h`am ´anh xa. ba’o gi´ac miˆ
Gia’ su’. cho hai miˆ
`en kia.
n`ay lˆen miˆ
`e tˆ
`on ta.i h`am ´anh xa. ba’o gi´ac
u.u vˆa´n dˆ
Trong chu.o.ng n`ay ta s˜e nghiˆen c´
.
.
.
.
.
`en D v`a D∗ do.n liˆen. Cu. thˆe’ l`a
dˆo´i v´o i tru `o ng ho. p do n gia’n nhˆa´t khi hai miˆ
`en do.n liˆen v´
y Riemann kh˘a’ng di.nh r˘`ang mo.i miˆ
o.i
ta s˜e ch´
u.ng minh di.nh l´
`eu c´
o thˆe’ ´
anh xa. ba’o gi´
ac lˆen h`ınh tr`
on mo’. cu’a
a´t hai diˆe’m dˆ
biˆen ch´
u.a ´ıt nhˆ
C.

7.1


ac kh´
ai niˆ
e.m chung

Kh´ai niˆe.m ´anh xa. ba’o gi´ac d˜a du.o..c di.nh ngh˜ıa trong 2.3. Trong mu.c n`ay ta
s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m chung cu’a l´
y thuyˆe´t ´anh xa. ba’o gi´ac c`
ung v´o.i
mˆo.t v`ai t´ınh chˆa´t chung cu’a c´ac ´anh xa. ˆa´y.

7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung

7.1.1

517

H`
am do.n diˆ
e.p

`en d˜a du.o..c dˆ
`e cˆa.p dˆe´n trong chu.o.ng
Kh´ai niˆe.m h`am do.n diˆe.p trong mˆo.t miˆ
I. Bˆay gi`o. ta du.a v`ao kh´ai niˆe.m h`am do.n diˆe.p ta.i mˆo.t diˆe’m v`a nghiˆen c´
u.u
mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a l´o.p h`am n`ay m`a qua d´o ta s˜e thˆa´y r˜o t´ınh chˆa´t di.a
phu.o.ng cu’a ´anh xa. chı’nh h`ınh c´o da.o h`am = 0.
- i.nh ngh˜ıa 7.1.1. H`am F (z) du.o..c go.i l`a do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0 nˆe´u h`am ˆa´y
D
do.n diˆe.p trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m z0.
`en
`en th`ı do.n diˆe.p ta.i mo.i diˆe’m cu’a miˆ
Hiˆe’n nhiˆen, h`am do.n diˆe.p trong miˆ
.
.
`eu kh˘a’ng di.nh ngu o. c la.i n´oi chung l`a khˆong d´
ung. Thˆa.t vˆa.y, h`am
ˆa´y. Diˆ
f (z) = ez do.n diˆe.p ta.i mo.i diˆe’m z = ∞ nhu.ng f khˆong do.n diˆe.p trong C v`ı
∀ zk = a + 2kπi,

`eu c´o f (zk ) = ea.
k ∈ Z ta dˆ

Bˆay gi`o. ta x´et tiˆeu chuˆa’n dˆe’ h`am do.n diˆe.p ta.i mˆo.t diˆe’m.
- i.nh l´
`en D ⊂ C l`
D
y 7.1.1. H`
am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ
a do.n diˆe.p ta.i
a chı’ khi f (z0 ) = 0.
diˆe’m z0 ∈ D khi v`
`an ch´
Ch´
u.ng minh. 1. Gia’ su’. f do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0. Ta cˆ
u.ng minh f (z0 ) =
2.
0. Ta gia’ su’. ngu.o..c la.i: f (z0) = · · · = f (p−1)(z0 ) = 0; f (p) (z0) = 0, p
y luˆa.n nhu. trong ch´
u.ng minh t´ınh ba’o to`an
B˘`ang c´ach ´ap du.ng phu.o.ng ph´ap l´
y 4.4.3) ta s˜e cho.n h`ınh tr`on U (z0 , r) = {|z − z0| r} ⊂ D
tˆa.p mo’. (4.4 di.nh l´
ung nhu. khˆong c´o c´ac khˆong
sao cho trong d´o khˆong c´o w0 - diˆe’m cu’a h`am f c˜
- diˆe’m cu’a da.o h`am ngo`ai tˆam z0 cu’a n´o (ta la.i su’. du.ng t´ınh chˆa´t c´o tˆa.p cu’a
c´ac khˆong diˆe’m) v`a ta c´o
p=

f (ζ)dζ
,
f (ζ) − w0

1
2πi

w0 = f (z0 ).

∂U

T`
u. di.nh ngh˜ıa chı’ sˆo´ mˆo.t diˆe’m dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong (xem 4.4) ta thˆa´y r˘`ang
`an w0 (ch˘a’ng ha.n
trong tru.`o.ng ho..p n`ay J (w, ∂U ) b˘`ang p v´o.i mo.i w du’ gˆ
`eu d´o ch´
u.ng to’ r˘a`ng trong h`ınh tr`on U (z0 , r) h`am f nhˆa.n
|w − w0 | < µ). Diˆ
`an (v`ı h`am f nhˆa.n gi´a tri. w0 dˆe´n p lˆ
`an). V`ı
gi´a tri. w1, |w1 − w0 | < µ, dˆe´n p lˆ

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

518

f (z) = 0 ta.i mo.i z ∈ {S(z0, r) \ {z0}} nˆen h`am f s˜e nhˆa.n gi´a tri. w1 bˆa´t k`
y
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a f khˆong
ta.i p diˆe’m kh´ac nhau trong h`ınh tr`on S(z0.r). Diˆ
`eu d´o mˆau thuˆ˜a n v´o.i gia’ thiˆe´t.
do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0. Diˆ
`on ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n diˆe’m z0 m`a ta.i
u.ng minh r˘`ang tˆ
2. Ngu.o..c la.i, ta s˜e ch´
d´o h`am do.n diˆe.p. Ta x´et lˆan cˆa.n U (z0 , r) = {|z − z0| < r} cu’a diˆe’m z0 sao
cho U (z0, r) ⊂ D v`a
a) f (z0) = 0 trong U (z0, r),
b) h(z) = f (z) − f (z0 ) = 0, ∀ z ∈ {U (z0, r) \ {z0 }}.
.
(t´
u c l`a f (z) − f (z0) c´o khˆong diˆe’m duy nhˆa´t z0 ; v`ı khˆong diˆe’m cu’a h`am chı’nh
`on ta.i).
h`ınh cˆo lˆa.p nˆen lˆan cˆa.n d´o tˆ
Khi d´o ta c´o Nh (U ) = 1 (v`ı khˆong diˆe’m duy nhˆa´t cu’a h`am f (z) − f (z0)
c´o cˆa´p b˘`ang 1) v`a Nh (∂U ) = 0. Gia’ su’. λ = minz∈∂U |f (z) − f (z0 )| v`a
`an f (z0 ) sao cho w1 ∈ V .
V = {w : |w − f (z0 )| < λ}. Gia’ su’. w1 l`a diˆe’m du’ gˆ
Ta x´et biˆe’u th´
u.c
f (z) − w1 = (f (z) − w0) + (w0 − w1),

w0 = f (z0 ).

V`ı |f (z) − w0| > λ, ∀ z ∈ ∂U v`a |w1 − w0 | < λ nˆen
|f (z) − w1 |

|f (z) − w0 | − |w1 − w0| > 0,

∀ z ∈ ∂U.

`eu kiˆe.n cu’a di.nh
T`
u. d´o suy ra r˘`ang f (z) − w1 v`a f (z) − w0 tho’a m˜an c´ac diˆ
`eu d´o ch´
u.ng to’ r˘a`ng

y Rouch´e. Do d´o Nf −w1 (U ) = Nf −w0 (U ) = 1. Nhu.ng diˆ
`an trong U . Do d´o trong h`ınh tr`on V tˆ
`on
h`am f (z) − w1 chı’ triˆe.t tiˆeu mˆo.t lˆ
.
.
.
`en U ∩ g(V )
ta.i h`am do n tri. g(z) l`a h`am ngu o. c cu’a f (z). Khi d´o trong miˆ
y du.o..c ch´
u.ng minh.
ch´
u.a diˆe’m z0 h`am f (z) do.n diˆe.p. Di.nh l´

e. qua’ 7.1.1. H`
am chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z = ∞
f (z) = a0 +

a1
+ ...,
z

|z| > R

l`
a do.n diˆe.p ta.i d´
o khi v`
a chı’ khi
a−1 = −Res[f ; ∞] = 0.

7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung

519

Ch´
u.ng minh. Ta x´et h`am chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ζ = 0
ϕ(ζ) = f

1
ζ

= a0 + a−1 ζ + a−2 ζ 2 + . . . ,

|ζ| <

1
·
R

1
´anh xa. do.n tri. mˆo.t - mˆo.t lˆan cˆa.n {|z| > R} cu’a diˆe’m ∞ lˆen lˆan
z
cˆa.n {|ζ| < 1/R} cu’a diˆe’m ζ = 0. Do d´o h`am f (z) do.n diˆe.p ta.i ∞ khi v`a chı’
khi h`am ϕ(ζ) do.n diˆe.p ta.i diˆe’m ζ = 0 (v`a theo di.nh l´
y 7.1.1) t´
u.c l`a khi v`a
chı’ khi
H`am ζ =

ϕ (0) = a−1 = 0.


e. qua’ 7.1.2. H`
am f (z) c´
o cu..c diˆe’m ta.i z0 (h˜
u.u ha.n ho˘
a.c vˆ
o ha.n) l`
a do.n
a´y khi v`
a chı’ khi z0 l`
a cu..c diˆe’m do.n.
diˆe.p ta.i diˆe’m ˆ
1
´ du.ng di.nh l´
nˆe´u z0 = ∞ v`a hˆe. qua’
y 7.1.1 cho h`am
Ch´
u.ng minh. Ap
f (z)
7.1.1 nˆe´u z0 = ∞.
V´ı du. 1. Nˆe´u z0 l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u cu’a h`am f (z) th`ı f khˆong do.n
y Picard, trong lˆan cˆa.n bˆa´t k`
y cu’a
diˆe.p ta.i diˆe’m z0 . Thˆa.t vˆa.y, theo di.nh l´
diˆe’m z0 - phu.o.ng tr`ınh f (z) = c c´o vˆo sˆo´ nghiˆe.m dˆo´i v´o.i mo.i gi´a tri. c, c´o thˆe’
tr`
u. ra mˆo.t gi´a tri.. Do d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p ta.i z0.
u.ng cu..c diˆe’m cu’a
u. ra hai diˆe’m z1 , z2 l`a nh˜
V´ı du. 2. Gia’ su’. f (z) ∈ H(D) tr`
n´o. Khi d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p trong D. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u |c| l`a sˆo´ du’ l´o.n th`ı
`an zj .
phu.o.ng tr`ınh f (z) = c c´o ´ıt nhˆa´t hai nghiˆe.m z1 v`a z2 trong d´o zj du’ gˆ
Do d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p trong D.
- i.nh l´
D
y 7.1.2. Nˆe´u h`
am w = f (z) do.n diˆe.p trong D, c`
on F (w) do.n diˆe.p
am ϕ = F (f (z)) do.n diˆe.p trong D.
trong D th`ı h`
u. d˘a’ng th´
u.c F (f (z1)) =
Ch´
u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v`ı F do.n diˆe.p trong D nˆen t`
F (f (z2)) suy ra f (z1) = f (z2 ) v`a v`ı f do.n diˆe.p trong D nˆen z1 = z2 .

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

520

- i.nh l´
`en D khˆ
D
y 7.1.3. Gia’ su’. w = f (z) chı’nh h`ınh do.n diˆe.p trong miˆ
ong
ch´
u.a diˆe’m ∞. Khi d´
o h`
am ngu.o..c z = ϕ(w) c˜
ung chı’nh h`ınh do.n diˆe.p trong
D∗ (D∗ = f (D)).
`on ta.i h`am ngu.o..c du.o..c suy t`
Ch´
u.ng minh. 1. Su.. tˆ
y 7.1.1.
u. di.nh l´
2. H`am ϕ(w) do.n tri.. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u z1 = z2 l`a hai gi´a tri. cu’a w0 ∈ D
`eu n`ay mˆau thuˆa˜ n v´o.i t´ınh do.n diˆe.p
th`ı ta pha’i c´o f (z1 ) = f (z2) = w0 . Diˆ
cu’a f (z).
3. H`am ϕ(w) l`a do.n diˆe.p. Nˆe´u ϕ(w1 ) = ϕ(w2) = z0 , trong d´o w1 = w2
th`ı ta c´o
f (z0 ) = w1 ,

f (z0 ) = w2.

`eu n`ay mˆau thuˆ˜a n v´o.i t´ınh do.n tri. cu’a f (z).
Nhu.ng diˆ
4. H`am ϕ(w) liˆen tu.c. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. w0 ∈ D v`a ϕ(w0 ) = z0. Khi d´o
mˆo˜ i diˆe’m w ∈ {|w − w0 | < µ} s˜e l`a gi´a tri. cu’a f (z) ta.i diˆe’m z n`ao d´o n˘a`m
trong h`ınh tr`on U (z0 , r) = {|z−z0| r}. N´oi c´ach kh´ac z = ϕ(w ) ∈ U (z0 , r)
uy y
´, ta cho.n sˆo´ r < ε. Khi d´o
nˆe´u w ∈ {|w − w0| < µ}. Do d´o v´o.i ε > 0 t`
´.ng v´o.i n´o ta s˜e c´o
dˆo´i v´o.i sˆo´ µ = µ(r) tu.o.ng u
|ϕ(w ) − ϕ(w0 )| < r < ε,

|w − w0 | < µ.

Do d´o ϕ(w ) liˆen tu.c.
`e c`on la.i l`a ch´
u.ng to’ ϕ(w) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m w0 ∈ D∗ bˆa´t k`
y.
Vˆa´n dˆ
Gia’ su’. ϕ(w0) = z0 . Khi d´o v`ı f do.n diˆe.p nˆen ∆w = 0 khi ∆z = 0 v`a do
`on ta.i da.o h`am ϕ (w) ta.i mo.i diˆe’m thuˆo.c {|w − w0 | < µ} v`a
d´o suy ra su.. tˆ
1
·
ϕ (w) =
f (z)
Mˆo´i liˆen hˆe. gi˜
u.a ´anh xa. ba’o gi´ac v`a h`am do.n diˆe.p du.o..c thˆe’ hiˆe.n trong
di.nh l´
y sau dˆay.
´ xa. chı’nh h`ınh
- i.nh l´
D
y 7.1.4. Anh
w = f : D → D∗
l`
a ba’o gi´
ac khi v`
a chı’ khi f do.n diˆe.p trong D.

7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung

521

Ch´
u.ng minh. 1. Gia’ su’. f : D → D∗ l`a ´anh xa. ba’o gi´ac, khi d´o f do.n tri.
mˆo.t - mˆo.t v`a do d´o n´o do.n diˆe.p.
`an ch´
u.ng minh r˘`ang f l`a ´anh
2. Ngu.o..c la.i, gia’ su’. h`am f do.n diˆe.p. Ta cˆ
xa. ba’o gi´ac ta.i mo.i diˆe’m z ∈ D. V`ı f do.n diˆe.p nˆen f (z0 ) = 0 ∀ z ∈ D. Do
y du.o..c r´
ut ra t`
u. chˆ˜o l`a
d´o nˆe´u z0 = ∞, v`a f (z0) = ∞ kˆe´t luˆa.n cu’a di.nh l´
f (z0) = 0. Gia’ su’. z0 = ∞ v`a f (z0 ) = ∞. Khi d´o
w = f (z) =

A−1
+ A0 + A1(z − z0) + . . . ,
z − z0

A−1 = 0

v`a
w=

1
1
=
= a1 (z − z0 ) + . . . ,
w
f (z)
1
dw
a1 =
=
= 0.
A−1
dz z=z0

1
V`ı ´anh xa. w =
ba’o gi´ac ta.i diˆe’m z0 nˆen ´anh xa. w = f (z) c˜
ung ba’o gi´ac
f (z)
ta.i diˆe’m d´o.
`e tru.`o.ng ho..p d˜a x´et b˘a`ng c´ach d˘a.t
Tru.`o.ng ho..p z0 = ∞ c´o thˆe’ du.a vˆ
1
z = . C´o thˆe’ xa’y ra hai kha’ n˘ang:
z
a) f (∞) = ∞. Khi d´o
w=f

1
z

= A0 + A1z + . . . ,

A1 = 0.

b) f (∞) = ∞. Khi d´o
w=f =

1
z

=

A−1
+ A0 + A1z + . . . ,
z

A−1 = 0.

`eu v`
`eu kiˆe.n
Nhˆ
a.n x´et 7.1.1. T`
u. diˆ
u.a tr`ınh b`ay trˆen dˆay suy ra r˘a`ng c´ac diˆ
.
.
`eu kiˆe.n cˆ
`an dˆe’ h`am f do n diˆe.p trong miˆ
`en D:
u ng diˆ
sau dˆay l`a nh˜
`en D c´o thˆe’ tr`
1. H`am f chı’nh h`ınh trong miˆ
u. ra mˆo.t diˆe’m l`a cu..c diˆe’m
do.n cu’a f .

522

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

2. Ta.i mˆo˜ i diˆe’m h˜
u.u ha.n z0 ∈ D (m`a ta.i d´o f chı’nh h`ınh) h`am f tho’a
`eu kiˆe.n f (z0) = 0.
m˜an diˆ
`eu kiˆe.n
3. Nˆe´u z0 = ∞ ∈ D v`a f chı’nh h`ınh ta.i z0 th`ı f pha’i tho’a m˜an diˆ
c−1 = −Res[f ; ∞] = 0.
`eu kiˆe.n 1) - 3) khˆong pha’i l`a
Ta nhˆa´n ma.nh la.i r˘a`ng n´oi chung c´ac diˆ
`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am f do.n diˆe.p. C´ac diˆ
`eu kiˆe.n du’ du.o..c x´et trong tiˆe´t
nh˜
u.ng diˆ
sau.

7.1.2

- iˆ
`eu kiˆ
e.n du’ dˆ
am do.n diˆ
e.p
D
e’ h`

Su’. du.ng nguyˆen l´
y sau dˆay l`a nh˜
u.ng
y acgumen ta s˜e ch´
u.ng minh hai di.nh l´
`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am do.n diˆe.p trong miˆ
`en D. Ta lu.u y
´ r˘a`ng trong mˆo.t sˆo´
diˆ
´.ng mˆ
o.t s´ach gi´ao khoa, c´ac di.nh l´
y n`ay c`on du.o..c go.i l`a nguyˆen l´y tu.o.ng u

o.t.
- i.nh l´
`en do.n liˆen bi. ch˘
D
y 7.1.5. Gia’ su’. 1) D l`
a miˆ
a.n (ho˘
a.c khˆ
ong bi. ch˘
a.n
.
.
.
.
a du `
o ng cong d´
o i biˆen γ l`
ong Jordan; 2) f ∈ H(D) v`
a
ch´
u a diˆe’m ∞) v´
o.ng cong
ong quanh γ th`ı diˆe’m w = f (z) va.ch nˆen du.`
f ∈ C(D); 3) khi z v`

ong Jordan Γ.
`en D v`
`en D lˆen
o h`
am f do.n diˆe.p trong miˆ
a ´
anh xa. ba’o gi´
ac miˆ
Khi d´
`en bi. ch˘
o.i biˆen Γ.
miˆ
a.n D∗ v´
`an ch´
u.ng minh r˘`ang
Ch´
u.ng minh. Ta cˆ
`on ta.i mˆo.t diˆe’m z0 ∈ D sao cho
1. Dˆo´i v´o.i mˆ˜o i diˆe’m w1 ∈ D∗ chı’ tˆ
u.c l`a F1 (z) = f (z) − w1 c´o d´
ung mˆo.t khˆong - diˆe’m trong D.
f (z) = w1 , t´
u.c
2. Dˆo´i v´o.i diˆe’m w2 ∈ D∗ h`am f (z) khˆong nhˆa.n gi´a tri. w2 ∀ z ∈ D, t´
l`a F2(z) = f (z) − w2 khˆong c´o khˆong diˆe’m trong D.
y hiˆe.u sˆo´ w1 - diˆe’m cu’a h`am f trong D l`a
Ta ch´
u.ng minh 1). Ta k´
.
Nf (D; w1 ) v`a gia’ su’ diˆe’m z v`ong quanh γ theo hu.´o.ng du.o.ng. Khi d´o diˆe’m
w = f (z) s˜e v`ong quanh Γ, ho˘a.c theo hu.´o.ng du.o.ng, ho˘a.c theo hu.´o.ng ˆam.
u. nhˆa´t vecto. F1 = f (z) − w1 quay du.o..c mˆo.t g´oc b˘a`ng
Trong tru.`o.ng ho..p th´

7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung

523

2π v`a
1
∆γ arg(f (z) − w1 )

1
∆Γ(w − w1 ) = 1
=


NF1 (D; w1 ) =

ngh˜ıa l`a F1 c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m trong D. Trong tru.`o.ng ho..p th´
u. hai vecto.
F1 quay du.o..c g´oc - 2π v`a do d´o NF1 (D; w1 ) = −1 v`a F1 c´o tr`
u. mˆo.t khˆong
`eu n`ay khˆong thˆe’ xa’y ra. T`
diˆe’m trong D. Diˆ
u. d´o suy ra: th´
u. nhˆa´t khi z
v`ong quanh γ theo hu.´o.ng du.o.ng th`ı du.`o.ng cong Γ du.o..c v`ong quanh theo
`en D.
u. hai h`am f (z) − w1 c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m trong miˆ
hu.´o.ng du.o.ng; v`a th´
`eu v`
u.a ch´
u.ng minh 2). R˜o r`ang l`a t`
u. diˆ
u.ng minh suy ra
Bˆay gi`o. ta ch´
NF2 (D; w2 ) = 0 ∀ w2 ∈ D∗
v`ı trong tru.`o.ng ho..p n`ay vecto. F2 = f (z) − w2 khˆong nhˆa.n mˆo.t gia sˆo´
y
acgumen n`ao. Do d´o h`am F2 (z) khˆong c´o khˆong - diˆe’m o’. ngo`ai D. Di.nh l´
.
.
.
u ng minh.
du o. c ch´
- i.nh l´
`en do.n liˆen bi. ch˘
D
y 7.1.6. Gia’ su’.: 1) D l`
a miˆ
a.n (ho˘
a.c khˆ
ong bi. ch˘
a.n
o.i biˆen γ l`
ong Jordan; 2) f ∈ H(D \ {z0 })
a du.`
o.ng cong d´
ch´
u.a diˆe’m ∞) v´
.
a´t cu’a f trong D;
o z0 l`
a cu. c diˆe’m do.n duy nhˆ
v`
a f ∈ C(D \ {z0 }), trong d´
3) khi z v`
ong quanh biˆen γ th`ı diˆe’m w = f (z) va.ch nˆen du.`
ong
o.ng cong d´

`an ngo`
`an trong D∗ v`
a phˆ
ai D∞
; 4) o’. trong D h`
am f
Jordan Γ gi´
o.i ha.n phˆ

ao d´
o.
khˆ
ong nhˆ
a.n gi´
a tri. w0 ∈ D n`

.
o h`
am f do n diˆe.p trong D v`
.

anh xa. ba’o gi´
ac D lˆen D∞
Khi d´

. Khi diˆe’m z v`ong quanh γ acgumen
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. diˆe’m w1 ∈ D∞
´ du.ng nguyˆen l´
cu’a vecto. F1 = F (z) − w1 khˆong nhˆa.n mˆo.t gia sˆo´ n`ao. Ap
y
acgumen ta c´o

1
∆γ arg{f (z) − w1 }

1
∆Γ arg{w − w1} = 0.
=


NF1 (D) − 1 =

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

524

Do d´o sˆo´ khˆong - diˆe’m v`a sˆo´ cu..c diˆe’m cu’a h`am f (z) − w1 trong D l`a b˘a`ng
nhau. T`
u. d´o suy ra n´o c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m.
Bˆay gi`o. gia’ su’. w2 ∈ D∗ . Khi d´o acgumen cu’a vecto. F2 = f (z) − w2 nhˆa.n
u.
gia sˆo´ ho˘a.c 2π ho˘a.c −2π khi diˆe’m z v`ong quanh γ. Trong tru.`o.ng ho..p th´
nhˆa´t ta c´o
1
∆Γ arg{w − w2 } = 1

⇒ NF2 (D) = 2

NF2 (D) − 1 =

`eu d´o khˆong thˆe’ xa’y ra v`ı
ngh˜ıa l`a F2 c´o hai khˆong diˆe’m trong D. Nhu.ng diˆ
`eu kiˆe.n 4 cu’a di.nh l´
y).
khi w2 = w0 n´o khˆong c´o mˆo.t khˆong diˆe’m n`ao (theo diˆ
.
.
.
.
.
.
.
.
u hai. Trong tru `o ng ho. p n`ay ta c´o
Nhu vˆa.y chı’ c`on la.i tru `o ng ho. p th´
1
∆Γ arg{w − w2 } = −1

⇒ NF2 (D) = 0

NF2 (D) − 1 =

y du.o..c ch´
u.ng minh.

u.c l`a F2 khˆong c´o khˆong diˆe’m trong D. Di.nh l´

7.1.3

o.i tu. cu’a d˜
ay h`
am do.n diˆ
e.p
Su.. hˆ

N´oi chung kˆe´t qua’ cu’a c´ac ph´ep to´an da.i sˆo´ trˆen l´o.p c´ac h`am do.n diˆe.p l`a
nh˜
u.ng h`am khˆong do.n diˆe.p. Ngu.o..c la.i, ph´ep to´an qua gi´o.i ha.n c´ac d˜ay h`am
u. mˆo.t tru.`o.ng ho..p d˘a.c biˆe.t).
do.n diˆe.p la.i cho ta h`am do.n diˆe.p (tr`
`e t´ınh do.n diˆe.p cu’a h`am gi´o.i ha.n.
y sau dˆay vˆ
Ta c´o di.nh l´
- i.nh l´
`en thuˆ
D
y 7.1.7. Gia’ su’.: 1) D l`
a
a miˆ
o.c C; 2) fn (z) n = 1, 2, . . . l`

.
.
`eu trˆen
am chı’nh h`ınh do n diˆe.p trong D; 3) D˜
ay fn n=1 hˆ
o.i tu. dˆ
nh˜
u ng h`
.
´c cu’a miˆ
`en D; 4) f (z) = limn fn (z) ≡ const trong D.
a
t`
u ng comp˘
`en D.
o h`
am f chı’nh h`ınh v`
a do.n diˆe.p trong miˆ
Khi d´
`en D.
Ch´
u.ng minh. Theo di.nh l´
y Weierstrass h`am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ
.
.
`an ch´
Ta cˆ
u ng minh r˘`ang h`am f do n diˆe.p trong D.
`on ta.i c´ac diˆe’m z1 , z2 ∈ D,
Gia’ su’. h`am f khˆong do.n diˆe.p trong D. Khi d´o tˆ
u.ng h`ınh tr`on
z1 = z2 sao cho f (z1) = f (z2) = a. Gia’ su’. Uk , k = 1, 2 l`a nh˜

7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung

525

v´o.i tˆam ta.i diˆe’m zk , k = 1, 2 sao cho U k ⊂ D, k = 1, 2. C´o thˆe’ cho r˘a`ng
U1 ∩ U2 = ∅ v`a Nf −a (Uk ) = 1 v`a Nf −a (∂Uk ) = 0 v´o.i k = 1, 2. Ta d˘a.t
λ = min |f (z) − a|,
z∈Γ

`eu cu’a d˜ay h`am
trong d´o Γ = ∂U1 ∪ ∂U2. R˜o r`ang l`a λ > 0. Do t´ınh hˆo.i tu. dˆ
´
fn dˆe´n h`am f trˆen Γ nˆen ∃N ∈ N: |fn (z) − f (z)| < λ, ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ. Ap
y Rouch´e ta thu du.o..c
du.ng di.nh l´
Nfn −a (Uk ) = N(f −a)−(f −fn )(Uk )
= Nf −a (Uk ) = 1,

k = 1, 2.

`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a v´o.i n > N h`am fn nhˆa.n gi´a tri. a ca’ o’. trong U1 lˆa˜ n trong
Diˆ
`e t´ınh do.n diˆe.p cu’a h`am fn trong D.
U2. Kˆe´t luˆa.n n`ay tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t vˆ
u.ng minh.
y du.o..c ch´
Di.nh l´
z
`e d˜ay c´ac h`am fn (z) = , n = 1, 2, . . . chı’nh h`ınh v`a do.n diˆe.p
V´ı du. vˆ
n
`eu kiˆe.n 4) cu’a di.nh l´
`eu
u.ng to’ r˘a`ng diˆ
trong h`ınh tr`on do.n vi. ch´
y l`a mˆo.t diˆ
kiˆe.n cˆo´t yˆe´u.

7.1.4

anh xa. chı’nh h`ınh c´
o
T´ınh chˆ
a´t di.a phu.o.ng cu’a ´
`
da.o h`
am b˘
ang 0

Gia’ su’. w0 = f (z0) v`a
f (z0 ) = · · · = f (p−1) (z0) = 0, f (p) (z0) = 0,

p

2.

(7.1)

´ du.ng phu.o.ng ph´ap l´
`an 1 di.nh l´
y luˆa.n nhu. trong ch´
u.ng minh phˆ
Ap
y 7.1.1
˜e d`ang thˆa´y r˘`ang mˆo˜ i gi´a tri. w du’ gˆ
`an w0 (v`a = w0 ) s˜e tu.o.ng u
ung p
´.ng d´

.
gi´a tri. z kh´ac nhau. N´oi c´ach kh´ac: w = f (z) l`a h`am p t`o ta.i lˆan cˆa.n cu’a
diˆe’m z0.
Gia’ su’. γ1 v`a γ2 l`a hai du.`o.ng cong liˆen tu.c di qua diˆe’m z0 ∈ D, c´o tiˆe´p
tuyˆe´n x´ac di.nh ta.i z0 v´o.i g´oc nghiˆeng dˆo´i v´o.i hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c l`a

´
Chu.o.ng 7. Anh
xa. ba’o gi´ac

526

θ1 v`a θ2 tu.o.ng u
´.ng. Gia’ su’. z1 = z0 + h ∈ γ1 v`a z2 = z0 + h2 ∈ γ2 . Ta d˘a.t:
z1 − z0 = h1 = reiθ1 ,

θ1 = θ1(r),

z2 − z0 = h2 = reiθ2 ,

θ2 = θ2(r).

Khi d´o
z2 − z0
= ei(θ2 −θ1 ) ,
z1 − z0
z2 − z0
lim arg
= lim(θ2 − θ1) = θ,
r→0
z1 − z0 r→0
trong d´o θ l`a g´oc gi˜
u.a hai du.`o.ng cong γ1 v`a γ2 v´o.i dı’nh ta.i z0 . V`ı f chı’nh
`eu kiˆe.n (7.1) nˆen
h`ınh ta.i z0 v`a tho’a m˜an diˆ
f (z) = a0 + ap (z − z0)p + ap+1(z − z0)p+1 + . . .

ap = 0, p

v`a chuˆ˜o i v`
u.a viˆe´t hˆo.i tu. trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a z0 .
Gia’ su’. qua ´anh xa. w = f (z) ta c´o:
w0 = f (z0) = a0,
Γ1 = f (γ1 ),

Γ2 = f (γ2 ),

v`a g´oc gi˜
u.a Γ1 v`a Γ2 l`a
ψ = lim arg
r→0

w2 − w0
,
w1 − w0

w1 = f (z1), w2 = f (z2).

T`
u. d´o ta c´o
w1 − w0
= ap + ap+1 (z1 − z0 ) + . . . ,
(z1 − z0 )p
w2 − w0
= ap + ap+1 (z2 − z0 ) + . . . ,
(z2 − z0 )p
v`a do d´o
w2 − w0
(z2 − z0)p
p
(z2 − z0)
ψ = lim arg
w1 − w0
r→0
(z1 − z0)p
(z1 − z0)p
(z2 − z0)p
= lim arg
r→0
(z1 − z0)p
z2 − z0
= p lim arg
= p · θ.
r→0
z1 − z0

2

(7.2)